CHAP. II. — MOUVEMENT DES MSTBHES MATÊBIEI.S QUELCONQUES. S

g IX. - TnÉOTlÈîlE DES FOI1CF.S VIVES.

Nous avons démontré, dans la quatrième section de cet ouvrage, qui; le rli-mi- nccn>isscii]oiu de l'orce vive d'un système matériel quelconque, pendant un temps arbitraire, est égal à la somme des travaux, pendant le même temps, de toutes les forces qui agissent sur l« divers points do ce système.

On a ainsi l'équation

\ — 2TF +5T/ ('I ..,

dans laquelle on voit que llgurenl en général les forces intérieures!*).

Intégrale des forces vives. — Quand !a somme des travaux élémentaires des forces, uni intérieures qu'extérieures, est la

(•) Nous avons vu que la somme des tratnm dn rares intérieures d'un système quel ce il r] tic est une fournie el'inli^rtitis tic ):i forroo / fdl, f riant

le l}it-i-r>'-[i ■,- il un interi-iille rie Icinns tel qne le corps, il l'iiHlnnl tiiml, soit revenu exiiclemeiil il son étal inilbl. Alors, eu vertu mémo de I I d.-linilitjn île l'iilit.lirilé parïaile, le- r.ircc. in 1er ien !<■«, qui ai. lient développe, un certain

j-r--. i-- tu 1 , [ lie m;, ne < ■ M 1 1 1 a i : e, la le lin ,;u,- ie enr| ; l<ii. i.l :J s.i lui un!

primitive, de sorte que chaque inli-emlc .le la forme SJ.ll

n'est [.1 lis nulle l'téitieiu j.nr élément comme d.iu6 les cas procêdciil-, mnis se IroniB érjale ii léru, i;rire au< limites choisies.

Il ne sera pcul-iire pas inutile, s a propos, de siijnaltr l'erreur suivante, qui peut embarrasser quelques instant! quand on ne fait pas bien attention à la véritable sieiiiticatioll des symboles analytiques.

Dans le as particulier où l'on donne qui ilifleronts points matériels d'un

38 DÏKÀMIQUE.

ilifférenlielle cxacle d'une fonction V des coordonnées des clivera points mobiles, l'équation (i) peut s'écrire

isuiis du système, le th&rénu

S[(i-.5)..-('-S)«"(— SH-*

où lus furcus illlùri.uiros n'rulri-Til p:n. Uni*, parmi loin In (liijilarcmrlitt eu palltilus aïuc lui liuisims du sïsI.'iihu, il foinhk qu'un puisse choisir un p miùru lïu'lu celui qu'il pi-nul 1 11 Lln'iiU'iiE, -iidiu: qu'on puisse rcmplai

meuts l.r, S,; «Vs équations

■lliJ.Tt,-» Util»

il nus lus cas [lus corps élastiques, appliquée o

OUF. II. — MOUVEMENT DES STSTÈHES MATÉH1ELS QUELCONQUES. 8q

Sous colle forme, elle constitue une intégrale du problème.

L'iniégrale des forces vives a une importance toute particulière qui la dislingue de toutes les autres intégrales, aussi bien dans la mécanique rationnelle que dans la mécanique appliquée. Les problèmes pour lesquels l'iuiéf-rah' des forces vives a lieu sont les seuls dont s'oerupe la mécanique analytique : ils comprennent tous ceux qui sont relatifs au système du monde. En effet, quand la force qui s'exerce entre deux points, fixes ou mobiles, dépend uniquement de la dislance r de ces deux points, la somme des travaux de l'action et do la réaction pour des déplacements élémentaires quelconques des points considérés a pour expression f{r)dr, quantité qui est la différentielle exacte d'une certaine' fonction ç(r).

Principe de la conservation des forces vives. — Quand la somme des travaux de toutes les forces agissant sur le système est constamment nulle, la force vive reste invariable pendant le mouvement; le système conservera force vive.

Stabilité de l'équilibre des systèmes pesants.

Le théorème des forces vives peut nous rendre compte des conditions de la stabilité de l'équilibre d'un système pesant à liaisons. Nous avons vu qu'un système de ce genre est en équilibre lorsque son centre de gravité ne sort pas du plan horizontal qui le contenait tout d'abord, quel que soit le déplacement infiniment petit, et compatible avec les liaisons, que l'on attribue au système. Admettons maintenant que l'on donne au système un déplacement fini, mais très-petit, et toujours compatible avec les liaisons, cl que, quel que soit ce déplacement fini, le centre de gravité du système s'élève toujours au-dessus de sa position d'équilibre; je dis que, dans ce cas, l'équilibre du système est stable. Nous allons voir, en effet, à l'aide du théorème des forces vives, que, si l'on abandonne à lui-même le système très-peu dérangé de sa position d'équilibre, l'action de la pesanteur tendra toujours à le rapprocher de cette position.

Pour établir cette proposition, nous remarquerons d'abord que le système matériel dont il s'agit ne peut pas rester immo-

t)0 DtNAHIQUR.

bile dans la nouvelle position qu'on lui a donnée, pourvu toutefois que le déplacement attribué à ce système soit suffisamment petit. Car le centre de gravite du système, qui s'est

lin nouveau déplacement infiniment petit dans le même sens que le précédent; et par conséquent la condition d'équilibre n'est plus remplie pour la position qu'occupe le système après qu'il a subi le déplacement fini dont il est question. Le système matériel, ne pouvant pas être en équilibre dans ia nou- \elk position qu'on lui a donnée, se mettra nécessairement en mouvement sous l'action de la pesanteur, et par conséquent acquerra une certaine force vive. Or sa force vive ne peut s'accrollre qu'autant que la somme des travaux des forces qui lui sont appliquées est positive ; d'un autre côté, les forces capables de remplacer les liaisons ne fournissent aucun terme dans cette somme de travaux; il en résulte que, dans le mouvement que prend le système matériel abandonné à lui-même après avoir été dérangé de sa poMiion d'équilibre, le travail dû à la pesanteur doit être positif. Mais nous savons que ce travail est le mémo que si la masse entière du système était concentrée en sou centre de giavilé; donc, dans le mouvement dont il s'agit, ce centre de gravite ne peut que descendre, c'est-à-dire qu'il- se rapproche nécessairement delà position qu'il occupait lorsque le système était en équilibre.

Un raisonnement analogue ferait voir qu'au contraire, dans le cas où le centre de gravité du système pourrait s'abaisser par suite du déplacement fini, mais très-petit, attribué au système, l'équilibre serait instnble.; c'est-à-dire que le système, abandonné à lui-même après avoir subi un pareil déplacement, non-seulement ne reviendrait pas vers la position d'équilibre qu'il avait d'abord, mais encore continuerait à s'en éloigner.

Enfin, l'équilibre est indifférent quand, par suite d'un déplacement fini, mais très-petit, attribué au système, le centre de gravité ne sort pas d'un plan horizontal.

Le résultat précédent est exact; mais notre démonstration n'est pas suffisante. En effet, nous avons bien démontré que si, en écartant le corps de la position d'équilibre, le centre de gravité monte, il tend à revenir à sa position première, niais

nous ne savons pas s'il rosirra ihms li' voisina;;!' île celle position, comme la stabilité l'exige, on s'il ne la dépassera pas pour s'en écarter ensuite d'une manière notable, en venu de sa force viveacquise. Prouver que l'équilibre est stable, c'esiétablir qu'on peut toujours écarter assez peu le système de sa po-iiion d'équilibre, dans le sens que l'on voudra, pour que la force

santeje renverrai à un beau Mémoire de M.' Dirichlel (Journal de Crelte, t. 32, p. 85).

g X. — EXTENSION AU CAS SES MOUVEMENTS RELATIFS DES TE.É0BÉMES GÉNÉRAUX SUR LÉ MOUVEMENT DES SYSTÈMES MATÉRIELS.

Les théorèmes généraux que nous venons de démontrer, ainsi que toutes les conséquences que nous en avons déduites, sont applicables au mouvement d'un système matériel par rapport à des axes coordonnés mobiles, pourvu qu'on n'oublie pas de joindre aux forces réelles les forces apparentes qui permettent de traiter le mouvement relatif de chacun des points du svstème comme un mouvement absolu. Ces forces apparentes sont, connue on sait, au nombre de deux pour chaque point : l'une est la Force d'inertie correspondante au mouvement d'cntratnemeni, l'autre est la force centrifuge composée ["].

Dans le cas où les axes mobiles, auxquels on rapporte le mmiVLTiienl du système matériel, se meuvent para 11 élément à eux-mêmes, les forces cent) i fiiL-i's composées sont toutes nulles; les forces apparentes se réduisent donc aux forces d'inertie, qui correspondent au mouvement d'entraînement. Si, en outre, le mouvement de translation des axes est rectiligne et uniforme, ces forces d'inertie sont également nulles; les théorèmes généraux s'appliquent donc au mouvement re-

(•) [fou avons d*ji ft.il observer qne, dans l'appll talion du ili fur.'- rm: des furres lires nui mnumiiieiils ii-hilifs. Ira fni-rr- ci iiH ifuy.-s comptisé.s Jisp:itiii.aelil d\dli;s-IUi , 'lln'S, clucum; dVIle» •'■Lilll diri,;iv | . ur | >e il i lie u I J i mmcil t à la vitesse relative du point auquel elle esl appliquée.

Ojï DÏNlSflQL'E.

lalif, dans ce cas, exactement île la même manière qu'ils s'appliquent nu mouvement absolu, sans qu'on ail besoin de joindre aucune force apparente au* forces qui agissent réelle-

Mouvement d'un lystinw matériel par rapport à des axes de direction constante passait! par le centre de gravité.

Voici maintenant comment on applique les théories précédentes à l'étude du mouvement d'un système quelconque de points matériels : ou romincnee par étudier le mouvement du contre de gravité, mouvement qui est déterminé quand on connaît les furets extérieures qui agissent sur le svsléine ; puis on applique à ce point des axes de direction constante, ell'on Cherche quel est le mouvement du système par rapport à ces axes, liés au centre de gravité.

Kemarquons d'abord que, géométriquement, toutes les forces d'inerlie se réduisent à une seule qui passe à l'origine. En effet, ces forces sont parallèles cl de sens contraire à l'accélération totale du mouvement absolu du centre de gravite du système, et la grandeur de chacune d'elles s'obtient en multipliant la masse du point auquel on la suppose appliquée par cette accélération totale du centre de gravité. Donc ces forces, qui sont parallèles et proporli elles uux musses, se composent comme des poids, et, géométriquement, elles ont une résultante qui leur est parallèle, égale à leur somme, et qui passe pur le. centre de gravité des divers points d'application.

Si ces points formaient un solide invariable, on pourrait remplacer tontes les forces d'inertie par leur résultante, supprimer celte dernière, qui se trouve appliquée à un poinl fixe, dans le mouvement relatif, l'our un système quelconque, on ne peut remplacer les forces d'inerlie par leur résultante, parce que chacune d'elles a une action spéciale au point auquel elle est appliquée, mais il est évident que la somme des moments de ces forces par rapport à un axe quelconque passant par l'origine est toujours nulle, puisque ces sommes de moments sont des quantités géométriques, dans le calcul desquelles la constitution du corps n'intervient pas. On conclut de là que, dans le cas particulier où les forces réelles.

CEIAP. II. — »OUVElJE>r TJBS lïSIÏUES MATÉRIELS QUELCONQUES. g3

com posi't^ comme si elles a^îssuictit sur un solide invincible, ont une résultante nulle nu passant par le centre de gravité ( '], le Ihénrèiue des aires a lieu dans le mouvement rolalif dont nous nous occupons, malgré la mobilité du point pris pour origine des rayons vecteurs menés aux divers points matériels du système. Le plan du maximum des aires conserve une direction cousiante dans l'espace, et la somme des aires projetées sur ce plan, à partir d'une époque fixe quelconque, augmente proportionnellement au temps.

C'est en appliquant ce qui précède au mouvement de notre système planétaire que l.aplace a été conduit à considérer le plan dù maximum des aires correspondant au centre de gra- \ité, dans le mouvement do ce système, par rapport à des axes de direction constante menés par ee point, plan auquel il a donné le nom de plan invariable., et qu'il a proposé de prendre pour plan fixe dans l'étude du mouvement des divers astres. On obtient ainsi un plan qui reste constamment parallèle à lui-même, bien qu'on ne connaisse aucun point fixe.

l'action d'un point assez éloigné de.ee système pour que les différents corps qui en fout partie puissent être regardés comme situés à la même distance de ce point, les actions exercées sur Ces corps auraient une résultante géométrique passant au centre de gravité, et, par suite, le plan invariable subsisterait encore. . Théorème des forces vives. — Le théorème des forces vives j'applique également au mouvement d'un système matériel p;:r rapport à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, sans qu'il soit besoin de joindre aucune force apparente aux forces qui agissent réellement sur le système.

(*) Ram lu ens ou Ida forces ultérieures satisfont nui conditions de l'ëqui-

lililc. f." Elii'.:.''lisi> lIi-^ jlirv;, :i 1 Li-n in il LllnTv:i] jil i[Lil]].l .nf |..i'u.i ].mjr ..:i;;ijir

:,]biiti'- a'ur] [ll'Mjvr]b].-tj[ j- 1 ■ i - 1 i I ■ : ■. 1 1 1 ■ i.'l uniforme.

Quand la forces ont uns résultante qui passe nu centre de fjrjiilé", lu théorème eit vrai seulement pour lu rentre de gravité ou pour un point qu'on atsnjetlirail à se trouver consomment sur la dirceiion de la repliante Jci forces ou de fnccéleralioll tulale du centre de cravilé. Celle condition est indispensable pour que la somme des moments de» force! «térieures et celle des moments des forcci d'inertie soient nulles.

g4 DiHAWQUB.

En effet, la somme des travaux 'des forces d'inertie pouiètre remplacée par le travail d'une force unique appliquée au centre de gravité; par conséquent, celte somme de travaux est nulle dans le mouvement relatif que nous considérons, puisque le déplacement relatif du centre de gravité est constamment nul.

Cela ne serait plus vrai si l'on prenait pour origine des a\es un point mobile quelconque, à moins luutefois que ce point ne soit animé d'un mouvement reriiligue et uniforme.

Relation entre la force vive réelle et la force vive rapportée^

lion très-simple entre la force vise absolue et la force vive relative. Considérons un point quelconque M {fig. i5). La vitesse

Fi B . .5.

absolue MA - V de ce point est la résultante <Io la vitesse du centre de gravité .MB — c„ constante pour tous les points du système en grandeur et en direction, et de h vitesse relative. BA — v„ et l'on a l'équation

Multiplions les deu\ membres de celte équation par m, et faisons la somme de toutes les équations analogues, il vient, on n'oubliant pas que v. est une constante pour tous les points du système,

Zmv>: Me, 4-2mc; + i^Sm^cosi^

Remarquons que la somme qui multiplie ic„ dans le der-

effel, c'est la somme des produits qu'on obtient en multipliant la masse de ebaque point matériel par la projection de sa vitesse relative sur la direction Mli; or celte somme est égale à

CHAP. II. — UOCYEHOT DES SYSTEMES MATÉRIELS QU ELCOMJCEB. qS

la masse M, multipliée par hi proj i.'fltiiii sur la même direction [Ii: la vitesse relative du centre de gravité, laquelle vitesse e^-l nulle.

On a ainsi le résultat suivant : .

T|[!:mifcïlE. — La force vive absolue d'un système quelconque est ligule à la force vive du même système dans an mouvement relatif à trois axes animés de la vitesse du centre de gravité, plu* lu force vive qu'aurait la masse totale, supposée concentrée au centre de gravité.

On calculerait, au moyen de ce théorème, la force vive de la Terre, en tenant compte de son double mouvement de rotation sur elle-même ei Je translation autour du Soleil.

Un corps, tel qu'un bateau ou une voiture, étant animé d'un mouvement le ni de translation, on calcule le travail qu'il faut pour l'arrêter, en faisant le produit de sa masse par le

réalité d'un mouvement de rotation très-rapide, qui échappe à mis veux en vertu de sa rapidité même : sa force vive réelle esl bien supérieure à celle qu'on lui attribue, en no tenant compte que de son mouvement de translation, et l'on peut recevoir un choc violent en essayant imprudemment de lui opposer un obstacle.

C'est la même, raison qui fait que l'on voit souvent une bille de billard, arrivant presque morte à toucher une bande, retrouver après le choc une vitesse notable, par suite d'une autre distribution de la force vive qui correspondait à son mouvement de rotation.

DINUIIQI