CHAPITRE lY. — DIHÀlIQUl DES SOLIDES INVARIABLES

g XV. — Pbessioxs sur les appuis d'us coups qui tourjcr autour

Prenons l'axe de ruUiliun du e-urps pnur axe îles phrons l'origine en un point quelconque 0 de cet axe (fig- 20), enfin

laissons les axes des x el des y quelconques, mais perpendiculaires entre eux cl à l'axe Oî.

■1' Çflmdrt de rayon p cl do longueur l, autour de son aie.

30 CflîndreAc r.ivim o tl ik lori[;Hi!«r .'ulour d'un rjjon d'une do ses bans.

*» Cj-Hndrt MB I ^ ^

ou, en ilêsle,nahl par r l'épaisseur, par p, le rajim moyen :

R' — p! -t-Jc" ;

T." Sphère pleine :

fi» ParaUclêpipidt ttctanglt autour d'une parallèle ■ l'arête a, meaùc pai le ci-ii!t.- ik> jjravilé ;

l'uur Tarèie eUe-m*m«, il faudraii ajouter eoil

R' = J'^- :p , (malm>);

]ï8 DÏVABIQIE.

Proposons-nous d'abord do chercher l'axe du couple résultant des quantités tic; mouvement, relativement à l'origine O. Désignons ce couple par (] ; nous avons déjà trouvé

en posant, connue dans le puni graphe précédent, ( A : -ïm[y> ■: ;>), a ■- zlmyx, (,) B: .ïm[z> ■-*>). p .ïmzx,

[C lm{*+y>), y^ïmxr.

Pour avoir les couples relatifs aux axes Ûi et Oy, décomposons la vitesse d'un point quelconque M en

puis, faisant la somme dos moments do ces quantités multipliées par la masse m correspondante, par rapport aux axes i\cs x et des y respectivement, on ayant égard aux signes, i! vient

Gj— — tnlmxz, G,-. —uZmyi.

On 0 donc, en faisant usage des notations (i).

Or, si l'on se reporte a l'équation générale de l'ellipsoïdi; central (p. ia3), on déduit dos équations ( a) :

TnÊonÉME I- — L'axe du couple résultant des quantités de mouvement est dirigé suivant la perpendiculaire au plan tangent à l'ellipsoïde central, mené au point où l'axe de rotation jicrce cet ellipsoïde.

Ce qui revient à dire :

TotOlfellE 11. — Le. plan du couple résultant des quantités de mouvement est le plan conjugué de l'axe de rotation dans l'ellipsoïde central.

Scolie. — Quand l'axe de rotation est axe principal relativement à l'origine 0, cet axe coïncide, en direction, avec l'axe du couple résultant des quantités de mouvement, et lu grandeur de ce dernier axe est le produit de la vitesse angulaire par le moment d'inertie.

Ces théorèmes sont indépendants do la fixité de t'oie j en effet, noies savons que les vitesses de tous les points d'un solide dont un point est fixe sont les mûmes que si le solide loumait effee II veinent autour d'une certaine druile, dite axe instantané. Donc, pour tons les calculs relatifs aux vitesses, il n'y a pas lieu de distinguer une rotation instantanée d'une

L'axe de rotalion étant supposé fixe, la direction de l'axe du couple résultant des quantités de mouvement est une ligne fixe dans le corps mobile. L'angle de ces deux directions est

Enfin, la longueur G de l'axe du couple résultant a pour expression

^i! désignant par u lu rayon vecteur de l'ellipsoïde qui répond i l'axe de rotalion ; et, si l'un appelle h la longueur «cost de a perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent, on a

(4) G; quantité proporlionncllc à «

Séduction des forces d'inertie.

Occupons-nous maintenant des forces d'inertie. La résultante de translation de ces forces est égale à la force d'inertie de la masse totale, supposée murmurée au centre de gravité. En prenant, pour plus de simplicité, le plan des zx passant par le centre de gravité, et désignant par a la dislance de ce centre à l'axe de rotation, on a, pour les composantes de la résultante de translation,

(5) X'=H»*fl, Y'-.-Sl«~, Z'. o.

Pour que cette force soit nulle, c'est-à-dire que les forces

l3o DïlMHIQUft

□"inertie se réduisent à on couple, il faut qu'on ail

c'est-à-dire que le corps soit centré.

Quai» au couple résultant, nous savons que l'axe de ce couple est égal cl directement opposé à la vitesse du point G. On a donc

Effectuons les dii chaque point, l'ordoi stance r du point à l\

<7ai rf'wic i-ôstil'ante unique, — Nous avons trouvé en Statique la condition nécessaire Ot suffisante pour qu'il esislii une force équivalente à un système de forces donné. Celle condition s'exprime d'une manière générale par l'équaiion

qui devient, dans lo cas des forces d 'inertie,

DiQi[i;M b(Go

CU.lPlTBÎ If. " OTVISIQHI! DBS SOLIDES INV1BUBL». l3l

On satisfait à celle équation de deux manières : i° En posant

2" En posant

Mais la première solution doit Cire rejelée : elle répond aux cas où la force unique que nous cherchons est nulle et a son point d'app lira lion situé à l'infini ; rc qui ce vient à dire que les forces sont équivalentes à un couple. Ce cas a déjà été examiné, i.a condition d'uni résultante unique est donc

équation que nous avons déjà rencontrée comme nér-iissoiri' et suffisante pour que la ligne Qz soil axe principal en l'un de ses points. Ainsi :

Thêorèiih. — Pour que les forces d'inertie admettent une résultante unique, il faut que l'axe de rotation suit principal en un de ses points.

Transportons l'origine au point O' ai), relativement auquel l'axe des a est axe principal, nous avons alors

relations d'où nous concluons

L' — o, M'=o; donc la résultante eliercbée est dans le plan des z'/, c'est-

, 3t DÏKAMtiHB.

à-dire dans le plan principal. Nous connaissons la grandeur el lu dirccliun de celle résultante égale à la force d'inerlie G*, dont les composantes ont les valeurs(5)i il suffit d'avoir un point de cette force, par exemple le point C où elle rencontre l'axe O'x'.

Soil I la longueur O'C; le moment de la force It, par rapport à l'axe de rotation, est, en su reportant aux valeurs(5) des composantes X', V, Y.',

D'un autre coté, puisque cette force est équivalente à toutes les forces d'inertie, son moment doit être égal à la somme des moments de toutes ces forces, soit à

I." poinlC ainsi déterminé s'appelle centre de percussion. Nous verrons plus tard la raison de celte dénomination, que j'introduis ici afin d'énoncer tout de suite sous sa forme ordi- . naire le théorème suivant:

TbÏubèmï. - Dans le cas ou il existe une résultante unique des forces d'inertie, cette résultante passe au centre de per-

Calcul des réactions des appuis de t'axe.

Considérons {fi n 2») un arbre tournant FF,, fixé à la mani.rc ordinaire ...doux points 1' et F,, p.r '«""Mon, cl oou,- 5i „US. Los réactions des support- - '»~ ' • appliquée ci) un peu. t/Mmnm H '" " "■• > >«*.

„,„„. on.oê. ■ h» #«• lon B ilu,h.. D l, cl .10! MMK

„.,,„■. «iiculaircs à rnt, cicn.es par Ici coussinets sur les louriilo.is * Pou n '-illiso le frottement, ces dernières peuvent ,1 '.. .......oser .Lacune en de..* forces. P cl Q, P, cl 0., pa-

. .Pèlesre.pec.i.c.ucnlàPaso dos * .1 . Paie des y, cl .ppli- ,,uces eu des points définis do l aïc de roiaiion m. Appelons It

L'.i ji.:c-j b, Gl

et /i, les bailleurs respectives dos [durillons an-drssus du plan dus x}-, et enfin soi l il l'abscisse. Jii ccnire tic gi.ivilé supi.osidans le plan des zx.

Cela posé, les réactions des supports doivent détruire !a force qui provient <ie la transi a lion à l'origine des forces rcelles etdcs forces d'inerlic, ainsi que les deux couples correspondants. Écrivons les sis équaiions de l'équilibre enirc les forces appartenant a ces trois catégories :

, X -<-P P, + Mw'n =■-- o.

en posant II = Imr'.

Conséquences. — i' La troisième équation fait connaître la

l34 DTIMB1QL*.

pression longitudinale, laquelle c-i la même que dans l'état

a* 1 La sixième donne la loi du mouvement de rotation ;

3" Enfin les quatre ai'lres permettront de calculer P, P„

Axes permanrnls de rotation. — Supposons que le corps solide, au lieu d'avoir un a\c fixe, n'ait qu'un point maioienu fixe, et qu'on ail choisi ce point pour origine. Supposons de plus qu'aucune force extérieure ne sollicite le corps, cl cherchons les conditions pour que le mouvement, ayant commencé autour île l'axe des s, continue comme si cet axe était fixé Invariablement.

Il est évident qu'il suffit pour cela que tontes les forces que l'axe fixe devait détruire se trouvent détruites par le point fixe seul; or ce point détruit les tiois composantes P„ Q,, T, qui lui sont appliquées rt qui peuvent avoir sans inconvénient <les valeurs quelconques; mais on doit avoir

En faisant, en outre, «tans les équations (i). A, -. o, on arrive

i- Les troi* pivniièri.'s équations donnent la charge du point fixe;

2" La quatrième et la cinquième deviennent

« d - + peu 1 3" La sixième nous donne

donc le mouvement est uniforme; les autres équations nous montrent qu'il faut avoir à la fois a = o, fi — o, c'est-à-dire qu'il faut que l'axe de rotation soit un axe principal d'inertie par rapport au point fixe. Les axes principaux d'inertie, à cause

CtUPlTHH IV. — DÏMIMIQUE DES SOLIDES M VARIABLES. ■ 35

île colle propriété, portent aussi le nom d'axes permanents de

Axes naturels de rotation. — Si lie plus l'axe lie rotation contient le centre de gravité (auquel cas il ne peut être principal en l'un rie ses poinis sans l'être également pour tous les points Je sa direction), on a

c'est-à-dire que l'axe ne supporte aucun effort en aucun de ses points, et qu'il reste fisc de lui-même.

On appelle fréquemment les axes principaux relatifs au

fi utr-» (jtj» .ut! <•■!■ .'i ■('•• ro'.Ui.tn, pjri qu'Ile w|.|

les seuls autour desquels une rotation soil susceptible de se perpétuer indéfini ment, sans l'intervention d'aucun effet extérieur. Celle rotation peut d'ailleurs se combiner avec un mouvement de progression reeiiligne et uniforme du centre de gravité, si ce poinl est animé d'une vitesse initiale.

Applications de lu théorie des axes principaux.

Les supports des arbres tournants ne sauraient être fixes d'une manière absolue. Les efforts latéraux qui s'exercent sur (es tourillons produisent des vibrations qui tendent à arracher les boulons de scellement, tout en nuisant beaucoup à la précision du travail de la machine. Des effets de ce genre se produisent toutes les fois que l'axe d'une roue pesante, tel qu'un volant de machine à vapeur, n'est pas axe principal d'inertie ; alors la roue ne tourne pas rond, et au lieu de sembler immobile elle parait soumise ;> des battements.

Équilibrage des meutrs de moulin. — Ces battements sont

(') Quand l*u« il million n'est pas un aie principal d'inarlin, et qu'on veut le main lui ir dans une diricliiiu imarijlde, 1rs formules (H) montrent qu'il faut, en l'.Wncj l'un lImiiIl'w tourillon, ricrcer sur lu corps dem roupie) L et II, détermines par les relations

l36 DYNIMIQUK.

surloulvisibles sur les corps qui, comme les meules de moulins à blé, n'om qu'un seul poinl île leur axe fixe.

Un équipage de meules comprend une meule inférieure fixe, ia meule gisante {ji g. a3), au-dessus de laquelle se trouve une meule mobile, appelée meule volante; les grains sonl

écrasés entre les deux. La meule volante tourne autour d'un axe, qui n'est fixé que par un seul poinl 0. ."Une cavité est pratiquée dans le centre de cette meule; au-dessus est placée une erapaudine qui s'appuie sur un pivot, fixé lui-même à la meule gisante.

Clicrcbons la condition nécessaire pour que la meule ne ballotte pas en tournant, son axe restant parfaitement vertical

11 faut d'abord que la meule soit hien centrée, c'est-à-dire que la distance n du centre de gravité à l'axe soit nulle.

Sous celle condition, la meule se tiendra parfaitement horizontale lant qu'elle restera en repos. Mais du moment qu'on vient à lui communiquer un mouvement de rotation, la condition de centrage ne suffit plus. Pour que l'axe de rotation conserve sa direction fixe, il faut encore que l'on ail

1m xz = o, Sm« — o, c'est-à-dire que la répartition des masses autour du rentre de gravité doit être dans une certaine liaison avec les hauteurs respectives des masses.

construites par assises de petits matériaux, comme une construction en moellons, et sonl généralement loin d'èire homogènes. Pour remédier à cet inconvénient, le procédé le plus simple consiste à creuser dans la meule volante quatre trous