C-HAPITI1E [ï. — DTAAM1Q0E DES SOLIDES INVARIABLES. 1 3g

Pour vérifier ce résultat, faisons reposer l'extrémité E sur un appui five, dont nous in(]ir|urrons plus tard la disposition particulière {Jlg. 26), et soutenons l'extrémité F au moyen

Flg. 16.

d'un fil accroché au plateau d'une balance. On reconnaît, d'une part, que le fil ne tend nullement à dévier de la verticale; d'autre part, que le poids qu'il faut mettre dans le deuxième plat, au de la balance, pour maintenir l'équililire, est indépendant do l'étal de repos ou do mouvement du corps.

Cela posé, M. Foucault a observé que, si l'on brûle le fil de manière à rendre brusquement la liberté à l'extrémité F, lu corps ainsi place en porte à faux ne tombe pas, seulement le point F décrit lentement un cercle horizontal autour du point resté fixe Y. {'). Nous expliquerons plus lard relie expérience remarquable; nous nous contenterons, pour le moment, de faire observer que notre calcul des for ces d'inertie suppose essentiellement que l'axe reste fixe. Pu moment qu'il n'en est

telle ili^H'sition permet de donner h l'arbre une inclinaison quelconque, au (nommt do l'abandonner à lui-mime; alors l'aie conserve ectto inclinaison et décrit un efino da révolution autour do la reitiealc du point E.

i4o DïJtmlqut.

plus ainsi, nos calculs et nos raisonnements no signifient absolument rien el ne peuvent plus nous fournir In moindre indication sur les phénomènes.

§ XVI. — Rotation d'un coups autour d'un point fjih.

Le problème général qu'il s'agit de résoudre est le suivant : Un corps solide, mobile autour d'un point 0, et animé

couple K, situé dans un plan quelconque ; on demande de terminer qui'/s t:!uuiyini-nts subiront dans In suite des temps lit direction el la grandeur de la rotation instantanée.

Pour chercher l'effet du couple, nous pouvons, en vertu du principe de Galilée, fuirn abstraction du mouvement acquis. Cela fait, nous ramènerons aisément le cas actuel au cas où le corps avait un axe fixe, en considérant d'abord un couple perpendiculaire à un axe principal.

Effet d'un couple situé dans un plan principal. — Quand un conpb' agit perpendiculairement à un axe principal maintenu fixe, N étant le moment do ce couple et II le moment d'inertie du solide, nous savons en premier lieu que le solide reçoit, pendant un élément de temps i/t, une vitesse angulaire infiniment petite

(.) Aigrit.

En deuxième lieu, si l'on calcule au moyen du principe do d'Alemhert [ou des équations (8\ que nous avons trouvées dans le cas où les forces extérieures sont quelconques] les efforts qui s'exercent sur les appuis fixes de Taxe, on trouve que, si l'axe est principal au point où il repose sur l'un de ces appuis, l'autre support n'est nullement chargé, pas plus que dans le cas où aucune force extérieure n'agissait.

Il suit de là que l'effet du couple est absolument indépendant de la présence ou de l'absence d'un deuxième support; et cet effet est do communiquer au solide une rotation donnée par l'équation (t) autour de l'axe du couple qui se fixe spontanément, en vertu de son caractère d'axe principal.

CBAFITRI lï. — DÏMlM[QUË DES SOLIDES INVARIABLES. I . J I

De là un premier résultat acquis à la théorie qui fait l'objet de ce paragraphe:

Théorème I. — L'axe de la rotation produite pur un couple situé data un plan principal n'est autre chose que l'axe principal perpendiculaire au plan du couple.

Effet d'un couple situé dans un plan quelconque. — Pour passer de ce premier cas à celui d'un couple quelconque, il suflit de décomposer le couple donné en trois, L, H, N, respectivement perpendiculaires aux trois axes principaux qui se croisent au point (ko 0. Nous savons, par ce qui précède, déterminer l'effet Je chacun des couples composants pris isolément; et, cela Tait, toujours en vertu du principe de llaliléc, nous obtiendrons l'effet toUl en composant, suivant les règles de la Cinématique) les mouvements dus à chacun des couples partiels.

Soient A, B, C les moments d'inertie principaux, les rotations produites par les trois couples I., M, N auront pour valeurs respectivement

Par suite, la rotation réelle sera donnée par l'expression

( 3) rf» = v^S; + = Ay / xl + p+ %>

et l'axe de cette rotation -fait avec les trois axes principaux des angles dont les. cosinus sont proportionnels à

Ce résultat est susceptible d'un énoncé fort élégant, en introduisant la notion de l'ellipsoïde central du corps.

l4î DTNÀlIQU».

En effoi, l'équation d,' cet ellipsoïde, par rapport aux trois axes principaux du point 0 : Ox, 0/, 0 s, est

A*î +BjJ 4- Ci; r 1.

0.*, si nous considérons le plan du couple défini par les quantités L, H, N, proportionnelles au* cosinus des angles faits par la perpendiculaire à ce plan avec les trois axes de l'ellipsoïde, il résulte de la théorie îles sui laces du second ordre que

X 1 C S01 " P ro P ortionne ' s au * cosinus des angles faits avec les mêmes axes par le diamètre conjugué au plan ( L, M, N ). Donc :

THt'>BË*x II. — L'axe de la rotation produite par un couple situé lions un plan quelconque coïncide avec le diamètre conjurai du plan du couple, dans l'rllips ftde central.

Effet d'une percussion. — Si l'on considère un solide en repos, frappé subitement par un couple dont l'action no dure qu'un esp ice de temps (rè-i-dnn'i, <>:i innive la rota lion finie qui résulte de l'action de ce couple, en intégrant les équations (a) entre deux limites contenant la durée totale de la percussion.

On a

En prenant chacune des intégrales figurant aux deuxièmes membres des équations [4 ) comme mesure dj couple correspondant, on voit que le théorème II s'applique à la rotation Unie produite par un couple de percussions.

Revenons au problème général que nous avons posé aa