CHAPITRE IV. — BTNAM1QUE DES SOUDES INVARIABLES

commencement de ce paragraphe. Nous connaissons maintenanl le mouvement qui résulterait <!e l'action du couple sur le corps en repos ; él nous savons qu'il faut, pour obtenir la rotation réelle du solide, composer ce mouvement avec celui que le corps, animé d'une rotation donnée, prendrait s'il était abandonné à lui-même et soustrait à l'action de tout effort c*lérieur, abstraction faite de la réaction du point fixe.

Or nous n'avons encore aucune notion sur la manière de déterminer ce dernier mouvement, lequel doit être regardé, relativement à un corps mobile autour d'un point lise, comme

Nous savons seulement que, quand i'axe instantané n'est pas l'un des trois axes principaux du point fixe, la rotation du corps abandonné à lui-même ne reste pas constante ni en grandeur ni en direction. Soient 01 l'axe instantané {Jig. 37).

01' la rotation que le corps prendrait naturellement dans

par le couple : on obtiendra l'axe effectif de rotation en composant ÛÇavec 01'.

La question qui doit donc nous préoccuper actuellement est celle du mouvement d'un solide fixé par un point et libre de toute action extérieure. Nous allons exposer en détail la solution élégante que Poinsot.a donnée de ce problème important; niais auparavant il sera convenable de donner les formules générales du mouvement de rotation d'un solide soumis à des forces quelconques.

UYNlBigilH.

Équations générales de la rotation des corps.

Le principe de d'Alembcrt fournil des équations d'équilibre qui doivent suffire à déterminer le mouvement du solide. Dans le cas qui nous occupe, ces équations se réduisent à trois, qu'on obtient en égalant à zéro la somme des ma* mcnls des forces extérieures et des forces d'inertie autour de trois axes rectangulaires iives passant par le point 0 :

Ces équations contiennent un nombre infini de variables

inconnues, à savoir les coordù '-os .r, y, z de tous les points

du corps mobile. Mais on réduit ces variables au nombre de trois, en exprimant que la figure formée par tous les points mobiles reste invariable pendant le mouvement de l'ensemble.

Pour cela, faisant abstraction du solide lui-même, nous suivrons le mouvement de trois axes rectangulaires fixes relativement à ce corps Ox„ O y„ 0;,, axes par rapport auxquels les coordonnées de tous les points du corps sont des constantes. x, y, z s'expriment en fonction des constantes x„ y„ z, et de trois quantités variables seulement, à savoir les angles 0, 4 1 . ?, qui déterminent la position des droites mobiles Oj,, On, 0:,, par rapport aux axes fixes Oj:, Or. Os. En effectuant le cbangemeni de variables par les procédés ordinaires de l'Algèbre, on aurait les équations du mouvement.

Seulement cette marche naturelle conduit à des calculs très- longs, qu'on évite en appliquant le théorème île lu page 8o, dont la forme géométrique nous dispense de transformations analytiques, plus ou moins équivalentes à celles qui nous ont fourni ce théorème.

Concevons donc qu'on mène par le point 0 {ftg. 28) trois axes rectangulaires Ox, Or, Os, fixes d'une manière absolue,

CtlAPITHI lï. — DYNAMIQUE DES SOLIDES IOTJlBHBLES.

et irois axes 0/„ Qy„ 0s„ fixes par rapport au corps so'ide el entraînés dans son mouvement; enfin soit OG l'axe du

couple résultant des quantités de mouvement. Pour avoir des formules plus simples, nous supposerons que Ox„ 0/,, Oj:, soient les trois axes principaux qui correspondent à l'origine 0.

Proposons-nous d'abord de chercher les projections de OG sur les trois axes mobiles.

Comme la grandeur et la direction de la ligne OG dépendent uniquement des vitesses des différents points du solide, nous pouvons regarder le mouvement comme une rotation effective, et, conformément à nos notations habituelles, nous désignerons par les lettres p, q, r les composantes de cette rotalion suivant les axes Qx,, 0/„ Oz,.

Cela posé, le moment par rapport à un axe quelconque de la quantité de mouvement mu d'un point du solide est égal à la somme des moments des composantes Je nw relatives aux trois rotations p, q, r; donc le couple résultant OG peut s'obtenir par In composition des couples partiels correspondants. Or, Ox, étant un axe principal, l'a\e du couple résultant qui provient de la rotation p, coïncide en direction avec 0.r„ et sa grandeur est représentée par le produit

A étant le moment d'inertie du corps autour de l'axe principal 0-r,.

Les rotations q, r donneront de même, autour des deux