CHAPITRE IV. — nVJSAlIlQLE DÏS S0LIE1S INVARIABLES
On a donc enfin pour les équations cherchées IL \%.: (C- B),r, 11) M Uj+|A-C)r,,
In cJ. + (b-A) w .
Cas Équations, qui portent le nom'dYgiinfio/u d'Euler, sont du premier ordre par rapport aux inconnues p, q, r; elles constituent le premier groupe tics équations du mouvement tic rotation.
On deuxième groupe nous sera fourni par les trois équations différentielles suivantes, établies en Cinématique,
Le problème général de la rotation dos corp; se trouve ainsi ramené à des termes purement analytiques, c'est-à-diro à l'intégration de si* équations simultanées du premier ordre,
connaissons la siguilictilkm K''<""é-lri.|uo. '
Nous allons maintenant discuter un certain nombre de cas particuliers du problème, en commençant par celui où les forces
Élude géométrique du cas oà il n'y a pus tic forces extérieures.
Si l'on voulait iraitcrlc problème analjliquemcni, il faudrait faire dans les équations (2)
un aurait ainsi trois équations qui ne contiennent plus que les
1 jtS DÏIMÏIQUE.
inconnues p, q, r, et qu'il est très-facile d'intégrer isolement,
(4) B&-i-(A-C)rp = o,
| C J+(B-A) OT = o.
Une Tois les valeurs de p, q, r connues, les équations (3) servent à calculer les angles 0, '|, ?, qui déterminent à chaque instant le lieu du corps par rapport à trois axes fixes. Les formules générales ont élé données pur Jacobi (*) ; elles sont assez compliquées.
Mais l'oinsot a su donner une grande élégance à la théorie de la rotation d'un corps qui tourne autour d'un point fixe en vertu d'un mouvement acquis, et sans l'intervention d'aucune force; il a tiré toutes les propriétés de ce mouvement des théorèmes généraux de lu l)> nautique, pur une série de déductions qui sont de la Géométrie pure.
l'our avoir l'image la plus nette et la plus précise du mouvement, il faut, considérant les trois axes principaux dont l'origine commune est le point fixe, se représenter sur ces axes l'ellipsoïde centra! des corps; quant à la figure de ce corps lui-même, elle est tout à fait i ml i lié rente, du moment que l'on connaît un système de trois axes principaux et les moments d'inertie qui correspondent à ces trois axes.
Cela posé, l'application du théorème des aires, aucune force extérieure n'agissant sur le corps que nous étudions, nous donne en premier lieu la propriété suivante :
TeëoiÈSE I. — L'axe du couple résultant des quantités de mouvement conserve dans t'espace une grandeur et une direction fixe».
Or \p, B./, Cr sont les projections de cet axe sur les axes mobiles; ces quantités ne sont pas constantes, puisque ce sont les projections d'une grandeur fixe sur des directions qui va-
(•) Journal di M,i:!u : :in:; : :„-: jmrrs c: n/i/ili /airs, i" sëiir, t. XIV, p. 13;.
ClUriTHE IV. — DYNAMIQUE BE9 SOLIDES INVARIABLES. l4<)
rient. Quoi qu'il en soit, la somme des carrés des projections d'une mime droite sur [rois axes rectangulaires, fixes ou mobiles, exprime toujours le carré de la longueur de celte droite. On a donc, en désignant par G une constante qui représente l'axe du couple résultant, une première intégrale des équa lions (0, en écrivant
(5) A'f +B>«*-fcCf = G*<*) k
intégrale qu'on aurait pu tirer des trois équations (4) en les multipliant respectivement par kp, Bg, O, faisant la somme
En deuxième lieu, le principe des forces vives nous fournil la propriété que voici :
Tuéobèhe 11. — Ln force vive du solide reste invariable dont le mouvement.
Si l'on désigne par w la vitesse angulaire, par H le moment d'inertie, cl par F une constante arbitraire, l'intégrale des forces vives est
( ■) Cetln tqiutton i-inrimn Mnlamaut que In grandeur de l'iia -lu cnupli' l'i'Hiluinl tV-i iiuaiitilc'E lit mnuic-nie-ril esl iimirinlili!. Nous pourrions uliUuiir il'aiilrcs iulL'iir.il.!* vu rcriviiul rjut lu tlirrrliuii Ae l'an- t-sl ainsi lOrtsUiile. En cITel,
r.)lilii-iitii>nl. r.iilrr 11-. ruiiij.uuiUi's j>, ', les ailjll'l 0, s, i, 'Lus \n l'inr.»i-
MMM U e, f, a*
principaux des angles dont les cosinus sont égaux à a.,.'-,
i-l i]ue le moment d'inertie relatif à une (Imite {ï., f», »)■ pour expression
