COSI

or si nous faisons al lention que H',)' est une constante en vertu du principe des forces vives, el que G est également une constante en venu du principe des aires, nous concluons de l'équation précédente

(8) u cosi - cousi.

Teiêobêmr III. — La composante de la rotation instantanée, perpendiculairement au plan invariable, reste constante.

Ainsi, quand un corps abandonné à lui-même tourne autour d'un ave qui n'est pas un axe principal d'inertie, la grandeur de la rotation varie à chaque instant, ainsi que la direction de l'axe autour duquel elle s'effectue; mais la projection de cette rotation, perpendiculairement au plan invariable, reste constante.

Faisons

01 = 11, OP — A = (icosi; le moment d'inertie II est proportionnel à ^, en venu de la définition de l'ellipsoïde. On conclut de celte remarque el de l'équation (6) que le rapport — est une constante; et, comme nous venons de voir que la projection mcosi est aussi une constante, il en est de même île la quantité weosi, c'e-i-à-dire de la distance fi, du centre de l'ellipsoïde au plan qui louche cet ellipsoïde au pôle 1.

TiitoiifeiiE IV. — La vitesse angulaire de la rotation est proportionnelle à la longueur du rayon vecteur mené du centre de l'ellipsoïde an pôle inslanlané.

TBÏOIÈM V. - Le plan qui louche reltipsol:le au pôle de In rotation teste toujours à la nulnie distance du centre de cet ellipsoïde.

Nous arrivons à la belle propriété qui constitue la proposition rapilale de la théorie qui nous occupe. Le centre 0 de l'ellipsoïde dont nous voulons nuus représenter le mouvement est fixe, et nous venons de trouver que le p(an langent en 1, plan dont la direction est invariable, reste de plus à une distance constante du point fixe 0; donc

THioablB VI- — Le plan parallèle au plan invariable, gui touche sans cesse l'ellipsoïde cen tnd ait pôle instantané de rotation, est toujours un seul et mi-nu: plan . ji.vc dans l'espace absolu.

Un se représentera donc le mouvement du corps, en concevant : i" que l'ellipsoïde central, dont le centre est maintenu ll\e, reste en contact avec un même plan, fi\e dans l'espace absolu; a°qu'il tourne à chaque instant autour du rayon vecteur qui va du centre au point de cimtacl ; 3° enfin qu'il tourne avec une vitesse angulaire, proportionnelle à la longueur même de eu rayon (fig. in). Tel est le théorème de Poinsoi(').

La connaissance que nous venons d'acquérir des circonstances que présente le mouvement d'un solide invariable abandonné à lui-même sans qu'aucune force le sollicite vient compléter la notion que nous avions tout d'abord relativement à l'inertie de la matière. Nous avons admis en principe qu'un

t'ui nii'iin'nt en liiine droite Nous savons maintenant comment

sms [|li—.T sur li- j I l ■ i LiTwi'l.l p,i::ill.l,' :i : i F ■ L : . ri iui:iri il.l... N-h [irin-

ci|>ri ottlilli dont ]■ partie gnom*lrîque de roi Oumge, il csi clair que nom ne courons pas dire que IVIlipsoule mule suis clisse:-. En ulTal, il Lounie à rliiii[i>c inslalll nuLoiir d'un un- intllnil sur le plan invariaUi! ■ relia rolaliun k décompose «i dcui, l'une autour d'un axe situé dîna le plan .'1 qui ne demie aucun ([li<seim-nl, i l l'autre autour d'un a\e perp. iidii ubirc <t ..i diinnc un n-aiillal ana]ii|;ij<' à celui .l'un pivol sur sa crLipaiiilÎTic. On peut dhe, si l'un rem, que la pnin! de coiiiacl u'j unira iiii'iivemcm di- ; lissrniml, on, arec M. loinsot, .juc le earps n'a pus du moui.'iuelil de r»i,W,- niais les peints inlinimi/nt viiiiiriK [■lissen! de El mi-roc manière qu'une jante c.mirpie irili;iiinciil (villa qu'on toréerait à sa mouvoir en li^na droits, sur un plan lue.

Iiïs choses se passent lorsqu'au lieu d'un point matériel on considère un solide invariable qui se trouve dans le mente cas, c'est-à-dire qui n'est soumis à l'action d'aucune force. Le centre de gravité de ce solide se meul uniformément en ligne droite, et en même temps le solide tourne autour de ce centre de gravité, conformément aux lois simples qui viennent d'être indiquées d'après Poinsol.

Développement de la solution.

Pans celle image si elaire que nous avons donnée de la rotation dus corps, on voil sur-le-champ toutes les circonstances et toutes les variétés que ce mouvement peut offrir, cl l'on est conduit, comme par la main, au* opérations el aux calculs qu'il faut faire, si l'on veut en mesurer toutes les différentes

Et d'abord, celle suite de points par lesquels l'el Ei [i-^oïdt; central du corps vient se meure en contact avec le plan fixe du couple résultant des quantités de mouvement, étant considérée sur la surrace de l'ellipsoïde, y marque la route du pôle instantané dans l'intérieur du corps; et les mûmes points, étant considérés sur le plan fixe, y marquent sa roule dans l'espace absolu. On peut déterminer sur-le-champ res deux

Cinématique, les considérer comme les bases de deux surfaces coniques de même sommet, dont l'une, mobile comme le corps, roulant sur l'autre qui est fixe dans l'espace absolu,

De la courbe décrite par le pôle instantané île In surface de l'ellipsoïde, central. — Pour trouver cette courbe, qui esta double courbure, et que nous désignerons par (s), il n'y a qu'à chercher la suite des points par lesquels un ellipsoïde aux rayons principaux a, b, c serait louché par un plan assujetti à rester toujours à une même dislance donnée h du centre de cet ellipsoïde, ou, ce qui est la même chose, la suite des points de contact avec l'eilipsoï le d'un plan q li se mouvrait en louchant à la fois cel ellipsoïde el une sphère concentrique au rayon donné h. Or il est clair que cette courbe (s) est un orbe fermé, a double courbure, espèce de roue elliptique dont

u l'essieu est, ou le rayon majeur a de l'ellipsoïde cenj le rayon mineur c, selon que le rayon li de la sphère esl donné plus grand ou plus polit que le rayon moyen b de cet ellipsoïde.

C'est, ou reste, ce qu'on peut voir par le calcul le plus simple; en efTel, l'équation de la surface de l'ellipsoïde étant

la distance du centre au plan langent est exprimée par

x„ désignant k's coordonnées du point de contact, En

«galant cette expression à la distance donnée li, on a la seconde équation du lieu décrit par le pôle

ant tour à tour, au moyen de la première, s coordonnées x,, y,, :,, on tire les équations

<jut donnent les projections de la courbe sur les trois plans

P De/variêtês que la courbe (*] peut offrir dans certains cas particuliers. — Prenons deux plans de projection {Jig. 3o)i l'un, le plan horizontal, parallèle au plan .r.Vi, l'autre, le plan vertical, parallèle à x^-i enfin, prenons encore un troisième plan auxiliaire parallèle au plan :,y„ que nous rabattrons sur le plan horizontal.

Sur le plan vertical, l'ellipsoïde aura pour contour apparent une ellipse dont les a-ies sont an et i.c; en projection hori-

Diitizcd ai Go

Cil AUTRE IV. — DÏNAMlQtfH DES SOLIDES 1KÏA H [ABLBS . I 55

zontale, l'ellipse aura pour axes a« et afi; enfin, sur le plan auxiliaire, les nves de l'ellipse seront îi cl 2c.

Flfl. ?«■

La courbe ne dépend, comme on voit, que de quatre paramètres : les trois demi-axes de l'ellipsoïde central qui sont donnés par la nature du corps, et ensuite la hauteur h du centre au-dessus du plan lancent invariable, laquelle est donnée par la direction de l'axe du couple résullanl des quantités

Les variétés que celle courbe peut offrir pour un munie corps ne dépendent donc que des valeurs particulières qu'on peui allribger à la constante h.

Or cette ligue, étant la dislance du centre de l'ellipsoïde ii l'un de ses plans tangents, est nécessairement intermédiaire

■ 56 DTK1MIQUI.

entre le plus grand et le plus petit mon de l'ellipsoïde. Du sorte que, les trois rayons a, b, c étinl rangés dans cet ordre de grandeur

qui répond pour les moments d'inertie principaux à l'ordre inverse

on ne peut avoir à distinguer que deux cas généraux : h compris entre a et b, cl /( compris entre 6 et c; ensuite deux cas particuliers : h -- a, h = c, et enfin un cas singulier : h — b.

On voit que, sur le plan x,r, et sur le plan j*, s., les courbes projetées sont toujours des ellipses semblables, car les coefficients des carrés des variables sont toujours de même signe cl sont indépendants do h. Au contraire, sur le plan des z,x„ on a des hyperboles ayant toutes les mémos asymptotes, et dont la position, par rapport à ces asyinptoles, dépend du signe de la quantité A 1 — Ip, laquelle peut être positive, nulle ou négative.

Supposons d'abord h —. b. I.a deuxième équation (i i) représente deux droites qui sont les traces, sur le plan x,z„ de deux plans perpendiculaire:; à celui-ci, lesquels coupent l'ellipsoïde suivant deux ellipses ayant pour axe commun l'axe moyen de l'ellipsoïde. Ces ellipses sonl inclinées sur le plan x,y„ d'un angle O donné par la formule '

en projection horizontale; elles om pour projection commune une ellipse dont l'un des axes sera b, cl l'autre la projection de l'axe de l'ellipse dans l'espace, axe qu'on trouvera facilement à l'aide de l'équation de l'ellipsoïde cl de lavjleurde langO.

Ceci posé, quand A sera dilTércnt de b, on aura, sur le plan x, z„ des hyperboles, ou plutôt des arcs d'hyperboles ayant pour asymptotes les projections des ellipses singulières, et suivant que h sera plus grand ou plus pelil que b, ces hyperboles seront situées dans un des angles des asymptotes ou dans l'autre. Sur les plans x,y, et z,y„ les projeelions des

CIUPITBE IV. — DYNAMIQUE DES SOUDES INVARIABLES. 1 5?

courbes sont des ellipses semblables aux ellipses singulières. Toutes celles qui se projettent à l'intérieur de celles-ci sont entières, les autres n'ont que deux arcs à l'intérieur, le reste sort de l'ellipse pi incîpale et constitue les parties parasites des courbes.

Dans les deux cas particuliers de h — a et h — c, la courbe se réduit à un point qui est le sommet A ou le sommet C de l'ellipsoïde central; quand le pôle occupe l'une ou l'autre de ces deux positions, le corps tourne uniformément autour de l'un ou de l'autre des deux axes principaux ia ou le, lequel axe demeure immobile dans l'espace absolu.

On pourrait remarquer que la courbe (i) est en quelque sorte double; car, tandis que le pôle instantané 1 décrit cette courbe (s), il est évident que le pôle oppose I' en décrit une autre (s'), parfaitement égale à l'autre partie de l'ellipsoïde ; mais il suflil d'en considérer une seule.

On voit que cette courbe à double courbure a, comme une ellipse, quatre sommets principaux où elle est divisée en quatre parties égales et symétriques, et il est évident que ces sommets sont les quatre points où la courbe traverse les deux plans principaux conduits par l'axe qui lui sert comme d'es-

valeurs maxima ou minima, comme il est facile de le voir en cherchant le maximum de l'expression

où les variables r„ y,, z, sont liées par les équations (9)

De la courbe décrite par le pfile instantané dans l'espace absolu. — La courbe (j) que le pôle instantané I de la rotation trace à la surface de l'ellipsoïde central étant ainsi déterminée, il est facile de trouver la courbe («■) que le pôle instantané décrit sur le plan lixe; car, en considérant l'orbe fermé (ï) comme la base d'une surface conique dont le sommet est au centre 0 de l'ellipsoïde, il est clair que, pendant le mouve-

ratrice 01, en appuyant le contour de sa base sur le plan fixe, et qu'ainsi c e contour ( j) y trace en roulant la courbe plane (o), que le pôle instantané décrit dans l'espace absolu. Les arcs

infiniment pelils ils de celle courbe plane sont donc égaux aux arcs successifs ils de celte roue mobile (s) qui les produit; de sorte que, si Ton a l'équation de celle-ci, entre la longueur ï de sou arc et son rayon vecteur u, il suffit d'y rbanger j en u pour avoir l'équation de la courbe (») entre son arc et le même rayon n émané du centre 0 de l'ellipsoïde.

Mais comme celte courbe [a) esl plane, si l'on aime mieux la rapporter à des rayons vecteurs v émanés d'un point pris dans le plan même de la courbe, on peul eboisir pour ce nouveau centre le pied I' de la perpendiculaire abaissée du centre 0 de l'ellipsoïde sur le plan fixe que l'on considère [fig. ?.<)); et alors il suffit de ebanger u en y'/i'-i-c' dans l'équation dont il s'agil.

Le ravon vecteur c de la courbe plane [a] n'étant autre ebose que la projection du rayon n de la roue [j] dont les éléments ds viennent s'appliquer l'un après l'autre sur le plan pour Tormer les éléments égaux di de la courbe plane [17), il esl clair que le rayon c va, comme le rayon n, d'un maximum à un minimum, de ce minimum à un maximum suivant, égal au premier, el ainsi de suite à l'infini : et cela par des intervalles jou longueurs d'arcs a) égaux entre eux, cl au quart de la génératrice (*)■• Donc

La courbe [v] décrite par le pôle instantané dans l'espace ■ absolu esl une courbe plane régulièrement ondulée autour d'un même centre, c'est-à-dire une courbe formée par une suite d'ondes égale* et régulières, dont les sommet» son! équïtlistants, et qui serpente à l'infini entre deux cercles concentriques dont elle un toucher alternativement l'une et l'autre circonférence [fg.3,).

Si l'angle au centre, qui répond à deux sommets consécutifs supérieurs ou inférieurs de la courbe ondulée (a), esl commensurable avec quatre angles droits, el qu'on désigne par n le plus petit nombre entier de cercles que col angle ou ce secteur mesure, la courbe (o-) se fermera, el le pôle qui la décrit reprendra exactement sa première roule, après avoir fait 11 fois le lour entier de l'espace angulaire. Mais, comme l'Intervalle de deux sommets consécutifs du même nom ne répond qu'à une moitié du l'orbe mobile (s), il est clair qu'il