CHAPITRE IV. — DTHA1IQ0I DES S0L1BES imBUHEB. l5o

faut doubler ce nombre de révolutions, si l'on veut que In pôle instantané se retrouve, non •seulement au même lieu dans l'espace absolu, mais encore au même lieu sur la surface de l'ellipsoïde central.

FI B . 3i.

Si l'angle doni il s'agit n'est pas commensurable avec quaire angles droits, la courbe ondulée (ff) ira à l'infini, sans pouvoir jamais se fermer; cl le pùle instantané, qui reviendra toujours périodiquement au même lieu dans le corps, ne pourra jamais retomber eu mémo temps au même lieu dans l'cs-

Telles sont, en général, les deux courbes décrites par le pùle instantané, l'une dans l'intérieur du corps, et l'autre dans l'espace absolu. 1^1 quoique ces courbes soient de formes si différentes, comme c'est un seul et même point qui décrit y la fois l'une cl l'autre, leurs équations, prises entre le rajon vecteur émané du centre 0 et la longueur de l'arc décrit, sont exactement une seule et même équation.

I.e cône roulant, à la surface duquel la première courbe (s) sert de base, est simplement un cône droit du second degré; maïs le cône fixe sur lequel il roule est un cône transcendant dont la surrace ondule à l'infini autour de l'axe lise du couple; c'est aussi une espèce de cône droit et circulaire, mats dont la surface serait, pour ainsi dire, cannelée suivant le contour régulièrement ondulé de la courbe ( t ) qui lui sert de base.

Cas singulier : h~b.~ Dans le cas singulier de h égal au rayon moyen b de l'ellipsoïde central, la courbe (i) ne se réduit pas à un point; car sur la surface de l'ellipsoïde, outre le pôle moyen II, où lu plan langent est à une distance h = b du centre 0, Il y a une infinité d'autres points où le plan langent se trouve à colle même dislance b du centre de cet ellipsoïde, et la suite de ces points forme deux ellipses égales, dont les plans se croisent suivant l'axe moyen ift, et sont inclinés au plan principal ab d'un angle dont la tangente est

de sorte que ces deux ellipses, qui ont pour leur commun petit axe la ligne a b, ont pour leur grand axe (*) une ligne

c'est re qui se voit sur-le-champ pur les équations de l'orbe (j), eu y supposant h = b.

Dans ce cas singulier de h = b, la courbe ( 1) esi donc produite par le mouvement de l'une {s} de ces doux ellipses dont on retiendrait le centre Immobile en 0, à une hauteur b audessus du plan fixe, cl dont on ferait rouler la circonférence sur ce plan, avec lequel on l'aurait mise en contact. Or il est aisé de voir que, dans ce cas, la courbe {?) dédite par le point de contact est une ligne spirale qui va en tournant autour du centre P et s'en rapproche sans cesse de plus près que tout ce qu'on voudra, comme d'un point asymptmique, sans pouvoir jamais l'atteindre {fig. 3a). Cette spirale, considérée dans toute son étendue, est une courbe symétrique à gauche cl à droite d'un certain point qui la divise en deux parties égales. Car, en revenant sur ses pas, en faisant rouler l'ellipse en sens contraire, le rayon vecteur e revient en augmentant jusqu'à une certaine \aleur

circulaire.