CHAPITRE IV. — OINAMIQUE DES SOLIDES INY.IR1AIU.HS

qui est son maximum; après quoi, il diminue par les mêmes degrés, de sorie que son extrémité I décrit de l'autre cùté

Fig. 3a.

une spirale égale à la première et qui fa il comme la moitié de la courbe entière et continue (<r) dont il s'agit. Celle courbe a donc un sommet, à gauche elà droite duquel elle jette deux branches égales qui vont, en sens contraires, tourner en spirales autour d'un seul et même centre P; et quoique chacune de ces branches fasse un nombre infini de révolutions autour de ce centre sans jamais l'atteindre, la longueur totale de la courbe est finie et égale à la demi-circonférence de l'ellipse roulante qui ia produit.

Le pôle I, qui décrit cette spirale de longueur finie, ne peut jamais la parcourir dans toute son étendue : quelque près qu'on le suppose déjà du centre P dont il s'approche, il lui faut encore un temps infini pour achever le petit arc qui reste à décrire, ou, pour parler exactement, il ne pourra jamais l'achever.

Dans ce cas singulier du mouvement des corps, le pôle instantané de la rotation est donc un point toujours nouveau, et dans le corps, et dans l'espace absolu; je veux dire que, dans le cours infini de la rotation, le pôle ne peut jamais revenir au même lieu, ni dans le corps, ni dans l'espace, quoiqu'il ne décrive qu'une ligne finie, et dont la longueur serait tout au plus égale à la demi-circonférence de l'ellipse, en sup- 111. m

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posant le temps infini, non-seulement après, mais encore avant l'époque que l'on considère.

Tel csl le mouvement du pùltr quand on suppose /( = o, c'est-à-dire quand le plan du couple résultant des quantités Je mouvement louche l'ellipsoïde central en un point qui ap partieniàl'uneouà l'autre de ces deux ellipses singulières dont nous venons de parler.

ment immobile, cl le corps ne cesserait de tourner uniformément autour du l'axe moyen OB, comme il ferait autour de l'axe majeur OA, ou de l'axe mineur OC, si le plan du couple était unifient au pôle A, ou du pôle C de l'ellipsoïde. En ellet, il n'v aurait aucune raison pour que le pôle I, qui ne peut décrire i la surface que l'une des deux ellipses dont ou vient de

li touille en ce moment à l'extrémité 1! du leur axe

gueur l'axe ma; en de l'ellipsoïde central est, comme lesdeux centres, un axe permanent de rotation.

Mais il v a celle différence, c'est que, autour de cet axe moyen, la rotation n'a point de Habilite .-je veux dire que, pour peu que le pôle I, en verlu d'un petit couple étranger appliqué au corps, vienne à s'écarter du pôle moyen B, il lendra -j s'en écarter davantage, s'en allant alors décrire, à ta surface,

et si le déplacement est tel que h n'oit pas varié de grandeur, le pôle ira décrire l'une ou l'autre de ces deux ellipses singulières que nous avons considérées.

Il n'y a qu'un seul cas où le pôle I, étant écarté du pôle moyen'l) de l'ellipsoïde, tendrait à y revenir : c'est le cas où le pôle I serait porté sur la circonférence de l'une des deux ellipses du côté où le sens de la rotation tend à le ramoner

VC fflf eal porté sur la même ellipse, mais de l'autre côté de son sommet B, il s'éloignera indéfiniment de ce pôle moyen B,

un orbe elliptique {s), soit autoui du petit «xe, selon que ce déplac aura fait augmenter ou diminuer la

.eL il ira tomber, après un temps inl'ini, sur le pôle opposé I!' de l'ellipsoïde. Ainsi, dans ce cas, qui esl unique, comme le précédent, l'ellipsoïde qui, au commencement, louchait le plan fixe par son pôle iiiiivcn B, le loucherait à la lin par le (ji'iIl: nioveu opposé li' ; de sorte que la position du corps se trouverait entièrement renversée dans l'espace. C'est le plus grand dérangement que l'impulsiun d'un petit couple étranger puisse amener dans lu position d'un corps qui tourne actuellement sur son axe moyen ; car, si le pôle est déplacé de loule autre manière sur la surface de l'ellipsoïde, il va décrire, comme on l'a vu, un orbe fermé [s), soit autour du grand axe, soit autour du petit axe ; et, par conséquent, s'il s' écarte d'abord du pôle moyen li, il s'en rapproche ensuite, et revient périodiquement passer à la même distance de B sur la surface, et à la même distance du centre fixe P, dans l'espace absolu.

Il y a encore une autre variété de la courbe ( tr) que le pôle instantané peut décrire dans l'espace; mais clic n'est plus relative à la valeur particulière qu'on suppose à la ligne donnée h : elle dépend uniquement de l'espèce de ce corps, c'està-dire de la proportion des axes a, b, c de l'ellipsoïde central.

Si le corps est un de ceux qui ont deux de leurs «ois moments principaux d'inertie égaux, il est alors de révolution, ou ce qu'on appelle un sphirui'lï. : sphéroïde allongé, si l'axe de révolution est plus grand que le diamètre de l'équaieur, ou aplati vers les pôles si cet axe est plus petit. Dans l'un et l'autre cas, il est évident que la roule (s) du pôle à la surface du sphéroïde est un cercle autour de l'axe de ce sphéroïde, ci par conséquent la roule (tr) du pôle sur le plan fixe est aussi un cercle autour de l'axe du couple résultant dos quantités de mouvement. C'est un des cas les plus simples de la rotation des corps, parce que lout y esl circulaire et uniforme. Cependant, il faut encore remarquer que, si la circonférence du cercle roulant (j) n'est pas commensurable avec celle du cercle fixe {v), le pôle instantané ne peut jamais revenir au môme lieu dans le corps et dans l'espace tout à la fois.

Enfin, et c'est ici le cas le plus simple de tous, si les trois moments d'inertie sonl égaux, l'ellipsoïde central devient une sphère, l'axe instantané de rotation se confond avec la per-

pend ir.u lai rc au plan invariable, les deux courbes (s) eL f a) se réduisent à deux points qui n'en font qu'un seul, et le pôle instantané I reste immobile ei dans le corps et dans l'espace absolu.

De ce qui fait la mesure île la stabilité pour chacun des deux axes extrêmes de l'ellipsoïde central. — fi ou s avons

extrêmes, sous le point de vue de la stabilité que ces deux axes peuvent offrir dans la rotation des corps; mais pour nous faire une idée nette de celte stabilité, et de ce qui en fait en quelque sorte la mesure, imaginons la surface de l'ellipsoïde central comme coupée en quatre parties ou fuseaux par les deux ellipses singulières que nous avons considérées, cl dont les deux plans, conduits par l'axe moyen ih, sont également inclinés à l'axe majeur ->.<i [l'un au-dessus, l'autre au-dessous)

d'un ongle 0 dont la tangente est ~ ^. ' Le l >olc moyenM de l'ellipsoïde est à l'imersection de ces deux ellipses; le pôle majeur A est au centre du fuseau dont l'ouverture est ?.0, et le pôle mineur Cau centre du fuseau supplémentaire.

Or, en premier lieu, si le pôle instantané I de la rotation tombe sur le pôle moyen B de l'ellipsoïde, il esl clair que, pour peu qu'on le déplace, il va tomber dans l'un ou l'autre des deux fuseaux dont il s'agii, et décrire son orbe s autour de l'un ou l'autre pôle principal de l'ellipsoïde. Ou bien, si on le déplaçait sur le contour même de l'une des deux ellipses, il irait décrire la moitié de celle ellipse pour retomber sur le pôle moyen opposé; ou, s'il était porté sur l'autre moitié de la mémo ellipse, il revicndi-iii aussitôt au pôle moyen môme d'où 011 l'aurait écarté : d'où il résulte, comme on l'a dit cidessus, que, hors de ce cas unique de déplacement, l'axe moyen du corps n'a aucune stabilité.

Mais si le pôle instantané tombe actuellement au pôle maj eur A de l'ellipsoïde, il peut être déplacé comme on voudra, dans toute l'étendue du fuseau environnant, sans cesser de décrire son orbe (s) autour du même pôle majeur. Et, si c'est en cela qu'on fait consister la stabilité de la rotation autour de l'axe majeur, on peut dire que la grandeur de ce fuseau en est en quelque sorte la mesure. El l'on voit de même que