CHAPITRE IV. — DYNAMIQUE DES SOLIDES INVARIABLES

l'étendue du fuseau supplémentaire est la mesure de la stabilité de la rotation autour de l'axe mineur.

Actuellement, si l'on suppose que l'un de ces deux axes, tel que a, diffère peu de l'axe moyen, le fuseau qui lui répond est très-petil, et le fuseau supplémentaire esl irès-grand. L'axe lieu différent de l'axe moyen a doue très-peu de stabilité, et l'autre axe en a beaucoup.

Il n'est donc point exact de dire, comme on te fait d'ordinaire, que, si l'axe instantané est un peu écarté de l'axe principal qui répond, soit au plus petit, soit au plus grand moment d'inertie du corps, il s'en éloignera très-peu et ne fera que de petites oscillations pendant toute la durée du mouvement; car, si le moment d'inertie relatif à cet axe dilVère peu du moment moyen, le pôle instantaoé, par un faible dérangement, pourra sortir du petit fuseau où il est actuellement, pour tomber dans le fuseau voisin et y aller décrire son orbe (s) antérieur du petit fuseau qui lui répond, il peut c noire y décrire un orbe (j) étroit et fort allongé et, par conséquent, faire de tris -g L'an il es oscillations de part et d'autre du pûle principal d'où on l'a écarté.

Dans les corps où l'un des moments extrêmes d'inertie diffère peu du moment moyen, et, par conséquent, où l'ellipsoïde du corps central est presque de révolution autour de l'un de ses axes, la stabilité de lu rotation n'est donc vraiment assurée que pour cet axe. C'est le cas de la Terre, dont la rotalion est irés-siabic autourde son axe actuel, et le serail liéspeu autour du troisième axe, qui, comme on lésait, diffère très-peu de l'axe moyen.

Si cette différence est lout à fait nulle, eu sorte que l'ellipsoïde central du corps soit exactement de révolution [ projectiles oblongs), il n'y aura de stable que l'axe de ce sphéroïde; car il est clair qu'aucun des antres axes principaux (qui sont ici tous les diamètres de l'équateur) ne peut avoir de stabilité. El en effet, si le pûle instantané tombe actuellement sur l'équateur, et que, pour une cause quelconque, il en soit un peu écané à gauche ou il droite, i! ne restera plus immobile, mais il ira décrire sur la surface de l'ellipsoïde un cercle (j) parallèle et presque égal à l'équateur : d'où l'on voit que le pôle

i(i6 dtnihique.

instantané aura dans le corps un mouvement très-cou-id érable. Mais, 'l'un autre côte, il est bon de remarquer qu'il n'en aura qu'un irès-pelil dans l'espace absolu; carie cercle fixe a, qu'il décrira dans l'espace, aura peur rayon la très-pelile distance 1P de ce pôle I att pied P de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan langent en I. Ainsi l'axe instantané 01 qui, dans le corps, décrira la surface d'un cône très-ouvert el presque plan, ne décrira dans l'espace qu'un cône de base très-petite, et paraîtra ainsi comme immobile dans l'espace absolu.

Il n'y a qu'on seul eas d'exception à cette instabilité d'un a\e principal situé dans le plan de l'éqnaleur; c'est celui oii le pùle instantané serait porté du point de l'équaieur où il est actuellement en un autre point du même équaieur; car alors il y resterait immobile, comme il aurait fait dans sa première position, si on ne l'en avait point écarté.

Enfin, si les trois axes principaux du corps sont égaux entre eux, et que l'ellipsoïde central devienne ainsi une sphère parfaite, tous les axes sont également stables, ou, en quelque sorte, indifférents à tout déplacement accidentel qui pourrait survenir. Car, si l'axe instantané est porté du lieu où il est dans un autre, il y reste, et redevient immobile et dans le corps et dans l'espace absolu.

S XVII. — MOUVOBM d'h.N SOUDE DF RÉVOLUTION F1IÊ PiB UN POINT DB SOU AXE DE FIGURE.

Après avoir donné ia théorie complète de la rotation d'un corps qui n'est soumis à aucune force extérieure, examinons comment cette rotation naturelle se modifie sous l'action d'un couple.

Le seul cas qui se rencontre dans les applications est celui où deux des moments d'inerlie principaux reiatifs au point fixe sont égaux. C'est le seul cas que nous étudierons en détail, el, dans tout ce qui va suivre, nous supposerons qu'on ait B=A.

Notations et définitions. — Pour simplifier le langage, nous regarderons le corps dont nous étudierons le mouvement

lequel est évidemment un axe principal, et nous désignerons par C le moment d'inertie correspondant.

Tous les moments d'inertie relatifs à des axes menés par le pnint 0, perpendiculairement à l'axe de figure, onl une valeur commune A : ces axes forment un plan que je nommerai Vêqualeuriu corps.

Comme, dans la théorie de la rotation des solides, il n'y a pas à se préoccuper du corps lui-môme, mais uniquement de ses moments d'inertie relatifs aux diverses droites menées par le point fixe, ou, si l'on veut, de l'ellipsoïde central du corps, U ne peut y avoir aucun inconvénient à étendre les dénominations précédentes aux cas où le corps.au lieu d'avoir la figure d'un solide de révolution, a une forme quelconque, pourvu que l'on ail deux des moments d'inertie principaux relatifs au point 0 égaux entre eux, et, par suite, à tous ceux qui répondent aux divers axes compris dans le plan de l'équaleur.

Quelles que soient les forces qui agissent sur un pareil corps, nous savons que le mouvement infiniment petit est une rotation autour d'un certain axe 01, et que l'axe OG du couple résultant des quantités de mouvement est perpendiculaire au plan langent en I à l'ellipsoïde central.

L'ellipsoïde étant de révolution, les lignes 01 et OG sont dans un même plan avec l'axe de figure OC. Ces trois droites

affectent d'ailleurs des dispositions diffërenies, selon que l'ellipsoïde est aplati ou allonge [fig. 33).

Etablissons d'abord les relations géométriques qui existent entre les éléments de ces ligures, et qui sont indépendantes du l'existence ou do la non-existence des forces agissant sur le corps.

Formules générales relative» à la rotation instantanée.

Désignons par u l'angle de l'axe de figure avec OG. par i l'angle de l'axe instantané avec la même droite; l'angle o compris entre l'axe instantané et l'axe de ligure est donné par les relations'

o = a — i ( ellipsoïde allonge ), o - ii + i (ellipsoïde aplati).

Nous écrirons pour les deux cas

en convenant de regarder l'angle i comme négatif, quand

Cela posé, il est évident que le couple G, la rotation instantanée m, le moment d'inertie II, et les trois angles », i, o sont six quantités dont deux seulement sont indépendantes. En effet, si l'on connaît o> et o, ou bien G et u, le mouvement du corps est déterminé, et tout le reste s'ensuit. Il existe donc entre les éléments que nous avons définis trois relations distinctes, indépendamment de l'équation (i).

Or, nous avons en premier lieu

(a) H- Asin'o + Ceos : o.

En second lieu, nous avons, pour la grandeur du couple G, l'équation

(3) Gcosi=- H<u,

dont nous avons déjà fait fréquemment usage. L'angle i étant toujours aigu, on conclut de celle équation que G est toujours de même signe que ta.

CB1P1TBE IV. — DVKUHQI1E DES SOLIDKS INVARIABLES. 1 (il f

Enfin on aura les formules où figure l'angle " en projetant successivement lu couple G sur les deux axes principaux OC et OA, et écrivant que les projections sont représentées par les produits des composantes de (.1 par les moments d'inertie correspondants,

(G coSh — Cgicoso,

(4) I Gsini- = A 6 >sin«.

D'après ce que nous avons dit il n'y a qu'un instant, l'une des cinq équations que nous venons d'écrire rentre nécessairement dans les quatre autres. On déduit aussi des équa-

(5) Clangu — Alango, (G] G- •..v'Â'sinWecos'o.

„, ., «vT-T-

Ces formules sont applicables à tous les problèmes qu'on peut se proposer sur la rotation des solides de révolution autour d'un point fixe pris sur leur axe de ligure.

Cas oti il n'y a pas de forces extérieures.

Si le corps, animé à un instant donné de la rotation m, est abandonné à lui-mt'me, à partir de cet instant, et soustrait à toute influence extérieure, le mouvement de ce corps obéit aux lois que nous avons trouvées dans le paragrapbc piéfédent. I.a direction de l'axe OG et la dislance du plan tangent TT au point fixe O demeurent invariables : le lieu des points de contact de l'ellipsoïde avec son plan tangent est le parallèle du point I; sur le plan fixe, ce lieu est une circonférence, décrite du pied de la ligne OG comme centre.

L'axe 01 décrit dans l'espace un cùnc de révolution autour de l'axe OG {fig. 34 et3D] ; ce mémo axe, dans l'intérieur du corps, décrit un autre cone de révolution autour lie l'axe de lïgunMJC. D'après ce que nous avons vu en Cinématique, le mouve-

17 U DÏKiaiQUl.

ment do rorps csi exactement le même que si ce deuxième cône 10C roulait sans plisser sur le cône fixe IOG.

Ih'jînilion de la rut<i!h>n piv/iir et de In piéeesiiim. — On définit communément un pareil mouvement en disant que le corps tourne autour de son a\c de figure en même temps que cet axe est animé d'un mouvement de prêcession uniforme

autour de h droite fixe OG. C'est ainsi qu'on se représente habituellement le mouvement de la Terre. Toutefois, dans ce dernier cas, il faut en outre tenir compte d'un troisième mouvement, dit de nulalion, en vertu duquel l'aie de figure OC se

GH1PITKE lï. — DYNAMIQUE DES SOUDES INVARIABLES. IJI

rapproe lie et s'éloigne péi iodiquemenl de la droite invariable autour de laquelle s'effectue le mouvement de précession.

Nous adopterons, dans noire élude actuelle, ces dénominations empruntées du langage (le l'Astronomie; el nous définirons le mouvement d'un solide de révolution par la rotation propre, la précession cl b Hiilalion, ces quantités étant enien-

La position de l'axe de figure OC est donnée par l'angle compris entre cet axe el une droite fixe quelconque Os, et par l'angle que ie plan iOC Tait avec un plan fixe arbitraire zOx [Jîg.36). Nous désignerons par 0 l'angle zQ.C;

quant à notre deuxième coordonnée angulaire, qui a pour mesure l'angle recliligne xOT.', compris entre l'axe des x et la projection de OC sur le plan perpendiculaire à Oz, on n'a pas oublié que nous avons l'habitude de la représenter par ^ — 90°; l'angle iji étant l'angle que fait avec l'axe des x la trace sur le plan xOy du plan de l'équntour du corps. Celte Irace OE est perpendiculaire à la projection de l'axe de figure; nous l'appellerons la ligne des nœuds.

Cela posé, nous avons immédiatement la valeur de la pré-

el celle de la nutation :