CHAPITRE IX. — DÏÏAJUQUE DES SOLIDES INVARIABLES- I jg

les deux cùnes. Cela bit, on trouvera la ligne OG au moyen de l'ellipse méridienne, et l'on conclura aisément, de la position de celle ligne el du signe de la procession, le sens de la vitesse du point G, par suite celui de l'axe du couple.

Fi B . j 0 .

Pu eu ier cas : 1 r >o, n>o. — L'axe instantané tombe dans l'intérieur de l'angle 0, les deux cènes sont extérieurs {fîg.fa). Comme OG tombe toujours entre UI et OC dans le cas de l'ellipsoïde aplati, le couple N, esi positif si C>A. Au coiuraire, quand C est plus petit que \, OG peut ëire rejeté à gauebe de

Oz, 01 restant à droite; alors N, est négatif. U n'est donc pas exact de dire que le couple N, tend constamment à détacher le cône mobile du cône fixe. En effet, quand OG est à gauche deOi.le corps abandonné à lui-même roulerait sur le cùrii'IOG, qui enveloppe le cône 10;; donc, poor obliger le cùne mobile à rouler sur ce dernier cône, il faut un couple tendant à l'appuyer contre celte surface.

Quand OG coïncide avec 0;, le couple N, est nul, le mouvement n'étant autre chose que celui que le corps tend à prendre en vertu de son inertie. ,

Le couple N, est encore nul quand 01, et par suile OG, coïncident avec OG; on a alors "/ = o. La rotation a lieu autour d'un axe principal : elle continue sans l'inlervenlioti d'aucun couple.

Deuiièbe cas : W < o, n > o. — L'axe instantané passe de l'autre côlé de OC. Tant que l'angle r est compris entre 9 et

90 degrés, le cône mobile roule dans l'intérieur du cône fixe, OG est à droite de Oz, et, comme la précession est négative, le couple N, est négatif : il tend à détacher le cône mobile du cône fixe.

Quand r devient égal à 90 degrés, le cône fixe s'aplatit et se transforme en un pian. Au delà ce même cône fixe se rc-

MIAFITM IV. — DYNAMIQUE DES SOLIDES INVARIABLES. l8l

tourne, les cônes se retrouvent extérieurs, le couple reste négatif; la figure devient en tout semblable à la Jig.fa retournée, si ce n'est que l'angle des deux axes est obtus, au lieu d'être aigu. Il résulte de celte dernière circonstance que OG ne peut jamais dépasser Oz', et que le couple ne peut changer de signe tant que les cônes restent extérieurs, c'est-à-dire tant que r est compris entre 90 degrés et yo° + 0.

Pour r = 90"+ S, c'est le cône mobile qui se transforme en un plan, et qui se retourne ensuite pour envelopper le cône lise (ftg. 43]. Le couple reste négatif, quelque rapproché que

soit 01 de l'axe Oz', si l'ellipsoïde central est allongé; mais dans le cas contraire [fig. 43), OG peut dépasser Oj', tandis que 01 reste en deçà; le couple est alors positif et tend à appuyer le cône mobile sur le cône fixe.

Troisième cas : n < 0. — La rotation instantanée se transforme en une rotation effective quand n = o. L'axe 01 coïncide avec Oî et reste immobile à la fois dans le corps et dans l'espace. Seulement, celle ligne n'étant pas axe principal, il faut, pour obtenir celte immobilité, un couple qui détruise le couple d'inertie. Ce couple a le même signe que le mouvement de précession (lequel se confond ici avec la rotation

i8a DIKAHIQUI-

réelle), dans le cas de l'ellipsoïde aplaii; il a un signe contraire dans le cas de l'ellipsoïde allonge {fig. 4<>)-

Quant aux cas oii la rotation n est négative, ils ne réclament pas une étude spéciale. En effet, une disposition quelconque convient évidemment à deux mouvements de sens opposés, et. si l'un des dons mouvements répond à une rotation positive, à une précession et à un couple dont les signes ont été déterminés par ce qui précède, l'autre répondra à une rotation négative cl à une procession de signes contraires. Quant au couple, il conservera le môme signe, car le signe de OG et celui de la précession changeront tous deux.

Application nu mouvement île la Terre. — La Terre peut être considérée comme un spliéroïde ajanl deux moments d'inertie principaux égaux entre eux, et plus petits que le troisième moment principal. Nous avons étudié en Cinématique le mouvement dont ce sphéroïde est animé, en faisant abstraction de la nutalion de l'axe, et nous avons reconnu que, la rotation propre étant négative et la précession positive, on rentrait dans le cas de la fig. 3g, la demi-ouverture du cône fixe étant de 33°3j'3a", cl celle du cône mobile intérieur étant fort petite.

Nous pouvons actuellement conclure de ces résultais géométriques : i° que la Terre reçoit à chaque instant l'action d'un couple étranger perpendiculaire à la ligne des nœuds ; a" que ce couple doit tendre à détacher le cône roulant de la surface dtt cône fixe, ou, ce qui revient au même, à coucher l'équateur sur le plan de l'éeliplique; 3° enfin que l'intensité de ce couple doit satisfaire à l'équation (i3).

Si l'on détermine par le calcul, au mojen de la théorie de la pesanteur universelle, la valeur du couple provenant de l'action du Soleil et de la Lune, et tendant à diminuer l'obliquité de l'écliplïque, on aura une équation de laquelle on pourra tirer la valeur de quelque quantité plus ou moins incertaine, comme le rapport — des deux moments d'inertie principaux de la Terre {"J.

(*) Poiisot, Théorù des cÔntt circulaires mulauli {Jutirnal de M.irhémalifua, i. JW1II, iB53).

C1UF1TKE IV. — DÎKiUlQLE DES SOUDES INVARIABLES. 1 83

g XVIII. — Dï CENTRE DE PERCUSSION.

Considérons une force unique F, agissant sur un solide en repos, lequel n'a que la liberté de tourner autour d'un axe fixe, et demandons-nous sous quelles conditions cette force pourra mettre le corps en mouvement sans exercer aucune action sur les appuis de l'axe.

D'après le principe de d'Alemberl, l'équilibre doit exister entre les forces d'inertie et les forces extérieures, lesquelles se réduisent à la force F, les appuis ne devant développer aucune réaction. La* condition cherchée est donc que les forces d'inertie aient une résultante unique, cl que la force F soil directement opposée à cette résultante. Quant à l'intensité de celte force F, il n'y a pas à s'en préoccuper, car la force d'inertie prendra d'elle-même la grandeur convenable pour faire équilibre à la force motrice : l'équation qui exprime cet équilibre est celle qui détermine l'accélération angulaire que doit prendre le corps sous l'action de la forceF.

Centre de percussion. — Mais nous savons que, pour que les forces d'inertie aient une résultante unique, il faut et il suflit que l'axe de rotation soit principal en l'un de ses points. Nous avons appelé centre de percussion le point d'application de cette résultante, lequel se trouve sur l'intersection du plan principal d'inertie perpendiculaire à l'axe de rotation et du plan passant par le centre de gravité cl l'axe (fig. 44)- H étant

le moment d'inertie du corps, par rapport à la droite OA, et a la distance GP, la longueur CO est déterminée par l'équation

Fil. «.

Donc, pour qu'une force unique imprime au corps un mouvement autour d'un axe fixe, sans exercer de pression sur cet axe, il faut et il suffit : t° que l'axe soit principal on l'un de ses points; -j." que la force soil dirigée dans le plan principal, perpendiculairement au plan qui contient l'axe de rotation et le centre de gravité (cette direction est celle qu'affectera h résultante des forces d'inertie, au moment où, le corps partant du repos, la vitesse angulaire sera nulle); 3" enfin qu'elle soil appliquée au centre do percussion.

C'est en raison de cette dernière propriété que le point d'application de la résultante des forces d'inertie, quand celte résultante existe, a reçu le nom de centre "de percussion.

Soit K le rayon de gyration pour un axe parallèle à l'axe de rotation et passant par le centre de gravité, on a, d'après la théorie des moments d'inertie,

Il = Ma' + MK',

cl la position du centre de percussion se trouve déterminée par l'équation géométrique ,

ci <=.+£.

Cette position ne dépend ni de la masse du corps, ni de la grandeur de la percussion.

Le centre de percussion est toujours plus éloigné de l'axe que le centre de gravite, car i><i. Si l'on pose l — a = h, on a

le rayon de gyralion est donc moyen proportionnel entre les distances du centre de gravité à l'axe et au centre de percussion : les quantités n et h sont réciproques l'une do l'autre. La distance / de deux centres réciproques peut être plus grande que toute ligne donnée; mais elle ne peut jamais être nulle. La moindre valeur qu'elle puisse avoir est la ligne iK, car, en cherchant la valeur de a qui répond au minimum de /, on trouve a= K, par conséquent aussi k =K, d'où /-iK. Ces résultats sont indépendants de la grandeur de la force F