MATÉRIEL

oii nous commentons à étudier le. mouvement, où se trouve place le point mobile, nïnsi que la vitesse donl il est animé. On connaît ainsi, pour* — o, la valeur des coordonnées a:..

En mettant ces valeurs dans les équations (2) et (3), nous aurons six équations qui serviront à déterminer les arbitraires.

Les six constantes devant essentiellement être distinctes, les équations qui doivent en donner les valeurs 11c sauraient être ni incompatibles ni indéterminées. Si l'un de ces cas se présentait, c'est qu'on n'aurait pas les intégrales générales des équations différentielles (1).

Mouvement dans un plan. — Lorsque ta force qui sollicite.

plan, lequel renferme aussi la vitesse initiale, le mobile ne sort pas de ce plan. Si l'on fait choix de deux axes coordonnés, situés dans ce même plan, Ox, Oj-, les équations différentielles du mouvement se trouvent réduites à deux :

et leurs intégrales générales contiennent quatre constantes ar-

Réciproqne du problème de la Dynamique.

Quand on connaît la loi du mouvement d'un point, on connaît les expressions de ses trois coordonnées en fonction du temps, dans un système d'axes rectangulaires ou obliques quelconques. Alors les dérivées secondes des trois coordonnées, par rapport au temps, multipliées par la masse du mobile, donnent les expressions des composantes de la force motrice, dans le système de projection adopté.

y„ z„ cl des composantes des vitesses

IL DÏSAMIQUE.

Application au mouvement des corps pesants à la surface Je la terre.

Considérons un corps soumis à la si>ule action de la pesanteur, que nous regarderons comme une force d'intensité con-

stante P — mg, parallèle à l'axe des : (fig. i). Les cquatioi différentielles du mouvement sont

;l les intégrales générales :

| B = tt + Z — igP.

Prenons pour origine le point de départ, les trois constantes j3, ô, S sont nulles. Choisissons le plan des zx de manière qu'il renferme la vitesse iniiiale OT. Enfin, soit c. cette vitesse initiale, ci 0 l'angle qu'elle faiL avec le plan horizontal.

On a pour les trois projections de celle vitesse

( *= i-.coslî./,

I ; v,s\n8.t — ' } gt : .

Amplitude du jet :

Hauteur de l'ascension :

g [I. — MOUV^MINT D'pX POINT mTfiRTEL QUI S'EST PAS LIBHE.

Nous avons montre par un grand nombre d'exemples, dans les applications de la Cinématique, comment, par des combinaisons qui ne sont que de la Géométrie pure, on fait en sorte que les mouvements de certaines pièces de mécanisme satisfassent nécessairement à des conditions imposées.

Ces combinaisons sont absolument indépendantes des forces qui peuvent agir sur le système ainsi constitué, pourvu, bien entendu, que ces forces ne soient pas assez grandes pour briser les liens du système.

Un wagon, monté sur des roues coniques et placé sur une voie de fer, se mouvra toujours le long de cette voie, dans un sens mi dans l'autre, quelles que soient les grandeurs et les directions des forces qu'on lui appliquera, pourvu qu'on ne dépasse pas certaines limites; une balle de plomb, suspendue à l'extrémité d'un 111 inextensible dont l'antre extrémité est fixe, se mouvra toujours de telle manière que son centre do ligure reste sur la surface d'une sphère ayant le point d'attache du (il pour centre, quelles que soient les forces qui agiront sur elle, pourvu que ces forces ne tendent pas à la rapprocher de ce point d'attache du fil. Dans le premier de ces deux exemples, le mouvement du wagon est produit à la [ois par les forces qui lui sont directement appliquées dans les dilVcrentes directions, et par les réactions qu'il éprouve de la part des rails dans tes divers points, où il les touche; si l'on réduit le wagon, par la pensée, à un simple point matériel sur lequel

i4 îiTNAaiguE.

agiraient ces diverses forces, on trouvera son mouvement en appliquant les théories exposées dans le paragraphe précédent : seulement, il arrivera que, quelles que soient les forces directement appliquées à ee point matériel, c'est-à-dire autres que les réactions des rails, la trajectoire qu'il décrira sera toujours la même, parce que ces réactions prendront à chaque instant des grandeurs et des directions telles qu'il en soit ainsi. Dans le second exemple, la balle de plomb se ment sous les actions simultanées des forces qui lui sont directement appliquées et de la réaction qu'elle éprouve do la part du fil ; cette balle, supposée réduite à un point matériel sur lequel agiraient toutes les forces que nous venons d'indiquer, se mouvra oitifiinnéiuenl à la théorie générale ; mais il arrivera que, quelle que soit la résultante des forces directement appliquées à la balle, c'est-à-dire autres que la réaction qu'elle éprouve de la pari du M. celle réaction prendra toujours une intensité, telle que la balle ne quille pas la surface spliériquc dont nous avons parlé.

Pour préciser ces notions, nous dirons, comme nous l'avons fait en Slalique, qu'un point matériel qui n'est .pas libre esl un point dont les coordonnées ne peuvent pas prendre toutes les valeurs imaginables. Si, par exemple, on se donne les coordonnées x et y du point à un certain instant, la troisième coordonnée, s, n'est point tout à fait arbitraire : elle a une ou plusieurs valeurs qui sont déterminées quand on connaît celles de x et y; c'est ce qu'on exprime en disant que z esl une fonction de* et de r, ou en écrivant qu'il existe entre les trois variables x,y, s une équation de la forme

Mouvement sur une surface fixe donnée.

L'équation (i) veut dire que le point dont les coordonnées sont x, y, z ne peut pas sorlir, dans son mouvement, d'une certaine surface représentée par celle équation. Quelles que soient les combinaisons mécaniques employées pour obtenir ce résultat, nous supposerons, pour plus de simplicité, que la surface constitue un obstacle matériel sur lequel notre mobile

ClUFITRt I. — MÙUVEMI.M- »*UK POINT HVTÉMBL. l5

se trouve appuyé. Nous continuerons d'appeler réaction de lu suiface la force, dirigée suivant la normale, capable de tenir lieu de la présence do la surface.

Soient X. Y, Z les composantes de la force qui agit directement sur le point mobile, abstraction faite de l'action de la surface. D'après ce que nous avons vu, nous pouvons regarder le point comme libre, à la condition d'adjoindre à la force donnée celle réaction inconnue N. Les équations différentielles du mouvement prendront alors la forme suivante :

= Y -i- NcosN,.)-, : Z +Ncosfï7â,

les trois cosinus qui entrent dans ces équations étant donnés en fonction de x, y, 2 par l'équation tic la surface, puisque la direction de la réaction N est celle de la normale extérieure à cette surface (nous négligeons le frottement). En éliminant N entre ces équations, on aura deux équations qui, jointes à réquaLiitii {'), pcrin éliront de déterminer x, ^-el z en fonction de (. Ensuite, ou moyen de l'une quelconque des équations (a), on trouvera la valeur (le la réaction N.

Assez souvent on profile de l'équation de la surface pour exprimer les trois coordonnées du poinl mobile en fonction de deux variables indépendantes.

Ainsi l'on pose

et il est clair que ces trois équations peuvent représenter une surface quelconque, puisque les fonctions <f„ tp, sont complètement arbitraires.

Exprimons les dérivées secondes de x et de y par rapport à i en fonction des dérivées de « et de v par rapport à la

l6 tlTNlBtQUE.

mémo variable : en remplaçant, dans les équations (s), ~ , 'y^, par leurs valeurs, on aura [rois équations qui, ré-

duites n deux par l'élimination de N, donnent les équations du mouvement en fonction de n et de l'.'I.ngrangea fait connaître un procédé général qui permet d'écrire immédiatement les équations diliéreiHii'Ili's auxquelles doivent satisfaire 11 et c.

Nous verrons comment, au moyen de certains théorèmes généraux qui feront l'olijet du paragraphe suivant, on peut résoudre, d'une manière à la fois simple et directe, la plupart des questions qui offrent un intérêt pratique.

Le mouvement du point étant connu, on trouve très-facilement la pression qui s'exerce sur la surface directrice : soit analyliquement, au moyen d'une des relations (a) ; soit géométriquement, en introduisant la considération de lu forci' centripète r'I de la force tangcnliclle.

Soient M la position du mobile sur sa trajectoire (Jig. 2), MN

FÏ B . ).

In normale à la surface, sur laquelle nous portons une longueur représentant la réaction inconnue N qu'on veut déterminer.

Décomposons la force qui agit sur le point M en deux: l'une P, tangente à la trajectoire; l'autre Q, située dans le plan normal à cette trajectoire. I.e mobile peut être regardé comme libre sous l'action des trois forces N, P, Q. Or, dans le mou-