APPLICATIONS DIVERSES RELATIVES A LA DYNAMIQUE DES COUPS SOLIDES

§ XIX. — Théorie du pendule composé.

On entend par pendule composé on corps pesani, de forme et de dimensions quelconques, assujetti à tourner amour d'un axe fixe horizontal qui ne passe pas par son centre de gravité. Nous supposerons d'abord qu'en dehors des réactions de l'axe fixe la pesanteur soit la seule force extérieure agissant sur le pendule.

Désignons par M la masse totale du solide, par a la distance de son centre de gravité it l'axe fixe, par K son rayon de gyralion, par rapport à une parallèle à cet axe menée par le centre de gravité, et p;ir 0 l'angle que le plan conduit par l'axe et le centre de gravité fait avec le plan vertical d'équilibre dans une position quelconque du pendule [Jtg. 49).

Le moment d'inertie par rapport à l'axe fixe a pour valeur M [«' + &');

Rg, «g.

■g6 DTKAM1QUS>

la somme des moments des |ioids des diliérems points malériels de ce solide par rapport à l'axe fixe est d'ailleurs égale nu momcnl du poids total du solide appliqué à son centre de gravité, ei a pour valeur

MgdsiiiS;

donc l'accélération angulaire autour de l'axe fixe est

Le pendule simple n'est qu'un cas particulier du pendule composé; cette équation dilTéremiellc pourra donc s'appliquer au mouvement d'un pendule simple de longueur /. cl pour cela il suffira d'y supposer K = o et a=l; ainsi l'équation différentielle du mouvement du pendule simple est fl") i^sinO

les deux équations, donl l'une se rapporte au mouvement du pendule composé, l'autre au mouvement du pendule simple, deviennent identiques si l'on pose

Donc, si la longueur / d'un pendule simple satisfait à celle condition, les mouvements des deux pendules s'effectueront exactement de la même manière, pourvu toutefois que les circonstances initiales soient les mêmes de part et d'antre. Ainsi les lois du mouvement du pendule composé sont les mômes que celles du pendule simple.

Si l'on mène une droite parallèle à l'axe de suspension, à

une distance de cet axe égale à a -t- — , et dans le plan qui

passe par cet axe et le centre de gravité, tous les points du solide qui se trouvent sur ceue droite se meuvent absolument de la même manière que si chacun d'eux était isolé ei qu'il rût lié à l'axe de suspension par un fil inextensible et sans masse, dirigé suivant la perpendiculaire qui mesure sa dislance à l'axe. Cette droite se nomme Y axe d'oscillation du pendule,

et l'on donne le nom de centre d'oscillation au point où elle perce le plan perpendiculaire à l'axe de suspension mené par le centre de gravité du solide.

Nous pouvons déduire de !ii un certain nombre de conséquences intéressantes :

i" L'axe d'oscillation est toujours plus éloigné de l'axe de suspension que le centre de gravité;

1' Le centre d'oscillation coïncide avec le centre de percussion ;

3° L'axe d'oscillation et l'axe de suspension sont réciproques l'un de l'autre, c'est-à-dire que, si l'on prend pour axe de suspension l'axe d'oscillation, le nouvel axe d'oscillation sera l'ancien axe de suspension.

En effet, la longueur du nouveau pendule synchrone, après le changement de l'axe de suspension, est

Cette propriété a été mise à profil par M. Kaler pour déterminer avec une grande précision la longueur d'un pendule ballant la seconde, et par conséquent l'intensité g- de la pe-

4° La longueur du pendule synchrone ne change pas quand on prend pour nouvel axe de suspension un axe parallèle au premier et silué à h même distance du centre de gravité.

5" EnQn, si l'on remplace l'axe de suspension successivement par une série d'autres axes qui lui soient parallèles, le minimum de ' aura lieu pour n~K, c'est-à-dire quand l'axe de suspension est à une distance du centre de gravite égale au rayon de gyraiion.

Telle est la théorie du pendule composé dans ce qui a rapport à la mécanique rationnelle. Cette théorie est extrêmement importante, puisque c'est au moyen du pendule composé seulement qu'on peut déterminer avec une certaine approximation la valeur de g.

Détermination expérimentale des moments d'inertie. — Maintenant que la valeur de g est bien connue, on peut, en mesurant avec soin la durée des oscillationsd'un corps, trouver

rg8 dinabioue.

la longueur du pendule simple synchrone, ei par conséquent le moment d'inertie du corps amour d'un axe quelconque parallèle à l'axe de suspension; mais, dans toutes les expériences faites sur le pendule composé, il faut Taire un certain nombre de corrections dues à l'Influence des causes perturbatrices, telles que la température qui dilate les corps, l'amplitude des oscillations qui, dans une certaine mesure, influe sur leur durée, etc., etc. Seulement, comme celte influence est trèsfaible, il suffit d'en avoir une valeur approchée, car une erreur relative assez grande commise sur sa détermi nation ne produit sur le résultat définitif qu'une erreur irès-pelïle.

Influence du milieu. — La correction la plus importante est celle qui est relative à l'influence du milieu dans lequel oscille le pendule, milieu qui est ordinairement l'air atmosphérique.

Cette influence a un double effet.

i° Il se produit une poussée qui se retranche de la pesanteur. En effet, un corps placé dans un fluide en repos perd, d'après le principe d'AiTliimède, une partie de son pouls épie au poids du fluide déplacé. Si donc M' est la masse de l'air déplacé, le moment des forces de pesanteur n'est plus que

(M — M'JgasinS.

Le moment d'inertie ne subit d'ailleurs aucune altération; donc on devait mettre

et par conséquent, d'après la formule qui donne la durée de l'oscillation du pendule simple,

le rapport des oscillations dans l'air el dans le vide est

n désignant la densité du pendule par rapport à l'air. Toutefois la formule précédente n'est pas exacte théorique-

ment, parce que le principe d'Archiniède n'esi vrai que si le corps est en repos dans l'air, el que ce principe, el la correction à laquelle il donne lieu, doivent être modifiés quand le corps est en mouvement; il se produit alors une espèce de remous. On a trouvé empiriquement que la correction précédente était Hop forte, et qu'on représentait sensiblement les observations en prenant, au lieu du rapport précédent,

f étant un coefficient > i .

Poisson a déterminé approximativement ce facteur et l'a trouvé égal à -■ De nouvelles expériences seraient nécessaires pour vérifier celle valeur.

2° Le milieu influe encore en opposant une résistance directe au mouvement du pendule. Poisson a trouvé les résultats suivants : si a représente l'écart initial, le pendule abandonné à lui-même dépassera la verticale, mais, au lieu de remonter à l'angle n,,il ne remontera que d'un angle a,, donné par la formule

en supposant la résistance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, et égale à yut*.

Dans son oscillation en sens inverse, le pendule remontera de l'angle

de sorte qu'il finira par arriver au repos, l'amplitude diminuant à chaque demi-oscillation. De plus, la durée de la demioscillation descendante est augmentée par la résistance de l'air de

mais le temps de la demi-oscillation ascendante est diminué de la même quantité, de sorte que l'air n'a aucune influence sur le temps d'une oscillation complète. C'est ce que vérifie

assez bien la première loi d'isoclironismc des oscillations du pendule <] LIC l'expérience ait donnée à Galilée. En effet, cet isochronisinc théorique n'aurait pas élé vérifié par l'expérience si la résistance de l'air avait influé en raison de la vitesse, qui diminue évidemment avec l'amplitude.

Pendule balistique.

Le pendule balistique est destiné à mesurer la vitesse d'un projectile à sa sortie d'une Louche à feu. Il se compose d'un récepleuren fonte, fixé à un cadre de suspension en fer, lequel peut osciller librement autour d'un axe horizontal A [fig. 5o).

Le récepteur contient une matière compressible dont la fonction est de recevoir le choc du projectile et d'amortir la vitesse de celui-ci sans que la rupture du récepteur puisse avoir lieu.

On connaît la masse it du projectile, assez petit pour être assimilé à un point matériel ; il s'agit, d'après l'effet qu'il produit sur le pendule, d'évaluer sa vitesse V, dirigée suivant l'ho-

Dlqitizcd by CoOQ

en a mus v. — applicatiokï -diverses. 201 rizontalc passant par le point connu B, qu'on suppose être le centre de percussion du pendule.

Appliquons le théorème des moments des quantités de mouvement au système formé de l'ensemble du pendule et du projectile, en prenant pour instant initial celui où le pendule est en repos cl le projectile animé de la vitesse V, et pour instant final celui oit les deux corps se meuvent ensemble avec une vitesse angulaire ta autour de A. Si nous faisons AB — fi, et si nous appelons I le moment d'inertie du pendule avant sa réunion au projectile, l'accroissement de la somme des moments des quantités de mouvement est

If.. 4- fJMb.b - flVb OU U{l-t- (A* 1 )- (iV6{

et, attendu que, pendant la très-courte durée du phénomène, on peut négliger les impulsions des forces extérieures, forces dont les moments donnent d'ailleurs une somme presque nulle, on peut poser très-npproximalivement

Mfl-t-fAfi 1 ) — jaV6 = o.

Si a était connu, on en conclurait V. Or celte vitesse angulaire f> peut se déduire de l'amplitude de la première oscillation que fait le pendule immédiatement après le choc. Eu :! l'iiisiiinl [huit du choc, la force vive des deux corps

du système se trouve encore Irès-peu écarté de la verticale passant par A. Mais dans la première oscillation ce centre de gravilé s'élève d'une hauteur II qu'on peut observer, et si l'on désigne par P le poids des deux corps réunis, on a

>'(I -i- f/6')~ PII, d'où V= *-\/lYll{TT~jïb r ).

Si l'on appelle P' ie poids du pendule sans le projectile, a la dislance de son centre de gravilé à A; P"= y. g le poids du projectile; x la distance à l'axe du centre de gravité des corps réunis; 0 l'angle avec la verticale de la droite joignant A au centre lors du plus grand écartemenl du pendule, on a p'n-t p"/>

P^P'-HP", x = — - , H=*(i-cos«)=3*sln-i((.

ÎOi ' HTNA1IQUE,

Pour mesurer l'amplilude de l'oscillaiion, on fixe au bas du pendule une aiguille dont l'extrémité se meut sur un limbe gradué en poussant un petit curseur qu'elle abandonne quand elle arrive au repos.

Quant au moment d'inertie I du pendule, on le détermine facilement on mesurant le nombre des uscillaiiuns eiléciuées par le pendule avant le clidc.

On s'assure qu'on a bien frappé au centre de percussion du pendule, en comptant les nombres d'oscillations effectuées dans un temps donné, avant et après l'expérience. Ces deux nombres doivent être identiques, dans l'hypothèse où nous nous plaçons.

En effet, le centre de percussion, ou centre d'oscillation, est un point où Von peut supposer concentrée la niasse totale

lois du mouvement du pendule simple suiit indépendantes de la masse du point matériel qui constitue ce pendule simple; donc ces lois restent les mêmes après l'addition d'un corps étranger.

g XX. — Mouvement d'us cïlindm pes*st pose

SUR UN FL.tN INCLINÉ.

Nous avons étudié en Statique les conditions de l'équilibre d'un rouleau ou cylindre pesant, posé sur un plan horizontal ou incliné, et nous avons donné les lois expérimentales de la résistance au glissement et au roulement, dans le cas de l'équilibre sur le point d'être rompu, ou du mouvement uniforme acquis.

Pour trouver les lois du mouvement varié, il nous suffira d'introduire les forces d'inertie dans les équations de l'équilibre; car nous savons que les équations ainsi obtenues sont toujours en nombre exactement suffisant pour nous permettre de déterminer les lois du mouvement et de calculer les di-

II importe seulement de Taire une sorte de restriction pratique au principe qui nous autorise à considérer, moyennant l'adjonction des forces d'inertie, un problème de mouvement varié comme une question relative à un corps en équilibre.

CIIâPITUI! V. — iïPLlCATIOMS DIVERSES. 2o3

Le principe de d'Alembert est rigoureusement vrai, et son application est parfaitement légitime, quand on lient compte des forces d'inertie de tous les points matériels qui constituent le système dont on cherche le mouvement; mais nous savons que dcu\ solides naturels en eontael se déforment mutuellement, et que, dans l'étal dynamique, ces déformations donnent n.iissitnt'e à des vibrations très-rapides, par suite à des forces (l'inertie considérables. On arriverait donc a des résultats erronés, si l'on introduisait seulement dans les équations les forces d'inertie calculées comme si les corps que nous appelons solides élaientetïeclivemeni invariables de forme, en faisant abstraction des mouvements moléculaires qui se combinent avec le mouvement apparent de translation et de rotation pour produire le mouvement réel.

Nous supposerons donc implicitement, dans tout ce qui va suivre, que lus déformations des corps étudiés restent trèspetites, c'est-à-dire qu'elles sont du même ordre que celles qu'ont observées les anciens expérimentateurs sur les travaux desquels nous nous appuyons pour la théorie actuelle.

Considérons donc [Jig. 5i) un cylindre ù génératrices hori- Flj. 5..

zonlales, posé sur un plan d'inclinaison i : soient A la projection de l'arête de contact géométrique, et C le centre de la section droite déterminée dans le cylindre par un plan qui passe par le centre de gravité.

Pour qu'il y ail roulement, il faut que l'arête de contact A ait une vitesse nulle; nous verrons les conditions nécessaires pour que ce mouvement ait réellement lieu. Dans tous les cas, supposons que le roulement soit acquis, et supposons d'abord qu'il ail lieu dans le sens descendant.

Mouvement descendant. — Nous savons que le plan exerce ilans ce cas une réaction normale N qui passe en un point A', situé à une dislance 3 en avant du point A, et qu'en outre il développe généralement allssi " ne réaction tangentiellc F.

Supposons que les forces qui agissent sur le cylindre aient une résultante passant à son centre de gravité, et qu'on ait décomposé cette résultante en deux, une force P perpendiculaire au plan, l'autre T parallèle à ee plan.

Puisque le centre de gravité C se meut suivant une ligne droite parallèle au plan iocliné, toutes les forces normales an plan et transportées en ce point doivent avoir une somme nulle ; donc on a

Dans In sens parallèle au plan, on a une accélération donnée par la formule

Nous savons d'ailleurs que la roiation autour du centre de gravité s'effectue comme si ce point était fixe; donc on a, pour déterminer l'accéléra tiun angulaire, la formule

rfu Fit - pa

[ *' dt : ' fMR 1

en admettant que le corps soit un cylindre homogène, auquel cas sort moment d'inertie autour do l'axe C est, comme nous le savons, égal à £MR'.

Enfin il nous reste à exprimer une dernière condition résul- tant de la nature géométrique du mouvement, lequel peut à chaque instant être assimilé à une rotation autour de l'axe A, rotation dont la vitesse angulaire est égale à •», d'après ce que nous avons établi en Cinématique (t. I, p. 1 16).

La vitesse v du centre de gravité étant la même que si le corps tournait ctTecli veinent autour de l'axe instantané A, on a la relation

On aurait pu écrire directement l'équation de la rotation au-

tour Je l'axe instantané, en appliquant le principe des forces vives, qui ne tient pas compte de la mobilité de l'axe.

En effet, le moment d'inertie autour de l'arête A est la somme de Mil', moment d'inertie de la masse totale supposée transportée au centre de gravité, et de jUR', moment d'inertie autour de l'axe C. On a ainsi, en considérant un espace de temps infiniment petit, et remplaçant Ru par v.

C'est ce qu'on aurait trouvé en éliminant V entre les équations(i) et (a).

Calculons maintenant la valeur de F,

l'our cela, multiplions l'équation (n) par MB, et nous aurons, en tenant compte des éqoations (i) et (ï),

d'où nous tirons

l'our que le mouvement que nous avons supposé ail lieu, il faut qu'on ait F</P, sans quoi il y aurait glissement.

Faisons une application en supposant que la seule force appliquée au cylindre soit le poids M g-. Si l'on désigne par i l'inclinaison du plan, ou aura

T — Mgstm', P - ■ M^cosi', 11 faut donc, pour que le roulement soit possible, qu'on ait

un

iang/<3/— a ^.

Donc, avant que la tangente de l'inclinaison i devienne le

ir] pie de la tangente de l'angle de frottement, il y a glissement, ei l'équation (3) n'est plus applicable.

Mouvement ascendant. — Si nous supposons qu'au lieu de descendre le cylindre roule en remontant sous l'action de la pesanteur et des réactions du plan incliné, les formules que nous avons trouvées subsisteront, eu changeant le signe de J, et l'on a

Dans cette équation, les longueurs parallèles à la ligne de plus grande pente du plan sont toujours comptées positivement de bas en haut; donc la valeur positive de '-J- correspond à un retard dans le mouvement ascendant. Si, pour plus de simplicité, on néglige g Cosi devant si m", l'équation devient

, . do 1 . .

(7) dl--lS* mt -

Elle indique que le retard, d'ailleurs uniforme, est seulement les deux tiers de ce qu'il serait si, les résistances passives étant supprimées, le cylindre glissait sans frottement le long du plan d'appui.

11 résulte de celte remarque, et des formules connues qui se rapporlenlau mouvement uniformément varié, que l'espace parcouru par le centre de gravité du cylindre, depuis l'instant où sa vitesse est égale à v, jusqu'au point où il cesse de s'élever, est représenté par

ï agsini' w Or cette longueur correspond à une hauteur égale à

c'est-à-dire à une fois et demie la hauteur dite à la vitesse v,.

Ce résultat, qui peut parât ire surprenant au premier abord, cessera de nous étonner si nous considérons que la force vive