CHAPITRE V. — APPLICATIONS DIÏBRSES

du cylindre, pour une vitesse de son centre de gravité, est égale à

On a donc dù, pour communiquer celte vitesse à l'axe du cylindre, dépenser une fois et demie autant de travail que si l'on avait eu affaire à un point matériel de masse M. Réciproquement il faut, pour anéantir celte force vive, que la pesanteur développe une quantité de travail négatif une fois et demie plus grande dans un cas que dans l'autre.

L'expression (6) de la réaction langentielle F devient, en changeant le signe de è,

soit, avec l'approNimalion que nous admettons, (8) F^Mgsîn*.

On peut remarquer que, si le sens de cette force F est tel qu'il corresponde à un ralentissement dans la rotation, d'autre part cette force, transportée au centre de gravité, se présente comme accélératrice du mouvement de ce point.

Quand le poids cl la vitesse du corps roulant sont considérables cl que la résistance de l'appui est limitée, par exemple quand on considère une hicomnlive pnirouritnl ;i grande vitesse un rail ou une poutre do ponl à supports discontinus, la théorie qui précède n'est plus applicable. Cette partie de la théorie dr la résistance des matériaux est en ce moment tout à fait à l'ordre du jour, et son importance appelle des expériences fort difficiles. Nous indiquerons seulement les deux faits suivants :

i° La flexion de la travée actuellement parcourue par une roue correspond au développement d'une force centrifuge qui s'ajoute à la composante du poids pour produire la chargea laquelle la poutre est soumise.

2° Celte même flexion entraîne des flexions en sens inverse sur les travées coniigués : celles-ci prennent une forme eoit-

DTNÂMIQr.E.

vexe, bîcmôi remplacée par une concavité, cl ainsi de suite. Ces alternatives de flexions opposées, que vient compliquer encore le passage des essieux qui suivent celui que nous considérons, sont extrêmement nuisibles à la durée des poutres et à la solidité des assemblages des diverses pièces qui les composent.

doiil l'axe de figure OC possède un point fixe 0 [fig. 5i). Ce point fixe ne coïncidant pas avec le centre de gravité G, situé quelque pari sur la droite OC à une dislance a de l'origine, le poids P du tore et de sou arbre tend à faire tourner le système auiour de la ligne îles nœuds; et si le corps élail abandonné à lui-même sans vitesse initiale, il tomberait effectivement et se m élirait à osciller comme un pendule, suivant les lois que nous connaissons.

Les choses se passent tout différemment quand le tore est animé d'une rotation initiale auiour du son axe de figure; cl nous savons déjà que, quand le couple agit perpendiculairement à la ligne des noeuds, et qu'une certaine équation de condition est vérifiée; le mouvement du corps se compose d'une roialion cl d'une précession uniformes, l'angle de l'axe

g XXI. — Expériences de Foucmjlt.

de ligure avec la verticale OZ restant constant; de sorte que le tore semble entièrement soustrait à l'action de la pesanteur, et suspendu, pour ainsi dire, par l'effet de sa rotation.

La théorie complète des phénomènes que présente le mouvement d'un solide de révolution autour d'un point de son axe se déduit aisément des équations (12) de la page 176. Un des points les plus cjirieux de cette théorie est la déterminalion des pressions^jui s'exercent sur les appuis d'un axe tel que OC, qui n'est pas fixe [et qui, partant, n'est pas axe réel de ' rotation). Nous supposerons donc qu'en un point C, situé à une distance / de l'appui fixe, se trouve une sorte de support mobile exerçant sur l'axe une réaction dont les composantes, parallèlement à On et Oî, sont représentées par Y et Z ("). Nous admettrons enfin qu'en dehors de celte réaction et du poids P aucune force n'agisse sur notre solide.

On a dans ces conditions, en se reportant aux notations du paragraphe XVII,

N ~ o, N, = P« sin0 — 11, N, = V/.

En introduisant ces valeurs dans les équalions(i2)du même paragraphe, il vient

i ^(n -+- cos6) ~ o,

(t)JA^-t-(C— A)+'sinflcosfl+Cni|isJiie— Pa8irjff=— ZI,

| ÀsIn0^-t-(2À — G]8iJ> cosO - CnQ = Yt.

Pour discuter ces équations, nous supposerons toujours que la rotation n ait une valeur considérable, conformément à ce qui a lieu dans toutes les expériences. Conséquemment, les termes qui contiennent n eu facteur auront sur les phénomènes une inlluence prépondérante. Les équations (1) peu-

(*) H est inutile de considérer le cm mi c.:l[ç r.uclion niinil une comporte X dans le sons de l'oie de figure OC, parce que celle force se roporleraii ir le point fine, où elle (eta il délruile.

aïO DVNAaiQUI.

vent d'ailleurs être considérées à deux points de vue, et servir a résoudre deux sortes de problèmes ;

i" On peut donner les expressions de Y cl Z, et demander de déterminer le mouvement qui en résulte pour l'axe OC.

2" On peut obliger l'axe à prendre un mouvement donné, et chercher quelles sont les pressions (—Y) et {—'/,) que l'axe exercera sur le corps qui l'oblige à prendre ce mouvement. *

Coi singulier d'une prêceuion uniforme. — Nous avons déjà signalé le cas où l'axe OC. sous l'influence d'un couple perpendiculaire a la liRnc des nœuds, tourne uniformément en décrivant un cone de révolution autour de l'axe OZ. Or la pesanteur produit précisément un pareil roupie, et, si nous supposons que le poids f soit la seule lorce agissante, nous aurons pour l'équalion <Si- <•.'-....

|i] (C-AJ^'cosS-. Cn+- l'a - o.

On voit qu'a des valeurs données pour l'angle 6 et la rotation n correspondent pour i|< deux valeurs, qu'on obtient par la résolution de l'équation (a)

p - - C" ± \>Ôh*+- 4(C - A )Pn cosg

Comme nous supposons n très-grand, nous pouvons faire sortir C'i du radical et développer celui-ci en série, en négligeant les termes qui contiennent n 1 en dénominateur; il vient

(C— A)Pacos6 1 On* a (C-A)'P' n 'co5'fl jj

n distinguant les deux racines l'une de l'a fC— AlP'a'cosfl

(C-A)cosf Cn

CniPITBE ï. — APPLICiTLOSS D1VEBSKS. 21 L

Discutons séparément ces deux racines, qui suivent des lois toutes différentes.

i° La racine tfi, a toujours une valeur assez petite; elle croit à mesure que n diminue. Elle change de signe avec la rotation n et avec le moment Va. On met cette dernière propriété en évidence, en prolongeant l'axe OC en arrière du point fixe et suspendant à ce prolongement un contre-poids dont le moment par rapport au point 0 peut être rendu à volonté plus grand ou plus petit que le moment du poids du tore. On rend l'expérience plus frappante en donnant à ce contre-poids la forme d'un récipient plein de sable fin, et percé d'un trou à sa partie inférieure. Le poids du récipient et de son contenu l'emporte d'abord sur celui du tore, et la précession est inverse de la rotation; mais bientôt la proportion se trouve renversée par suite de l'écoulement du sable, et la procession se trouve de même sens que la rotation.

La grandeur de est à peu près indépendante de l'angle 8.

a° La racine ■{<■ est, au contraire, très-grande et croit à peu près proportionnellement à a.

Le signe de fy, est indépendant du.signe du moment P«; il est inverse de celui de n, quand C est plus grand que A et que l'angle 0 est aigu.

Enfin la valeur de est infinie pour Ô — go".

Les courbes de la Jig. 53 donnent les relations qui existent entre n et 4" P 0llr ll?s différentes valeurs de Ô. Ces courbes ont été construites à l'aide de l'équation exacte (2). Elles montrent que, quand n diminue et tombe au-dessous d'une certaine limite, l'équilibre devient impossible pour les valeurs de 9 rapprochées de 180 degrés, l'ellipsoïde étant supposé aplati. Dans le cas de l'ellipsoïde allongé, ce fait se produirait pour les petites valeurs de 0. On peut, en effet, remarquer que l'équation fa) contient seulement le produit (C — A) cos0,

et qu'elle ne change pas quand on change à la fois le signe de C— A et celui de cos9.

En résumé, si, au moment d'abandonner le point C à luimême, on lui imprime une vitesse horizontale calculée sur l'une des valeurs de 4" fournies par l'équation (a) ou par le

113 DYKHIQUÏ.

tableau graphique de iajig. 53, les équations (i) seront vérifiées par les valeurs

celle solution constitue ce qu'on appelle une solution singulière des équations différentielles simultanées {0.

Quand l'équation (a) n'est pas satisfaite par les valeurs initiales de n, 6. d>, le mouvement n'est plus permanent, et nous allons voir ce que devient ce mouvement quand le point C est abandonné à lui-même sans vitesse initiale.

Nous avons vu que, quand le point C est soutenu par un fil attaché par son autre extrémité en un point fixe [fig. »5), ce lil reste parfaitement vertical sans qu'il se manifeste aucune tendance à une déviation, soit à droite, soit à gauche. Quant à la tension du fil, facile à mesurer au moyen d'une balance, elle est absolument la même que si la rotation n'existait pas, et se calcule en rcpaiiissanl, d'après les règles de la Statique, le poids V entre les deux appareils fixes 0 et C.

Supposons qu'on brûle le fil, de manière à rendre subitement la liberté à l'axe OC, et déterminons, au moyen des équations (i). le mouvement que cet axe va prendre, le poids P