CHAPITRE ï. — APPLICATIONS DIVERSES. aiî

étant la seule force appliquée au corps mobile, indépendamment des réactions du point 0 ( * ).

Intégrales du mouvement. — Introduisons dans les équations (i) les hypothèses

Taisons, pour simplifier l'écriture,

... Va , C

11 vient

ld(n + $ C05fl) = O,

(6) ] ^-t-t*'l'sinflfB + <jico89) — iJ/'Binflcosfl— Xslnfl = o, |sinfl^ + aS+cose -fi0(n + i>cosS) = o.

La première de ces équations a pour. intégrale

{7) n+$CQB9 = A,

h désignant une constante arbitraire.

Les autres intégrales s'obtiennent facilement par l'application des théorèmes généraux de la Dynamique.

i° L'expression de la force vive du corps étant

A(0' -t- «J>* sin'0 ) -f- C(n -(- i|i cosfl)', et le travail de la force P étant

{ VasinBdQ — - PacosS + const.,

(') Il est fncilo da ™ir qu'où premier inslant le corps olttira, ce

2l4 DYHXMIQIIP,.

l'intégrale des forces vives, est, en ayant égard aux notalions (5),

(8) e , + il» , sin'9 = F-3acos0,

en désignant par F une deuxième constante arbitraire, el contondant dans cette constante le terme

a" Nous avons trouvé, pour les projections de l'axe du couple .résultant des quaniiiés de mouvement sur les axes mobiles, les valeurs

f G,-C(n + i)-cose} = Cfi, (9] G,^A0,

I G,= Ai]jsind; or, la seule force extérieure P étant constamment parallèle à 0;, la projection de l'aie du couple (9) sur la droite fixe 0: doit rester constante, en vertu du principe des aires. De là noire troisième intégrale, où G représente une nouvelle arbitraire

(10) 4 1 sin'O + ,uA cosfl = G.

En introduisant les valeurs initiales

tj> = o, 6 = o, 0 — fl„ les intégrales (8) et (10) prennent la forme (']

~ j + •If'sin'O = 2?.[cosO.-7 cosû), siit'B — fjA(cos0. — cos0).

importe quelle wro la nnltirr !i r:i|,|.;ncil riiij.lnïi 1 . Muih il faut remarquer que t'eipcricnco n'en pa* susci'jililikt de mettre Lie Ueinent ce résultat en

■-dira par d'autres corps qui participent plus ou inoins au mouromeiil, cl dont la maise doit entrer né ««a ire ment on 1 irjrio de compte., compares à colle Je l'appareil principal.

Éliminons entre ces deux équations; pour cela, multiplions la première par sin'ù, cl remplaçons ij/'sln'fl par sa valeur tirée de la deuxième équation ; nous aurons

sin'â(^V-i-u-/j'(cose,-cose)'^2Xsin , e(cos9,-cose},

(12) sin'e^J ^aî.sin'etcosfl.-cosej-ju'/i'lcos!).— cosfl)'.

Je dis d'abord que, dans le cas où nous nous sommes placés, 9 doit différer irès-peu de A. En effet, fWi' est très-grand par rapport à l'autre terme du second membre; d'ailleurs il

tlQ

est affecte d'un signe — ; donc, pourque soit réel, il faut que le coefficient de jWi' soit très-petit, c'est-à-dire que 0 diffère peu de 9..

Posons donc

nous aurons, en négligeant le carré de (, cos0 = cosft,— EsinO,, sin'Û = sin'e, + 2e sin0.cosO.. Enfin l'on a, d'une manière rigoureuse, d9 dt

Substituons ces valeurs dans l'équation (ri), il vient, en supprimant les termes de l'ordre !? et divisant les deux membres par siii'fl,,

Pour que soit réel, il faut que e reste au-dessous de la quantité

aXsin fl .

C'est la nutation maxima.

Nous pouvons alors écrire

équation qui a pour intégrale

mi ,=.«.. iiî.

Si l'on veut avoir la valeur de la précession, on la déduira de l'équation i|i sin'S — fifi(cos0, — cosÊ), ou, dans le système d'approximation adopté,

La valeur moyenne de ^ s'obtiendra en remplaçant ■ par -; on aura pour celle valeur moyenne

donc la précession moyenne est égale à celle qui correspond au mouvement permanent.

La solution de la question est fournie par les formules suivantes, qui donnent la procession moyenne et la nuiation :

t — esin' 1 — -■

L'amplitude de l'excursion totale de l'axe OC dans le sens de la verticale esl représentée par

et la durée de celle excursion, ou de la demi-oscillation complète, est donnée par la formule

•Enfin la période des oscillations de + coïncide avec celle deO.