ÎE

Pour qu'une demi-oscillation s'accomplisse, il faul que le temps varie de -y; dans le cas qui nous occupe, on trouve à peu près ;' ; de seconde, ty, est à peu près sepl tours et demi par minute.

On comprend donc que le mouvement de l'ase semble tout à fait uniforme, puisque les écarts de la position moyenne ont aussi peu d'amplitude ei une aussi faible durée. L'expérience

Fia- M-

C chnpo portant l'iio du lorn.

A l |ill>llH];:i'.lJlt J' L illL 11. Il' Cl pOll-h U I ri.'/! Il II l l.lLl l L-;,i.id* PM'I'Uh' V.

confirme plcinemenl ces indications. Dans la balance gyroscopique de MM. Fessel el Plûclter (fig. 54), un contre-poids

CBAPITW! V. — APPLICATIONS DIVERSES. 210,

mobile F permet de vérifier facilement l'inversion du mouvement quand on change le signe du moment, ainsi que lous les

11 y a encore un aulre cas dans lequel les calculs d'Integralion s'effectuent sans qu'il s'introduise de fonctions elliptiques: c'est celui où l'on imprime à l'appareil une vitesse initiale ty, très-grande, comparable à la rotation « cl telle que l'on puisse négliger al (cosO. — cosO) devant

Les formules relatives à ce cas sont

( |sin'fl = -i- ,u/i[cos0, — cos5).

La durée de la vibration est plus courte que dans le cas précédent, car on a

et la précession i]j tend vers une valeur moyenne qui diffère peu de la plus grande des deux vitesses qui correspondent à un équilibre stable, ou plutôt à ce que l'on appelle un mouvement permanent.

Celle vitesse est celle que nous avons désignée par i|j„ et dont la valeur est sensiblement égale à

(I — flJCOSÛ

Ces phénomènes répondent à peu près à ceux que l'on observe dans les premiers instants du mouvement de la toupie. La figure qui donne la loi des valeurs de ty, explique comment, à mesure que cette vitesse est diminuée par les frottements et la résistance de l'air, l'axe se redresse de manière à coïncider prompiement avec la verticale, position dans laquelle il se fixe.

Gyroscope. — Un tore anime d'un mouvement de rotation extrêmement rapide constitue la partie principale de divers appareils employés par Foucault sous le nom de gyroscopes, pour mettre en évidence, d'une nouvelle manière, la rotation de la Terre.

Les appareils de ce genre, entre les mains de Foucault et

d'un grand nombre d'habiles expérimentateurs qui ont suivi ses iraces, servent à un grand nombre d'expériences curieuses, dont la théorie est implicitement comprise dans nos trois équations générales.

Pour étudier en particulier l'influence de la rotation de la Terre, il faudrait tenir compte, dans l'évaluation des couples N, N,, N,, des forces apparentes, c'est-à-dire seulement de la force centrifuge composée, puisque la force centrifuge entre comme partie consliljantc dans la force appelée poids.

Pour calculer la force centrifuge composée, qui est fonction, comme on sait, de la grandeur el de la direction de la vitesse apparente, il faudrait avoir soin de ne pas oublier que l'axe de figure ne coïncide pas avec l'axe instantané de rotation apparente, puisque celle-ci a respectivement sur nos trois axes des projections représentées par

Sans effectuer le calcul, qui nous entraînerait trop loin, je vais donner les expressions des trois couples ?i, N, , N,, composants du couple terrestre. Je conserve les mêmes notations que précédemment, et je désigne par m la rotation de la Terre prise positivement :

i" Couple normal à l'axe de figure :

N = C0»sin@;

a° Couple normal à la ligne des nœuds :

N.=— -C«« sine CJa+sinfl cosfl -t-{À— Qu 1 sinS cos9;

3" Couple normal au troisième axe :

N, = Aea cos9.

S'il s'agit d'un volant ou, en général, d'un corps tournant autour d'un axe maintenu fixe par rapport à la Terre, on a

d'où

N = o, N, = — Cn«.Binfl + (A-C)w , sinflcosfl„ K. = o, soit à peu près

N. = -Cn*sin9.

Les expériences les plus intéressâmes sont celles dans lesquelles l'axe d'un gyroscope, dont le centre de gravité est maintenu fixe, csl contraint de se mouvoir dans un plan, soit horizontal, soit vertical.

Dans le premier cas, l'axe accomplit des oscillations autour de ta méridienne vraie, comme l'aiguille de déclinaison autour de la méridienne magnétique. Les lois de ces oscillations diffèrent sensiblement de celles du pendule simple. Quoi qu'il en soit, le gyroscope fournit un moyen curieux, et non soumis aux mêmes causes perturbatrices que la boussole, de s'orienter en mer quand tous les compas ont été mis hors d'usage par une cause quelconque.

Semblablement, quand on oblige les oscillations à s'effectuer dans le .plan du méridien, l'axe devient une sorte d'aiguille d'inclinaison oscillant aulourde la parallèle à l'axe du monde, et pouvant, au moins théoriquement, servir à déterminer la latitude du lieu.

Enfin, quand l'axe est entièrement libre et sans vitesse initiale, il tend, en vertu de sa qualité d'axe principal, a conserver une direction fixe dans l'espace; il résultera de celle tendance un mouvement apparent très-lenl, en vertu duquel l'axe aurait Tait un tour complet autour de la ligne nord-sud en vingt-quatre heures sidérales, si la présence des chapes et l'existence des frottements ne venaient considérablement altérer ce résultat.

Calcul île réactions d'un corps tournant sur un appui mobile.

Supposons maintenant que, la rotation n étant toujours considérable, on agisse sur le point C de manière à faire prendre à l'axe défigure un mouvement obligatoire; les cquations(i) nous feront connaître les réactions du corps tournant sur l'appui ou support mobile C. Ces réactions soot égales et de sens contraire aux quantités que nous avons désignées par Y et Z, lesqu elles représentent l'action de l'appui sur lecorps tournant.

Pour nous faire une idée nette des lois des phénomènes que nous éludions, distinguons un certain nombre de cas simples, en négligeant toujours les termes indépendants de n devant ceux qui sont multipliés par ce facteur.

Z22 WUXIQUI.

i° Supposons d'abord qu'on obfige la droite OC à décrire un cône circulaire autour de l'axe Qz, avec une vitesse angulaire représentée par t{j, en projection sur le plan des xy: Supposons en même lemps qu'on ail a — o, de manière que la pesanteur soii détruite et que le corps, soustrait à l'effort qui s'exerce au point C, tende à conserver indéfiniment la rotation qui l'anime autour de l'axe principal OC.

Faisons dans les équations (i)

Il vient, avec l'approximation dont nous nous contentons,

(17) Y/= AsinS ZI—- Cn-J/sinfl.

On voit que la réaction principale ( — Z) est normale' à la direction du mouvement qu'on imprime à l'arbre OC; elle est à peu près proportionnelle à la rotation propre n, et tend à soulever l'appui. Quant à la réaction directement opposée au mouvement, elle est relativement faible et indépendante de l'état de repos ou de mouvement des corps.

Réciproquement, si l'on veut changer l'orientation de l'axe supposé immobile, il faut exercer sur cet axe un effort ascendant ou descendant Z, selon qu'on veut le faire mouvoir à droite ou à gauche, mais toujours situé dans le plan vertical conduit par cet axe. On a alors, en venu de la deuxième des équations (17],

dt ~ CnsinS'

Supposons la rotation n assez considérable pour qu'on ne voie pas le corps tourner, on sera averti de l'existence de celte rotation en voyant si l'axe de ligure, soumis à un effort vertical Z, cède directement à cet effort, ou bien s'il prend au contraire un- mouvement latéral. Des phénomènes de ce genre fourniront peut-être un jour des indications sur la rotation des molécules des corps, à la condition qu'on ail un moyen de ramener les axes de toutes ces molécules au parallélisme, afin que les effets concordent et puissent fournir une somme appréciable. En tout cas, il y a là un paradoxe dynamique fort

CBAriTRB t. — APPLICATIONS D1ÏEIISE3. 3l3

Concevons qu'on tienne h la main l'extrémité C de l'axe: tant qu'on cherche seulement à maintenir l'axe dans une direction invariable, on supporte simplement la Traction du poids déterminée d'après les règles de la Statique, fraction qui ne dépend en aucune façon de la rotation n. Si l'on veut, au contraire, changer l'orientation de l'axe eu le faisant tourner autour de la verticale du point d'appui fixe, on ressent une résistance considérable, dont on ne se rend pas parfaitement compte, et qu'on est porté tout naturellement à regarder comme opposée au mouvement qu'on cherche à produire. En réalité, on n'éprouve qu'une résistance insignifiante dans le sens du mouvement, mais une autre au contraire très-forie

EE sarclevartlul Aie;

KZ' nie vertical, autour duquel peu! tourner la première chape; Mil ai,; .1,- !., , lT .>:ti1e dupe II'; Ci:' aie de la sphero mobile.

dans la direction perpendiculaire, .résistance qui tend à soulever l'appui artificiel. L'expérience est facile à faire avec l'appareil de Bolmenberger, représenté par la fig. 55. Si l'on

a i4 DYNAMIQUE.

cherche à faire tourner la chape stf B autour de la verticale, on éprouve une résistance très-forte; cette chape paraît solidement fixée, et le seul résultat qu'on obtienne est l'inclinaison de l'axe CC'.

Pour se rendre compte de ce qui se passe dans celle expérience, soil Y l'effort horizontal exercé; on a, par la dernière des équations(i) simplifiée, eu négligeant les termes du premier membre qui ne contiennent pas n,

— C/iO = Y/,

dO Y7 dt - Cn'

La partie positive de l'axe tend donc à se relever, et la réaction Y est proportionnelle à la vitesse angulaire de ce mouvement de nulalion.

Il suit de là qu'on peol réduire considérablement la réaction Y, c'est-à-dire supprimer de son expression le terme proportionnel à n, et cela en s'opposant simplement au mouvement de notation.

On obtient co résultat en établissant, au moyen d'une goupille passant dans deux trous convenablement ménagés, une liaison invariable entre les deux chapes, de manière que l'axe CC conserve seulement la liberté de tourner autour de la verticale zz'.

En effet, si l'on fait 0 — a dans les équations (1), nous avons trouvé, pour la loi du mouvement de l'axe en projection ■ horizontale, l'équation

A S in9*-Y/, laquelle ne dépend pas de la rotation. Quant à la relation

Z/=-Cn|sine-(C-A)<>'sin9cosE), elle donne la charge du goujon que nous avons introduit pour 'empêcher la nutation.

L'expérience est extrêmement curieuse r les deux chapes étant libres, on éprouve une résistance considérable pour changer la direction de la chape moyenne, et il semble qu'il faille un grand déploiement de force pour faire tourner cette

CIUPITBE ï. — ÀPFLICJlTJONS DlïEBSe».

chape d'un pelit angle, en conservant l'inclinaison de l'axe de la sphère.

Introduisons le goujon; on est alors tout surpris que celle liaison nouvelle, celle gêne fasse disparaître pour ainsi dire complètement la résistance dont nous avons parlé. Une légère impulsion fait faire deux oo trois tours à l'appareil, si les pivots i et s' sont bien graissés. Une fois qu'au moyen de cet artifice on a amené la chape M dans un certain azimut, or n'a qu'à supprimer la goopïlle, et la chape se retrouve aussi solidement fixée dans cette position que dans la première.

Effet 'l'un couple appliqué sur l'axe fie figure d'un corps animé d'un mouvement de rotation rapide.

Pour résumer ce qui précède, nous avons vu que, sous l'effort d'un couple vertical ZI, l'équation du mouvement de l'axe ■en

au contraire, avec un couple Yt, on a de Y/ dt ' Cn ' on peut donc énoncer le théorème suivant :

TiltonÉME. — Quand un solide de révolution est animé d'un mouvement de rotation considérable autour de son axe de figure, l'effet d'un couple appliqué sur cet axe est de lui communiquer un mouvement de rotation normal au plan du coup!,.

Réciproquement : Quand on oblige l'axe ù prendre un certain mouvement dans l'espace, la réaction ou force d'inertie est à peu de chose pris perpendiculaire à deux positions consécutives infiniment voisines de t'axe.

, Application au tir des projectiles. — Un projectile oblong, après avoir parcouru un certain espace en dehors du canon, n'a plus son axe de figure tangent à ia trajectoire de son centre de gravité, d'où il suit que la résistance de l'air produit sur «et axe des forces qu'on peut considérer approximativement III. .5