CHAPITRE VI. — HOCmiENT VARIÉ DES MAC DINES» ^4g
avantageusement appliquée à une manivelle à double effet. Évidemment, dans ce dernier cas, le contre-poids ne pourrait être fixé à l'arbre de la manivelle; car s'il venait en aide à la force mouvante lorsque le bouton de la manivelle serait à l'un des points morts, il deviendrait résistant quand le bouton serait à l'autre de ces points; mais la question reçoit une solution affirmative si l'on place le contre-poids sur un arbre horizontal lié à celui de la manivelle par un engrenage qui l'oblige à faire deux tours pendant que la manivelle en fait un, en fixant le contre-poids de manière que son rayon soit horizontal et en train de descendre, aux instants où le bouton de la manivelle passe aux points morts.
L'étude de celle disposition, qu'on se borne à indiquer ici, montre ; i" que, pendant un tour du contre-poids ou un demitour de la manivelle, il y a pour la vitesse angulaire deux maxima et deux minima; a" que les deux maxima deviennent égaux, ainsi que les deux minima, quand on fait le moment Q'r du contre-poids égal à o,aigQ6; 3° et que, dans ce cas, le plus avantageux pour satisfaire à la condition de régularisation, m,— û>i= " ] — , la formule donnée pour le cas de la
manivelle à double effet sans conire-poids est remplacée par celle-ci :
le coefficient numérique est donc environ neuf fois plus petit.
Des masses animées d'un mouvement rectiligne progressif ou alternatif, — Pour donner un exemple de la manière dont ces masses s'introduisent dans les calculs, considérons d'abord le cas d'une machine horizontale à double effet servant à l'extraction du charbon {ftg. 61).
La résistance sera alors représentée par le poids I', dont le bras de levier sera supposé égal à r, et la puissance Q, supposée constante, sera la résultante des efforts horizontaux qui s'exercent sur les deux faces du piston. Nous négligeons le poids de la corde et celui de la bielle BC, mais nous tiendrons compte de la masse — du piston. Enfin nous supposons la
bielle assez grande relativement au rayon OB de la manivelle pour qu'on puisse la considérer sans erreur notable comme parallèle à OC.
Fie- Si.
La condition du mouvement périodiquement uniforme donne T — inrV = 4*0-
La force vive du système n'est plus ici proportionnelle au carré de la vitesse angulaire. Le maximum et le minimum de l'une ne répondent plus à ceux de l'autre. Soient l'angle B'OB = 0, et (.1= la vitesse angulaire correspondante. En appelant K la demi-force vive à l'instant où Q = o, on a pour l'équation du travail ,
[ iu»R'M + 4u>c'--i-£M'6 , slH'e--K
I =Qft(i-cos6)-Pre = ^8ln40- ~J, d'où, en différentianl,
-n.i'fi'sinflcosS^- = Qb ^sinO — u.
Le maximum et le minimum de u exigent donc la relation { 2 ) Qb (s\a 9 — «'i' sin 8 cosS = o.
CHANTRE 1h — M OU VEULENT VARIÉ SES HACWTVESi l5t
Si l'on se donne ta vitesse angulaire moyenne w = —
et la condition ta, — u, = ^% on en conclut w, = iv^i —
ei w, = «•^1+ ^ n substituant successivement ces va-
leurs de dans l'équation (a), on obtiendra les valeurs correspondantes de 0, et 0„ l'une plus petite, l'autre plus grande que — ■ En substituant alors m, et 8„ puis o, et @> dans l'équation (i), et en retranchant l'une de l'autre les deux équations obtenues, on éliminera K, et l'on aura, pour déterminer R'M, l'équation
= Qi[cos8.- cosO,- ""^ 0ll j-
Remarque I. — Si le piston se mouvait verticalement, il conviendrait que son poids fut contre-balancé par celui d'un corps lise à la manivelle sur le prolongement de BO.
Remarque II. — La pension de la corde n'est égale à P que lorsque la vitesse angulaire est à son maximum ou à son minimum.
Remarque III. — L'action de la bielle sur la tige du piston au point C est beaucoup plus variable; la vitesse angulaire 10 pouvant être considérée comme à peu près constante quand le nombre n, et par conséquent le moment d'inertie, sont assez grands, le maximum de l'accélération du point C a lieu à l'instant du passage ïiux points morts, et sa voleur est bu 1 ;
la force totale agissant alors sur le piston est donc ~~~~ '
Considérons en particulier le passage du boulon au point B';
l'accélération du point C et la force sont dans lesensB'C.
Immédiatement avant le passage au point mort, la force Q agit dans le sens contraire. La force P avec laquelle la bielle presse le piston est donc dans le sens B'C et satisfait à
I" équation
DU
Immédiatement après le point mort, la forceQ change brusi|uement de direction, et la force F, devenant F = — — — Q, peut être changée de sens.
Contre-poids des locomotives. — Les masses en mouvement alternatif ont un effet très-fâcheux à cause des forces d'inertie variables qu'elles développent, forces qui troublent périodiquement l'équilibre de la machine cl les réactions des appuis, en produisant sut les liaisons îles diverses parties de la ntarhinc un effet désastreux, surtout lorsqu'il s'agit de machines mobiles comme les locomotives.
Supposons qu'une locomotive soit attelée à un train, et qu'on s'arrange de telle sorte que la puissance soit égale à la résistance, de telle sorte que le mouvement du centre de gravité total soit uniforme. On sait que ce point se meut comme si toutes les forces lui étaient immédiatement appliquées; les forces intérieures se détruisent dans cette translation et n'ont aucune influence sur la position du centre de gravité. Cette position est également indépendante de la situation du pointd'application des diverses forces extérieures. Dans le cas où nous sommes placés, le mouvement du centre de gravité est uniforme, et les forces transportées à ce point se font équilibre.
Mais une locomotive se compose de deux parties bien distinctes : l'une, relativement fixe, est la réunion du châssis, de la chaudière, etc.; l'autre, mobile par rapport à la première, est formée de l'ensemble des essieux, roues, bielles, manivelles et pistons.
Lorsque le centre de gravité de la partie mobile marche relativement en avant ou en arrière, pour que le centre de gravilé général conserve son mouvement uniforme obligé, il faut que la partie fi\e prenne en sens inverse un mouvement de tangage ou de recul.
CtUPITRÏ VI. - MOUVEMENT VARIE DES MACHINES. l53
Soieni {fig. 6a) Ofi la manivelle; G son centre de gravité; AB la bielle;
G, son centre de gravité;
Fi B . 6 3 .
OB =r, OG = d, AB = b, AG, = \b; M la masse de la machine entière ; fi celle de la manivelle ; B celle de la bielle;
P celle du piston avec sa tige, le plongeur, etc.;
M' celle de la partie fixe; soit M' = M- 3 p. - aB— aP.
A partir du point mort B', le centre de gravité de la manivelle a marché de
^(i-cosp);
celui de la bielle, de
enfin le piston ei son attirail, de
r(i-cosp)-6(i-Cos«). L'angle a étant assez petit, d'après l'équation
sina— j sinjî,
on a
i — cosa = 7sin'o= - — sin'S.
54 DTIMaïQVE.
Les quantités qui précèdent deviennent ainsi
Les pièces analogues répondant à la manivelle qui est à angle droit sur la première donnent
En désignant par x le déplacement du centre de gravité total, on aura
M'* = (/*rf-t-Br-t-Pr)(i — cosp -+- sinjî),
ou, en désignant par m la masse de la manivelle reportée à son extrémité, c'est-à-dire faisant
C'est la loi du mouvement de la projection sur un diamètre d'un point M qui se mouvrait uniformément sur un cercle de rayon q (Jig. 63). De plus, par suite de la position rectangulaire des manivelles, les mouvements relatifs s'opèrent des deux côtés dans des sens alternativement concordants et opposés; la somme des moments, relativement au centre de gravité général, des forces de recul provenant des deux manivelles, cliange périodiquement de signe et tend à imprimer à la chaudière un mouvement de lacet sur les rails. Des perturbations analogues se manifestent dans le sens vertical. En effet, lorsque les pièces mobiles s'élèvent ou s'abaissent, la machine tend inversement à s'abaisser ou à se relever, et par
mr=p4, • r(i — cosp -1- sin?) — p + gsin(j3 — 45°).
