CHAPITRE I. — UÏDHOSTATIQIH. î8j

mem, puisque lu condition de l'équilibre n'est pas satisfaite; ils ne peuvent le faire sans acquérir une certaine force vive, ce qui exige que la pesanteur fasse un travail positif, et que par conséquent le centre de gravité descende.

Équilibre des fluides sollicités par des forces quelconques.— Une portion définie d'un fluide est en général sollicitée par des forces analogues à celles qui constituent son poids, forces qui agissent indépendamment et en outre des pressions ducs aux molécules environnantes. Leur résultante, divisée par la masse de cette portion, est l'accélération que celle-ci, ou plutôt son centre de gravité, prendrait sous la seule action des forces dont nous parlons. A mesure que la portion détinie diminue d'étendue, en y comprenant toujours un point (x, y, z), l'accélération due à ces forces approche d'une limite j; et puisque p est à la limite la masse d'unité du volume, le produit pj est la force rapportée à l'unité de volume au point (x, y, a) du fluide. L'accélération j, variable en intensité et en direction, est donnée par ses trois composantes parallèles aux axes; nous les désignerons par X, Y, Z. La force pj se décompose donc en pX, pY, pZ, et les composantes de la force qui s'exerce sur une masse infiniment petite, dm, seront représentées par Xdm, Y dm, Zdm.

Exemples : i°l)ans le cas où les forces indépendantes des pressions sont uniquement dues à la pesanteur, si l'axe des Z est vertical el ascendant, on a

i' S'il s'agit d'un fluide en repos dons un vase tournant autour d'un axe fixe vertical avec une vitesse angulaire constante a, la force pj qu'il faut attribuer à l'unité de volume de ce fluide pour traiter son repos apparent comme un repos réel est la résultante de la force pg verticale due à la pesanteur, et la force pw'r centrifuge ; ainsi

Équations générales de l'équilibre des fluides. — Considérons dans un fluide en repos un parallélépipède rectangle infiniment pelit, dont un sommet est le point [x,y, s), les coiés

ïS8 HYDRAULIQUE.

parallèles aux aves élani respectivement dx, dy, ilz. Sa masse dm esi, sauf un infiniment petit d'ordre supérieur au troisième, pdxdydz. La force qui la sollicite, indépendamment des prcssionseiercéespar le fluide environnant, a, sauf la même restriction, ses trois composantes égales à Xdm, Y dm, Zdm. La pression du fluide au point {x, y, z) par unité de surface dans une direction quelconque étant représentée par p, la pression totale du fluide extérieurau parallélépipède, sur la face dont la dislance à l'origine est x, a pour valeur p dydz, sauf un infiniment petit du troisième ordre, ei elle est dirigée dans le sens des x positifs. La pression, par unité de surface au sommet, dont les coordonnées sont x + dx, y cl z, est p -4- '~ dx, expression dans laquelle ^ est la diffère mie Ile partielle de p par rapport à x. La pression totale sur la face du parallélépipède dont la dislance à l'origine est x + dx a donc pour valeur (^p + ^dx^j dyds, elellecsl dirigée dans le sens des x négatils. Les autres faces subissant des pressions qui leur sont perpendiculaires, il en résulte que l'équilibre du parallélépipède exige qu'on ail

pdydl- (p+ d £dx)dydz

Xdm =

Eu mellani pour dm sa valeur, réduisant et raisonnant de môme pour les forces parallèles aux y ei s; on obtient les trois équations nécessaires et suffisantes de l'équilibre du fluide :

dy

En les multipliant respectivement par dx, dy et dz, et en les ajoutant, on a

(2) dp — p{Xdx + Ydy+Zdz).

Si le fluide est en équilibre, le second membre 'de celle équation est la différentielle totale d'une fonction de x, y et z, et cette fonction, une fois obtenue, fera connaître la pression, à une constante près qu'on pourra déterminer

CilxriTRI I. — HYDROSTATIQUE. 28g

si l'on connaît la pression par unité de surface en un point

Dans le cas de la simple pesanteur, on retrouve, en faisant X = o, Y = o et Z=g, l'équation

dp = pgdz,

équivalente à

Ce moyen simple de trouver les équations générales de 1'IIydrosialique est dù à Euler('), qui l'a tiré des principes posés pour la première fois par Clairaut ( " ).

Surfaces de niveau. — On appelle surface de niveau, relativement à la force variable dont les composantes sont X,Y,Z, une surface qui, menée par un point pris arbitrairement, a en chacun de ses points pour normale la direction de la résultante j de X, V, Z; celte définition est une extension de la signification ordinaire de la même expression, relativement à la pesanteur. Par un point {x,y, z j imaginons, sur la surface de niveau qui lui correspond, une courbe quelconque; et soit ds, dont les projections sur les axes sont les différentielles dx, dy, dz, l'élément différentiel de cette courbe, à partir du point dont il s'agit. Les angles de la tangente à la courbe avec les axes ont pour cosinus ~, les

cosinus des angles de la résultante j avec les mêmes axes X Y 7.

sont j, -j et -■• La délinilion précédente est donc exprimée par l'équation

et l'équation différentielle d'une surface de niveau quelconque, pour le système de forces supposé, est

Cette équation est Inlégrable si la condition d'équilibre esl

f*j lUémairei Je VAcaâlmie de Berlin pour ij5ï. (■*) Théorie de la figure de la Terre.

BfJO HYDRAULIQUE.

satisfaite; CD effet, on rend son premier membre une différentielle exacte en le multipliant par le facteur p.

Cas particulier ofl X<£r + Ydy-¥ Zdz est la différeruielle exacte d'une fonction des variables x, y el z. — Puisque X, Y et Z sont les composantes d'une force j supposée appliquée à l'unité de masse, X dx 4- Y dy + Zdz est le travail élémentaire que cette force produirait sur un point avant l'unité de masse et se transportant du lieu où les coordonnées sont x, y, z a celui où elles deviennent x + dx, y -t- dy, z -+- dz. Or on sait que ce travail est la différentielle exacte dune fonction o des coordonnées du point ( x, y, z), en particulier lorsque j est la résultante des forces qui passent par des points fixes (centres d'attraction el de répulsion), et dont les intensités sont fonctions des dislances r de leurs points d'opplico-

Uans ce cas, l'équation ( a ) paui s'écrire ainsi :

On conclut de là que, sur les surfaces dont l'équation esl -j — const., on aura dj> — o, et par suite p = const. La densité sera aussi constante sur ces surfaces, parce que, pd; étant une différentielle exacte, p doit ôtre une simple fonction do o, et par suite constante en même temps que 9.

g II. — Pression totjllb d'un liquide pesant homogène

sua UN PLAN, Centre de pression.

Soit u l'aire de l'un des éléments d'une portion de plan en contact avec un liquide en repos; soit h sa hauteur ou-dessous d'un plan horizontal NN dans lequel la pression est p,; la pression sur l'élément «i est up, -+- aiTI h ; les pressions sur tous les éléments du plan étant perpendiculaires à ce plan ont une résultante égale à leur somme p, lw + II £ei A. Or, si il désigne l'aire totale 2u, et si II est la hauteur du centre de gravi Lé du plan pressé au-dessous du plan de niveau, on a ZuA = QH, cl la pression totale est U(/>, + IIH). On remarque que HQH esl le poids d'un prisme de liquide qui aurait pour hase ii el pour hauteur H. Donc la pression ne de-

CB*PITBE I. — HÏDBOSTtTIQUE,

pend pas de l'orientation de la face : elle ne dépend que de la bailleur du centre de gravité au-dessous <lo la surface libre.

Centre de pression. — La résultante des forces normales au plan pressé perce ce plan en un point appelé cenlre de pression, qui est toujours situé au-dessous du cenlre de gravité de la surface. En effet, si, par la pensée, on rend celte paroi horizontale en la faisant tourner autour d'un axe horizontal tracé dans son plan par le centre de gravité, ia pression totale n'est pas changée, puisqu'elle est toujours U(/j,-+-III1), et la résultante passe alors par le centre de gravité, puisque, dans ce cas, les pressions sur des cléments égaux du plan sont égales. Or, si l'on ramène ia paroi à sa position inclinée, les pressions partielles sur la partie supérieure de la paroi sont diminuées, les autres sont augmentées; donc la résultante passe au-dessous de l'axe de rotation.

La position du centre de pression d'un liquide sur une paroi plane se trouve par le calcul, en appliquant la théorie de la composition des forées parallèles. Nous nous bornerons au cas où le liquide est homogène. Nous négligerons, comme l'on fait ordinairement, le terme dû à la pression atmosphérique, parce que celle-ci est supposée agir également sur la Tace opposée égale et parallèle à celle de la paroi considérée.

Dans la fig. ^5, dont le plan est supposé vertical et perpen-

diculaire à la paroi pressée, irpréscmons par NX le plan horizontal dans lequel la pression du liquide est considérée comme nulle. Soit AB la trace verticale de ta paroi, et soil D l'intersection de son plan prolongé avec NN. Soil C le cenlre de pression, et supposons qu'on demande sa distance AC h l'axe horizontal A. Décomposons la surface AB en éléments du

H(. jS.

tels que celui qui se projette en MM„ Appelons z la distance verticale Mm, x la distance AM. La pression sur la surface dm est M s dm; son moment autour de l'axe A est Oiidii, Si donc nous représentons par x' la distance AC, nous aurons

(i) x'illsdm = lUzxdm, d'où x' - . ^jj^ •

Si l'on choisissait le point D pour origine des x, on aurait

! = a:s j na et ar suite x' - lx ' da ' .

s xsmx e, par sut e, x — 2 x j u '

Or lx>d:> est le moment d'inertie <le la surface 2do autour de l'axe D, et Ixdià le moment de la même surface par rapport nu même axe; donc le centre de pression coïncide avec le centre de percussion ou le centre d'oscillation de la surface pressée relativement à l'axe D.

L'origine des x étant un point quelconque A, représentons la dislance AD par C; ainsi z — (c -t- x) sina. Décomposons In surrace pressée en bandes horizontales infiniment étroites exprimées \ar ydx, la longueur variable des bnndes dans le sens horizontal étant y, la formule (î) devient

f{cx + x') r dx J{,: + x)ydx '

Il ne reste plus qu'à substituer à y son expression on fonction de x cl à exécuter les intégrations dans les limites de In surface pressée.

Si celle surface est un trapèze dont les bases soient horizontales, ce qui comprend à peu près toutes les formes de vannes usitées dans la pratique, représentons ces bases projetées en A el B par a et b, et soit la hauteur AU. Nous avons

et en effectuant les intégrations depuis x — a jusqu'à

CKAHTII I. — HYDROSTATIQUE.

Cas particuliers :

c—o, trapèze, base à fleur d'eau... X 1

6 = 0, c — o, triangle, base à (leur d'eau. . . x'

a = o, c -- ii, triangle, sommetà fleur d'eau, x' a — a, c — o, parallélogramme, c&té horizontal à fleur d'eau

On trouve aisément a priori ces résullats.

La recherche du centre de pression d'un liquide sur une paroi plane peut se ramener à celle do centre de gravité d'un volume. La pression sur la bande MM, est égale en intensité au poids d'une tranche de liquide projetée en MM, m\m' qui aurait pour base le rectangle égal à yz projeté en Mm, el pour épaisseur MM,. En étendant à toute la paroi AB cette observation, on voit :

i° Que la pression totale est égale au poids du prisme ou cylindre droit tronqué ABri'i' qui aurait pour base inférieure la paroi AB et sa base oblique supérieure dans le plan a'b' passant par D, el tel que toute perpendiculaire Mm' est égale à la verticale correspondante Mm;

a" Que la résultante des projections passe par le centre de gravité G' du même cylindre, et par conséquent le centre de pression C est la projection rectangulaire sur la paroi de ce même centre de gravité;

3" Que le centre de pression est aussi sur la verticale passant par le centre de gravité du prisme ou cylindre tronqué à arêtes verticales kabh ayant pour l'une de ses bases la paroi AB, et sa base supérieure dans le plan horizontal NN. Celte considération conduit immédiatement aux trois dernières valeurs des x' ci-dessus.

Lorsque les deux faces d'une vanne sont pressées par deux portions distinctes d'un même liquide, dont les surfaces en contact avec l'atmosphère sont à des niveaux différents (fig. 76) la différence des pressions par mètre carré sur les deux laces

ao3

3g{ HTDRAELIQCE.

immergées est visiblement constante ei égale au poids n du mètre cube de liquide multiplié par la différence h de niveau,

abstraction faite de la légère variation de la pression atmosphérique sur les deux surfaces du liquide.

§ III, — Pression d'ur fllide sl*h une surface cochre.

Quand on considère l'action d'un fluide sur une surface courbe, il ne petit plus être question de pression totale. Les pressions élémentaires ne surit plus parallèles, et, généralement, elles n'admettent pas de résultante unique. On peut avoir à chercher la somme des composantes de ces pressions élémentaires sur un ane quelconque; la solution de cette question est fournie par le théorème suivant, qui est évident:

TaiOBBM, — La composante suivant un axe Ox de la pression pr.i, qui s'exerce normalement à an élément superficiel a, est représentée par la pression que supporterait au même point la projection to' de l'élément w sur un plan perpendiculaire à Ox.

En effet, si N csi la normale h l'élément «, la composante cherchée est

pwcos N, x ~ pu',

puisque w cos N, x est précisément égal à la projection W de l'aire sur le plan perpendiculaire à Ox,

Corollaire I. — Si le fluide qui s'appuie sur une surface courhe est à une pression constante (ce qu'on peut souvent admettre approximativement pour un gaz de peu d'étendue), la somme algébrique des projections sur un axe 0*.