CHAPITRE IL

HYDRODYNAMIQUE.

D'après ce que nous avons dit de l'utilité de l'Hydraulique, on comprend facilement que l'art de conduire et d'utiliser les eaux a dù être cultivé de tout temps avec plus ou moins de succès. Les anciens onl même exécuté de irès-beaux travaux dans ce genre, travaux dont quelques-uns subsistent encore et n'ont pas été surpassés.

Mais l'Hydrodynamique rationnelle est une science née il n'y a pas encore deux siècles. Newton a tenté le premier de calculer, par les principes de la Mécanique, le mouvement des fluides, et d'Alemberi est le premier qui ail réduit les vraies lois de leur mouvement à des équations analytiques. Clairaut avait donné dans sa Théorie de ta figure île la Terre, en i;43- 'es lois générales de l'équilibre des fluides; il ne s'agissait donc nue de passer de ces lois à celles de leur mouvement, par le moyen du principe auquel d'Alemberi avait réduit, à cette même époque, toute la Dynamique. Ce dernier fit, quelques années après, ce pas important, a l'occasion du prix que l'Académie de Berlin proposa en 1 750, sur la théorie de la résistance des fluides. Enfin Euler, simplifiant et complétant les théories de d'Alemberi, donna les premières formules générales pour le mouvement des fluides, fondées sur les lois de leur équilibre, el présentées avec la notation simple et lumineuse des différences partielles.

Nous allons commencer par établir ces équations, dont l'intégration, si elle était possible, aurait pour effet de déterminer complètement les circonstances du mouvement et de l'action d'un fluide mù par des forces quelconques. Malhett-

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rcusemcnt, elles sont si rebelles qu'on n'a pu jusqu'à présent en venir à bout que dans des cas irès-1 imités.

g I. — ÉQUlTtOKS GÉNÉRALES DL' HOL'ÏESEïr DES FLUIDES.

Pour se faire une idée exacte du problème considéré de la manière la plus générale, il faut supposer que, à un instant déterminé que l'on prendra par exemple pour origine des temps (/ r=o), on connaisse la position de toutes les molécules qui composent le lluide, et les vitesses dont elles sont animées; que, de plus, on donne les forces extérieures qui agissent sur tous les points du lluide, les pressions et les autres conditions relatives à ses limites dans tous les sens.

Cela posé, il s'agit de déterminer le mouvement de chaque molécule en particulier, c'est-à-dire de trouver l'expression des trois coordonnées de celte molécule en fonction du temps, et de connaître de plus la pression et la densité en un point quelconque, la température dans le cas d'un gaz.

Pression dans tes liquides en mouvement. — Qu'est-ce que la- pression en un point d'un liquide en mouvement? C'est l'action mutuelle de deux portions infiniment petites en contact. Peut-on dire qu'elle soit la même dans tous les sens? Comment la mesurer?

Eu venu du principe de d'Alembert, un liquide en mouvement peut être considéré comme étant en équilibre sous l'influence des forces extérieures, des pression? et des forces d'inertie. Or les forces d'inertie sont de la nature de celles qui sont proportionnelles aux masses et qui, à la limite, disparaissent devant les pressions; donc on peut étendre au cas d'un liquide en mouvement notre démonstration du principe fondamental de l'égalité de pression en tous sens, et définir la pression comme en Hydrostatique.

Ce principe de l'égalité de pression suppose la fluidité parfaite, c'est-à-dire la pression normale aux surfaces, ou bien l'absence de tout frottement. Or, si cette hypothèse ne s'écarte pas sensiblement de la vérité dans le cas d'un liquide en équilibre, l'expérience prouve que, dansle mouvement desliquides, il se développe un frottement dont l'intensité augmente avec

la vitesse. Pour le reconnaître, il suffît de considérer une rivière. Son mouvement, dans une étendue limitée, est sensiblement uniforme et, s'il n'y avait pas de frottement, il serait accéléré comme celui des corps qui glissent sur des plans inclinés. De plus, si le frottement des liquides suivait à peu près les mêmes lois que celui des corps solides, il y aurait une certaine inclinaison de lit sur laquelle le mouvement serait uniforme; dans tous les autres cas, il y aurait mouvement accéléré ou relardé. Or l'observation montre, au contraire, que le mouvement uniforme s'établit toujours, quelle que soit la pente; seulement la vitesse augmente avec la pente. Il faut donc que le frottement augmente aussi avec la vitesse. Ces réserves étant faites, nous commencerons par négliger le frottement; nous verrons ensuite à en tenir compte.

Du problème général de V Hydrodynamique. — Les coordonnées x, y, a d'une molécule déterminée sont des fonctions de la seule variable /; mais ces fonctions changent d'une molécule à l'autre et dépendent, par conséquent, des coordonnées a, b, c du point où se trouvait à l'origine du mouvement la molécule que l'on considère. On doit donc regarder x, y; z comme des fonctions des quatre variables indépendantes a, b, c, t; ei si l'on peut trouver l'expression générale de ces trois fonctions, on connaîtra exactement le mouvement de telle molécule que l'on voudra, à partir de sa position initiale.

Ce n'est point ainsi que l'on pose habituellement le problême. Au lieu de suivre une molécule dans son mouvement, on se place en un point M déterminé (x, y, s) de l'espace occupé actuellement par le liquide. Soient u, v, tv les composantes de la vitesse de la molécule qui passe au point M à l'époque / : au bout d'un certain temps, cette molécule se sera transportée ailleurs; elle sera remplacée au point M par une autre qui sera animée d'une autre vitesse [u,, v„ «>,]; de sorte qu'en un point fixe les composantes «, v, w doivent être considérées comme des fonctions du temps (; elles varient en outre avec le point M que l'on considère, de sorte que ce sont en définitive des fonctions des quatre variables indépendantes x, y, z, (.

Proposons-nous de déterminer d'une manière générale ces fonctions u, v, w, et, cela fait, il est facile de voir que le pro-

3<>4 IIYDIUULIQI'E.

blême pourra être regardé comme résolu f en mettant de côté les difficultés purement analytiques). En effet, si l'on veut alors connaître le mouvement d'une molécule en particulier, il suflira déconsidérer x,y, z comme des fonctions de / seulement, et de poser les équations

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Sr J "' Tt="' Ti="-

En remplaçant u, v, iv par leurs valeurs et intégrant, on aurait x, y, z en fonction de / et de trois constantes arbitraires, et l'on déterminerait les arbitraires en exprimant que, pour t — a, les variables x, y, z prennent les valeurs a, b, c des coordonnées initiales de la molécule que l'on considère.

Le premier problème que nous nous proposerons est donc la détermination de u, v, w; nous introduirons comme inconnues auxiliaires la pression p cl la densité p.

Èqiinliuns fournies par le principe de d'Alembert. - Désignons par u', v', tv' les dérivées complètes de u, v, tv, par rapport ou temps, c'est-à-dire les projections de l'accélèr;ilion totale de la molécule qui occupe la position M à l'époque (. Les équations générales de l'équilibre des liquides doivent être satisfaites en remplaçant X, V, Z par X— «', Y— v', Z—iv'\ donc on a

Pour obtenir u', v', w', il faut différentier u, v, tv, en y regardant x, y, i comme des Tondions de ( qui se rapportent nu mouvement de la molécule que nous considérons; c'est-

à-dire qu'on devra faire

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