CHAPITRE

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UMIQUB.

du

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dt

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Tt '

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dt

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w dl'

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dw

p ds

dt

"dx

"dy

w ~dx'

Ces trois équations ne suffisent pas pour la détermination des cinq fonctions p, p, u, v, n>: il en faut deux de plus, à moins que p ne soit constant; et, même dans ce cas, il en restera encore une à trouver. On peut obtenir ces équations d'après la condition que le fluide reste continu.

Équation de continuité.— Remarquons d'abord que la densité p est nécessairement liée aux vitesses u, v, w des diverses molécules, indépendamment de toute considération des forces qui leur sont appliquées. En effet, si l'on connaît u, v, u; nous avons vu que le mouvement de la masse fluide serait complètement connu : on pourrait savoir où sont situées à un instant quelconque les diverses muléciiles qui occupaient pré-

CïiWjimeni d*i p->< liions J...ni v on [Hjuinii saï.'it ■ n pjr-

ticulier quelles sont les molécules qui se trouvent à cet instant dans l'intérieur d'un élément de volume quelconque, et par conséquent quelle est la masse totale du fluide contenu dans cet élément; on en conclurait la densité p, e'esl-à-dire la masse de l'unité de volume.

Pour traduire analytique me ni ces considérations bien simples, concevons que tout l'espace occupé par le fluide soit partagé en parallélépipèdes infini ment petits de volume dsdyds. Après le temps dt, ces parallélépipèdes doivent se trouver encore remplis par le fluide, excepté peut-être ceux qui se trouveraient à la surface libre; cl par' conséquent

l'accroissement de la densité dans chacun d'eux, -j| dt, sera

égal à l'accroissement de la masse qui y était renfermée, divise par le volume : il faut donc chercher l'excès de la masse du fluide qui est entré dans un quelconque d'entre eux sur la masse qui en est sortie pendant le temps dt.

La direction de la vitesse variant d'une manière continue,

3oG HYDRAULIQUE.

s'il entre du fluide par une face, il en sortira par la face opposée, et si l'on calcule l'excès de la masse de la première quantité sur la seconde, pour les trois couples de faces parallèles, la somme de ces excès sera l'accroissement de la niasse renfermée dans le parallélépipède.

Soil d'abord la lare paallèh: aux y, z : il entre d'un côté

pudydidt;

il sort

l'excédant est

-'!<£} dxdydzdt.

En divisant la somme des trois excès par dxdydt , on devra avoir tt<": de là l'équation dite de continuité

dp dp u dpv ds<v

dt ~dx dy dz

i fournie par la nature pkytiqu

e du Jluide. — txa-

minons ma

intenant de quelle manière l'éq

uation (2) doit être

interprétée

suivant la nature du fluide. N<

ius étudierons seu-

de absolument Incompresslblt

i, homogène et de

lempératur

e constante. Dans ce cas p e

si indépendant du

temps. On

a p — const., et l'équation (2]

prend la forme

du dv dw

dx dy dt ~

On a alors quatre inconnues seulement à déterminer et quatre équations.

2* Gaz de température constante (*). On sait qu'alors la

(*) l.'hjpolhés" d'un |pi " momenipiil dont luua les puinls aonl en parfail éqiiilihro do lempériliire no so réalise jamais dans les application); auasl I. Ihénri* actuelle duil-elle «m regardée cummn complément insuffisante pour les Ixjwini de la pratiqua.

CHAF1TBE 11. — ■ Hl'DHOllïtiASIQllK. 3tf)

dctisilé est proportionnelle à la pression, et l'on a entre ces deux quantités une équation de la forme

(4) J»=Kp-

Telle est la cinquième équation qui complète la solution générale du problème.

L'intégration des équations différentielles introduira des fondions arbitraires qui devront être déterminées d'après les circonstances initiales du mouvement, et aussi d'après les conditions relatives à la surface du fluide, lequel peut se mouvoir le long de parois fixes ou mobiles, et éprouver sur sa surface libre des pressions constantes ou variables. On suppose ordinairement que les points nui sont d'abord en contact avec une paroi mobile ou immobile y restent indéfiniment, et que les points qui appartiennent à la surface libre ne cessent jamais d'en faire partie. Ces hypothèses restreignent les déplacements possibles, et, malgré cela, il est encore bien peu de cas où les calculs puissent s'effectuer complètement.

On peut dire que les efforts des gcomèlres ont servi seulement à montrer la grande dililcullé de soumettre à l'analyse le mouvement des fluides, et l'on n'a pas même tenté de faire l'application de la théorie précédente à l'étude du cours des rivières et des mouvements de l'atmosphère.

C'est ainsi qu'on u senti la nécessité de prendre l'expérience pour guide dans des recherches aussi délicates. Torricclli, Mariotte, Guglielmini, Pitot, Couplet avaient déjà marché dans celle voie, mais sans avoir trouvé des données suffisantes pour établir un ensemble constituant une véritable science expérimentale. Ils furent suivis pal Bossut, Dubuat, Prony, Eytelwein, Poncelet, etc., sans parler de tous les autre* plus modernes qui continuent la tâche commencée par leurs devanciers.

Quant aux équations générales, on en a jusqu'ici tiré trèspeu de chose; mais il ne faut pas oublier que les théorèmes généraux de la Mécanique rationnelle s'appliquent aux fluides comme à tous les systèmes de points matériels, et il arrivera dans un grand nombre de cas que l'application de l'un de ces théorèmes pourra conduire au résultat cherché, au moins avec un certain degré d'approximation. Le théorème des forces

3ofj HYDRAULIQUE.

Vives notamment a servi de base à V Hydrodynamique de Daniel Bernoulli, imprimée en i ^ 38, Ouvrage qui brille d'ailleurs par une analyse aussi élégante dans sa marche que simple dans ses résultats. Nous aurons fréquemment à employer ce théorème sous la forme donnée par Daniel Bernoulli, forme que nous allons établir dans le paragraphe suivant.

§ II. — Dli RÉliJÏË PERTINENT d'dHE MASSE LIQUIDE S'N MOUVEMENT.

Plaçons-nous maintenant au point de vue des applications, et considérons un liquide en mouvement dans des conditions quelconques. Au commencement du mouvement, il se passe des phénomènes plus ou moins compliqués; mais au bout d'un certain temps on obtient généralement un état ou régime permanent dans lequel toutes les circonstances restent les mêmes aux mêmes points de l'espace, et ne varient que d'un point à l'autre.

Ainsi, en un point quelconque, la vitesse du liquide sera constante en grandeur el en direction, et, par conséquent, deux molécules qui, à des époques déterminées, auront occupé une même position, parcourront la même trajectoire d'une manière identique.

Les rivières, dans leur cours habituel, nous donnent un exemple de masses liquides à l'état de régime permanent.S'il arrive une crue, cet état se trouve remplacé au bout de quelque temps par un régime différent, lequel persistera jusqu'à de nouvelles perturbations.

Filet liquide. — Soit un point M du liquide {Jig. So); par ce

point, conduisons un pian normal à la vitesse commune de toutes les molécules qui y passeront successivement, et ira-

CUAPITBE II. ïlïDROOÏNSSIQtlE. 3og

çons dans ce plan autour du point M une courbe infiniment petite quelconque. L'ensemble des trajectoires des molécules qui traversent l'aire plane limitée par celte courbe, ei qui ne se sépare pas dans le mouvement, forme un filet liquide. Le filet peut se dilater, se rétrécir, mais nous admettrons que la section ne varie que irès-peu et par degrés insensibles, sans quoi les frottements des molécules liquides les unes sur les autres ne seraient plus négligeables.

Étude des diverses circonstances du mouvement permanent d'un filet liquide supposé sans frottement. — Occupons-nous d'abord des équations au moyen (lesquelles nous établirons la continuité et la permanence du mouvement du filet.

Soil d'à la section du fllel en un point quelconque. La masse du fluide qui passe dans celle seciion pendant le temps dt est dot vdt; et si dQ représente le volume débité par seconde, lequel est rigoureusement uniforme en venu de la permanence, on aura

dQ — vdtù.

Le filet liquide étant continu, on devra avoir le même débit pour toutes les sections dm', dm",. ■ . du filet; donc on a

dQ — v d',i — V 1 dm' = v"dm"=^, . . ;

telle est l'équation dite de permanence.

Tliéoi-ime dr. D. Bernottlli. — Cela posé, le principe des forces vives suffit pour étudier les circonstances du mouvement d'un filet liquide soumis à l'action de la pesanteur, quand on néglige les frottements des molécules les unes sur les autres et sur les parois encaissant le Blet.

Soient MM' {fig. 81) une portion de filet liquide soumis à la seule action de la pesanteur; v, du, p la vitesse, la section et la pression en M; v' , du', p' les mêmes quantités au point M'; D le poids spécifique.

Écrivons le théorème des forces vives pour un petit déplacement du liquide compris entre les deux sections quelconques MM'.

Supposons que, par l'effet du déplacement, la seciion M soil arrivée en M,, ei la seciion M' en M', au bout du temps dt. Dans l'évaluation de l'accroissement de force vive, il n'y a

pas à tenir compte de la force vive de la portion M, M', laquelle figure également en venu de la permanence dans l'expression de la force vive initiale cl de la force vive finale, avec des va-

Ftg. 8,.

leurs égales dans les deux cas; il suffira de prendre la force vivo de la masse M'M, et d'en retrancher celle de la portion MM.. On aura ainsi pour le demi-accroissement de force vive, en désignant le débit par rfQ,

Évaluons maintenant lo travail des forces qui agissent sur le filet. Ces forces sont la pesanteur et les pressions p' et p. Or on sait, en premier lieu, que le travail de la pesanteur correspondant à un déplacement quelconque d'un système de points matériels dépend uniquement du poids total du système et de la quantité dont le centre de gravité s'est élevé ou abaissé ;

réel un autre mouvement quelconque, pourvu que le déplacement iinal du centre do gravité ne soil pas altéré; ici l'on peut supposer que le mouvement ail consisté simplement dans le iransport de la masse MM, à la position M' M', ; de sorte que le travail do la pesanteur est

n<IQ<It{z - z-),

z — z' élimt la différence de niveau du centre de gravité des volumes MM, elM'M',, et, comme ces volumes sont infiniment petits, z — z' représente aussi la différence de niveau des points M et M' de ces volumes.

Le travail de ta pression p est positif et égal à pdiùvdi ou pdQdl; celui de la pression p' est négatif et égal à p'dai' v' dt ou p' dQ dl ; donc, enfin, on a l'équation

ï n(;-3')i/Q(/( + pdQrf(— /rfQt/r,

ou, en divisant par HdQdl, [') ;

Sous celte forme, tous les termes de celle équation représentent des hauteurs :

■ — est la hauteur due à la vitesse v ;

— est la hauteur due à !a vitesse v' :

^ et ^ sont les hauteurs représentatives des pressions.

Concevons qu'aux dilférenls points de notre fïlcl [jig. 8a)

nous élevions des tubes étroits MA, M'A' débouchant dans

Dlgiliz.

le vide. L'eau s'élèvera dans ces lu h es à des hauteurs marquées par ji'"'' d'apis la définition de la pression des

liquides. Nous nommerons ces tubes tubes piézomêtriqites, d'après d'Au buisson , qui s'en est servi pour mesurer la pression d'un liquide en mouvement aux différents points d'un tuyau de conduite.

Cela posé, t-ffe'SSt la hauteur au-dessus du plan fixe de comparaison du sommet de la colonne piézoméirique du point M, s' + ^ est la liauleur analogue [tour le point M', et l'équation (i) veut dire que :

Théorème. — La différence des fiai/leurs dues aux vitesses en ileit.T points quelconques d'un même filet liquide est égale à la différence de niveau des sommets des colonnes piézométriqties correspondantes.

Il résulte de là que si, à chaque colonne piézomélrique, on ajoute une hauteur égale à la hauteur duc à la vitesse du point correspondant de la veine lluide, on arrivera loujoursà un niveau constant; c'est ce que l'équation montre si on la met sous la forme

Ce niveau constant s'appelle le plan de charge.

Pour Taire une application île ce théorème, considérons, dans une veine fluide suffisamment mince {Jrg. Si ), diverses sec-

lions AB, A'B', A" B" qui soient traversées à peu prèsrecli lairement par le liquide, et dont les centres de gravite s