VÛ = V'Û'=V*Û

Ainsi, quand on connaîtra les aires 2, û', û" et les ordonnées z, z', z", on aura, entre les trois vitesses elles trois pressions, quatre équations qui permettront de déterminer quatre de ces quantités en fonction des deux autres.

Supposons, par exemple, que les inconnues soient les trois vitesses et la pression p'- On trouvera d'abord, sans avoir égard à la section intermédiaire et en éliminant V,

Mais il importe de remarquer que celte formule est soumise à un cas d'exception.

Calculons, en effet, la pression p', nous avons pour cela l'équation

Il est possible que cette équation, si s' est trop considérable, donne pour p' une valeur négative. Dans ce cas, le mouvement permanent est impossible, le liquide se divise comme il fait au sommet d'un siphon quand ce sommet est à plus de 3a pieds au-dessus des niveaux du liquide. Les deux colonnes sont alors à une pression nulle.

Ce résultat est indépendant des frottements dont nous au-

3l4 BÏDHÀUL10.1TB.

ronsplus tard à examiner l'influence- Remarquons encore que l'hypothèse d'une pression nulle ne se réalise même jamais dans la pratique, à cause de l'air ei de la vapeur qui se dégagent de l'eau dès que la pression est suffisamment diminuée.

Quoi qu'il en soit, tant que l'on Tait abstraction des frottements, le plan de charge conserve un niveau invariable; il faut bien se garder de le confondre avec la ligne des niveaux picstomélriqucs, qui peut s'abaisser ou se relever, selon que la vitesse augmente ou diminue, ce qui correspond pour la seclion à des variations inverses. Ce plan indique la plus grande hauteur à laquelle puisse parvenir le filet liquide sans vitesse, et à la condition de déboucher sous une pression nulle.

Si l'on veut faire monter le liquide au delà de ce niveau, il faut exercer en un point quelconque une pression supplémentaire, au moyen d'une pompe par exemple. On augmentera le niveau de charge en ce point et, par suite, en tous les autres.

Application du principe des piêzomètres.— On trouve une application intéressa nie de ces principes si simples dans un

Fi[,. Rj.

appareil installé aux environs d'Amsterdam, à proximité de l'usine qui fournil à la ville l'eau potable nécessaire à la consommation des habitants.

CHAPITIIB II. — EIÏUHODVNAÏIQ.UII. 3l5

Dans les distributions d'enu ordinaires. L'enu se Lrouve emmagasinée dans de grands réservoirs qui soin établis à une hauteur suffisante, pour desservir toutes les conduites; elfe y est maintenue au niveau convenable au moyen de pompes.

Ce système n'était pas possible à Amsterdam, en l'absence de relier dans les terrains environnants. La consommation est alimentée directement à l'aide de pompes puisant dans de grands bassins contenant de l'eau filtrée. Le jeu de ces pompes doit donc être réglé de manière que la charge ait toujours une valeur convenable. Pour cela, on a installé un piézomélre en un poinlde la conduite AB {/ig. 84); le niveau de Tenu dans la colonne, indiqué au moyen d'un flotteur, sert de guide au mécanicien, qui fait marcher un plus ou moins grand nombre de pompes, de manière à maintenir la charge à peu près au niveau normal. Quand ce niveau est notablement dépassé, l'eau arrive dans un petit bassin supérieur, d'où elle s'écoule par un orifice de [rop-plein.

Des pertes de charge. — Dans une distribution d'eau d'une grande longueur, le niveau de charge n'est plus constant: il y a des résistances qui se traduisent par des perles de charge; les unesdeces résislanccsagisscnt d'une manière continue, comme les frottements; d'autres, d'une manière discontinue, comme les travaux résistants qui se produisent en certains points, tels que les prises d'eau. En un point déterminé, l'eau ne pourra couler que si la ligne de charge est au-dessus du niveau de l'orifice. Il importe donc de connaître celte ligne qui, à partir

du point de dépari, va en s'abaissant continuellement, différant en cela de la ligne des niveaux, piézomélriques qui peut

se relever quand, par suile d'une augmente [ion île section dans la veine (fig- une partie de la viiesse se trouve transformée en pression ; mais de pareilles transformations sont toujours accompagnées d'une perte de charge, comme nous le verrons.

Puits artésiens. — Les nappes d'eau souterraines sont dons le même cas que les cours d'eau terrestres; en chaque point il existe un niveau qui représente la charge sur ce point, et qui indique le niveau maximum auquel l'eau soit susceptible de jaillir. 11 importe donc, quand on veut forer de pareils puits, de connaître, autant que possible, les allures de la surface qui donne la charge en chaque point.

Remarques sui t ' application du théorème de Daniel Bernoalti. Pour appliquer le théorème de Daniel Bernoulli à un cours d'eau, et même à une veine liquide assez petite, mais non infiniment petite, il faudrait savoir comment les pressions varient dans l'intérieur de cette veine; on aurait alors la vitesse v en chaque point par le théorème qui précède, et le débit total serait

Or c'est là un problème insoluble jusqu'ici d'une manière générale, même en négligeant les frottements.

Il n'est pas possible de savoir où sont les niveaux piézomôlriques dans les divers filets qui constituent une veine fluide; donc le théorème précédent, qui donne la loi des vitesses en fonction de ces niveaux, ne peut servir à rien, nu du moins II ne donne en général qu'une relation unique, insuffisante pour résoudre les questions qui intéressent la pratique.

Mais il en est autrement dans quelques cas simples pour lesquels mi admet les règles suivantes, qui supposent que, dans une portion du liquide n'ayant pas une «ronde étendue, le frottement des molécules les unes sur les autres peut être négligé- Celte hypothèse est confirmée par l'expérience et sera expliquée pJus tard par l'élude des effets du frottement dans les conduites d'eau et les canaux découverts.

PatMitHB bëolh. — Si un courant ou une portion de courant se compose de filets liquides dont chacun ail un mouvement

reclilignc el sensiblement uniforme, les pressions de leurs molécules entre elles, en vertu de ta pesanteur, et abstraction faite des frottements, suivent les mêmes lois que dans l'état de repos du liquide; car les forces qui sollicitent chaque filet en mouvement uniforme satisfont aux eondilions de l'équilibre. Ainsi : i° si deux points M, M', assez peu éloignés l'un de l'autre pour que le frottement dans l'intervalle soit négligeable, ont ta différence de niveau z, que la pression par mètre soit p au point supérieur M, et p' au point M, On a p' — p -+■ Ha, même quand les points M et M' n'appartiennent pas à un même filet; s° si l'on imagine dans le courant une section plane peu étendue dont l'aire soit A, et dont le centre de gravité soit à ta hauteur II au-dessous du point où la pression par mètre est p, ta pression totale sur ta section A est A l/H- Il II ) et la pression moyenne est p ■+- IIÏI, celle qui a lieu au centre de gravité de la section.

Deuxième règle. — Les mêmes lois ont encore lieu dans un liquide avant des mouvements quelconques, mais très-lents; car celle lenteur n'a lieu que dans un état très-voisin de l'équilibre. Noos avons vu qu'il n'en est pas ainsi quand on étudie les petits mouvements d'un corps flottant; c'est que, dans ce dernier cas, il s'agissait de calculer l'effet des pressions sur ces vitesses très-petites, et il n'était plus permis de négliger des forces qui étaient du même ordre de grandeur que les effets à déterminer.

Troisième règlb. — Si, dans une certaine section transversale du courant, les filets ont des vitesses parallèles, égales ou inégales, et que, immédiatement après cette section, les filets décrivent à peu près les paraboles que chaque molécule parcourrait, en vertu de sa vitesse et de son poids, si elle était isolée dans le vide, la pression à l'intérieur du liquide est la même qu'à l'extérieur; car, puisque les molécules se meuvent comme si elles n'étaient soumises qu'à l'action de la pesanteur, les pressions latérales que chaque filet éprouve se font équilibre deux à deux et sont, par conséquent, toutes égales a la pression extérieure. On voit que, dans ce cas, la loi des pressions est tout à fait ditférente de celle qui régit les liquides en équilibre.

On ne devra donc jamais employer le théorème de D. Ber-

3l8 HYDBAULIQUB.

noullisans s'èire assuré que l'une des trois règles précédentes est applicable, autrement on aura toujours le droit d'écrire l'équation générale; mais celle-ci ne pourra être d'aucune utilité.

Quoi qu'il en soit, le seul principe des forces vives nous a sufti pour nous rendre compte des différentes circonstances du mouvement permanent d'un filet liquide, à la condition de négliger les frottements et les travaux résistants de toute nature, développés par les actions mutuelles des molécules liquides et des parois fixes ou mobiles.

D'après ce théorème, sous la forme que lui a donnée D. Bernoulli, en divers points d'un même filet liquide :

La différence des hauteurs dues aux vitesses est égale à la différence de niveau des sommets des colonnes piézomélriques.

Autrement: en nous reportant à la définition de la ligne de charge ;

La vitesse en chaque point est la même que celle qu'acquerrait chaque molécule liquide en tombant librement dans le vide, depuis te niveau qui représente lu charge jusqu'à celui du sommet de la colonne piêzomêtrique.

Sous celte forme, le théorème s'applique même au cas où les frottements ne sont plus négligeables, si l'on tient compte de la dénivellation de ligne de charge produite par ces frottements; mais on suppose toujours qu'il s'agisse d'un filet liquide infiniment petit.

Un filet liquide a une longueur indéfinie, mais une section infiniment petite; de la sorte, dans toute l'étendue de celle section, la pression est uniforme, et ta vitesse est constante.

Pour appliquer le théorème de D. lïernoulli à une veine fluide de dimensions Unies, quelque petites que soient ces dimensions, il faut connaître la loi des pressions pour en conclure la loi des vitesses ; or, c'est là ce qui n'esl possible que dans les trois cas que nous avons distingués.

Nous allons, par des applications variées, montrer comment on doit étudier, soit les cas où le théorème est applicable, soit ceux où il ne l'est pas.