COS©' 2C0S

On connaît donc les valeurs de Q et de S qui répondent à une valeur donnée de P.

Il faut remarquer que si Ton avait

a -i- o -h 'f ' > 90° ou a > 90° — o — q',

Q deviendrait négatif; cela signifie que le glissennent ne serait pas sur le point de se produire dans le sens supposé, à moins de changer le sens admis pour Q, de sorte qu'il faudrait lirer le bloc dans le sens du glissement à produire, au lieu de lui donner une résistance à vaincre. On voit qu'alors Tappareil n'atteindrait pas son but; il faut donc avoir soin de le construire en prenant a inférieur à 90^» — ? — ?'; et même, comme Ton aurait Q = o dans le cas de Tégalilé, il convient de rester notablement en dessous de celte limite de a.

La condition a<^ doit, d'ailleurs, être maintenue, afin que le coin, abandonné à lui-même après son enfoncement, ne puisse pas remonter par TefiFet des forces qu'il supporte sur ses faces latérales (n*» 172).

174. Coquille mobile entre deux glissières. — Un corps solide, dit coquille, servant à Tassemblage d'une bielle avec une tige guidée, est assujetti à prendre une translation rectiligne, en glissant sur deux pièces fixes nommées glissières. Ce corps est soumis à une force ou puissance P, dans la direction et le sens de la translation, et à une résistance Q de direction oblique; on pourrait également admettre l'hypothèse inverse, mais nous nous en tiendrons à la précédente, pour fixer les idées. La section de la coquille par un plan parallèle à P et Q est un rectangle, au centre duquel se rencontrent les deux forces et dont les côtés sont parallèles ou perpendiculaires à P. Le mouvement de la coquille étant, d'ailleurs, supposé uniforme, ou seulement sur le point de naître dans le sens de P, la résultante des forces P et Q doit être tenue en équilibre par les réactions des glissières, comme on la démontré au commencement du n<* 171; cela exige que ces réactions se réduisent à une force unique, contenue dans le plan de P et de Q, et de plus égale et directement opposée à leur résultante.

Maintenant, comme la coquille n'est pas serrée entre les glissières, mais que celles-ci présentent, au contraire, un certain jeu destiné à faciliter le mouvement, leur réaction peut

FROTTEMEKT, ETC. ^jS

se produire de deux manières clifféienles que nous allons successivement examiner.

PsEniER CAS : La coquille touche une seule glissière. — Prenons pour plan de ia ligure celui de P et Q; soienl ABCD ifig. 217) la seclion de la coquille, GG, G'G' celles des glissières. On suppose que le contact a lieu seulement sur l'une des deux, soit GG, soit G'G'; mais les forces ayant les directions indiquées sur la figure, '^' "'''

il est clair que la seconde alternative tic peut se présenter, car, si elle se produisait, la réaction de G'G' aurait une composante normale dirigée vers la gauche, comme celle de Q, et la somme algébrique des projections des Torces sur cette direction ne pourrail s'annuler. Le contact s'établit donc suivant GG, et la réaction Iti de la glissière de gaucliedoit ôtre égale el contraire à la résultante R des forces P et Q; de plus, cotte force R, fait avec la normale à la surface de contact l'angle ip du frottement, cet angle étant porté en dessus, puisque la composante tangenticlle de R, agit en sens contraire du glissement, lequel a le sens descendant, comme la force P. Par suite, on aura

^sinlP,Uj

ou, en nommant i l'angle supplémentaire de (P, Q),

^sin(qo'' — I -1-0) „cos(i — f) - •■-..■. P = Q — — --'--=Q i-- — ^=Qcosi + QsiniUng9.

sin(9o"— f) * cosf °^

11 faut ajouter encore, en vertu d'un raisonnement donné au n" 171, que la résultante R doit couper AR entre A et B. Supposons le point 0 placé au centre du rectangle ABCD, dont nous désignerons les deux dimensions par a ^ AC et é ^ AB; si la rencontre de R avec AB se fait en E, la distance de ce point au milieu F de AB doit être moindre que -i ce qu'on exprime par l'inégalité

- langu < - ou b>/a.

476 TROISIÈME PARTIE. — CIlÀPITRB TROISIÈXB.

condition nécessaire pour que le premier cas puisse eue réalisé.

Deuxième cas : La coquille touche les deux glissières. — Puisque la dimension a reste légèrement inférieure à Técartement des glissières, afin de conserver un certain jeu, le contact ne peut avoir lieu simultanément des deux côtés que si la coquille a un peu tourné autour de son centre, de manière à toucher les glissières par deux angles opposés, soit A et D, soit B et C. Mais on reconnaît encore que l'une des alternatives, la première, est impossible. Supposons, en effet, les réactions Rj, R, exercées en A et D {Jig. 218) suivant des directions faisant des angles ç avec les normales AC, BD, et en dessus, puisqu'il y a glissement imminent ou effectif dans le sens descendant. Il doit y avoir équilibre entre les quatre forces P, Q, R,, R,. Cela exige d'abord que Rt soit plus grand que R, pour que la différence de leurs projections sur AC annule la projection de Q. £n second lieu, la somme algébrique

Fig. 218.

Fig. 219.

des moments des quatre forces relativement au point 0 devrait être nulle. Or les moments de P et de Q sont nuls; la somme des deux autres, calculée en remplaçant chacune des forces Ri, Rs par ses composantes normale et tangentielle, a pour expression

-R, (^coscp-h asino) -^ -Rj(6cos9 — asino).

quantité qui ne peut s'annuler, car on a reconnu que Ri

est moindre que Ri, et, d'autre part, la valeur absolue de Acos^ — a sin 9 ne peut qu'être inférieure à 6coscp + asin<p. L.'hypolhèse du contact en A et D conduit donc à une impossibilité; par suite, elle ne se réalisera pas, et il ne reste que celle du contact aux deux autres sommets B et C du rectangle. Les réactions Ri, Rj sont alors dirigées comme l'indique la flg. 219. Si l'on écrit les trois équations d'équilibre des forces P, Q, Ri, Rj contenues dans le môme plan, en égalant à zéro les sommes de projections sur les directions OP, CA et la somme des moments relativement àO (n«133), on aura

P — Q cos / — Ri sin o — Rj sin cp = o,

Qsin/— Ri cosç 4-RiCOS^ == o.

Ri (a sin cp — ôcosçp) — RjCasincp 4- ^cos«p) =0.

La dernière équation deviendrait impossible si l'on n'avait pas

a sin<p — 6cos9>o ou 6<atangî> ou encore 6</a,

car alors les deux termes en Rj et Rj seraient tous deux négatifs et ne pourraient donner une somme nulle. Cette condition nécessaire du second cas est justement la négation de celle qu'on a trouvée dans le premier, de sorte qu'on saura toujours celui des deux qui doit se réaliser. Si c'est le second, la deuxième des trois équations ci-dessus donnera

COScp

la troisième peut s'écrire

(Ri — Rî)asin^ — (Ri 4- Ri)6cos«p = o,

et Ton en déduit

w^ T> /r. ^.atanffo O^sin/lanp:© Ri+Rj = (Ri— Rj) — -—^ z=L ^,

valeur qui, portée dans la première des trois équations d'équilibre, donne finalement

PzzzQcost-i- -^sinttang*©.

La comparaison de ce résultat avec celui du premier cas montre que la valeur de P est plus grande dans le second, à égalité de valeur de la résistance Q et des angles i et o. En effet, la différence entre la seconde valeur de P et la première

a pour expression Q sint tangçf t tangç -— i j, quantité positive en vertu de la condition d'existence du second cas. On a donc pratiquement intérêt à empêcher la réalisation du second cas^ et il convient, par conséquent, de construire la coquille de manière qu'on ait b > fa,

175. Tige du pilon mue par une came et guidée par des appuis Jîœes. — Considérons une tige de pilon guidée, dans le mouvement vertical de translation qu'elle doit prendre, par quatre appuis A, B, C, D (y?^. 220); elle porte un mentonnetM

que soulève une came montée sur un arbre tournant autour de Taxe horizontal 0. La figure représente une coupe par un plan perpendiculaiie à Taxe de rotation et contenant la verticale GZ, axe de figure de la

Fig. 220.

tige; les sections des appuis par ce

plan sont supposées très petites et

o V \ ! I réduites à de simples points A, B,

C, D, situés aux quatre sommets d'un rectangle à côtés horizonlau^i et verticaux. La tige est censée à l'état de mouvement uniforme ascendant ou sur le point de monter en partant du repos. Il s'agit d'établir la relation qui doit exister entre la force S exercée en E par la came sur le mcntonnel et le poids P du pilon agissant suivant la verticale ZP. Ici encore deux cas peuvent se présenter si Ton admet que, pour faciliter le mouvement de la tige, il y a un peu de jeu entre elle et ses appuis.

Premier cas : La tige touche deux appuis sur une même verticale. — Ces deux appuis ne peuvent être que A et B, c'està-dire les deux qui se trouvent, par rapport à la tige, du même côté que 0. En effet, la force S exercée sur le mentonnet ré-

suite d'une action verticale ascendante et d'un frottement horizontal dirigé de droite à gauche, comme le glissement de la came sur le mentonnet. Si la tige touchait les appuis C et D, et non pas A et B, les réactions des appuis touchés auraient encore des composantes horizontales dans le sens de droite à gauche ; Téquilibre entre ces réactions, le poids P et la force S, ne pourrait donc se réaliser, car la somme des projections horizontales de toutes ces forces ne serait pas nulle.

Soient © et «p' les angles du frottement de la tige sur ses appuis et de la came sur le mentonnet. La force S fait avec la verticale, normale commune au point de contact E, un angle o' à gauche; cette force, composée avec le poids P, donne une résultante R qui sera équilibrée par les réactions en A et B, et qui doit, par conséquent, faire comme elles Tangle © avec riiorizontale. Cet angle ^ se compte en dessus de l'horizontale, parce que la force R est en sens contraire des réactions qui s'opposent au mouvement d'ascension de la tige. Puisque R s'obtient par la composition de S avec P, on a

S p s'n(P,R) p sin(90°-i-cp) __ p cos©

sin(S, R) sin(9oo — ©' — ©) cos(cp -[- ©')

Cette équation donne lieu à une première remarque. Si la somme des angles 9 et o' dépassait 90% l'équation ne pourrait se vérifier que par une valeur négative deP; par conséquent, pour donner à la tige un mouvement ascendant uniforme ou pour la mettre sur le point de monter en sortant du repos, il serait nécessaire d'aider l'action de la force S par une force P agissant de bas en haut. Le même résultat deviendrait impossible à obtenir en laissant agir la force P de haut en bas, quelque petite que fût son intensité. D'ailleurs, on ne rencontre qu'exceptionnellement des angles de frottement plus grands que 45°; il arrivera donc presque toujours que la condition d'avoir

se trouvera satisfaite.

Mais celte condition n'est pas la seule à remplir. Les forces parallèles et de même sens R', R", appliquées à la lige en A et R, donnent une résultante Rj coupant la ligne AB entre ces

48o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈME.

deux points ; comme il faut que R, soit directement opposée à R, il en résulte que Tintersection H de R avec AB doit tomber dans rintervalle entre A et B. Afin d'exprimer analytiquement ce fait, nommons

2 a, ^ les deux dimensions horizontale et verticale du rectangle ABCD;

/ la dislance du point de contact E à la verticale PZ;

h sa distance à Thorizontale menée par B dans le plan de la figure.

La projection verticale x du contour EGH est

X = /cotcp' — a tang^p;

donc

BH — ^ — arm/i — /cot<j>'H-atango.

Si iTon exprime que cette longueur BH est comprise entre zéro et 6, on obtient deux inégalités

o < BH < 6,

qui, multipliées par tang^' et résolues par rapport à /, preonent la forme

(A + atangcp) tangtp'> /> (A -h a tango — 6) tango'.

Il faut, comme on le voit, que la distance / se trouve comprise entre certaines limites pour que Thypothèse du premier cas se réalise.

Secoxd cas : La tige touche deux appuis diamétralement opposés. — Il y a deux combinaisons de deux appuis diamétralement opposés, savoir A et D, B et C. Mais on voit aisément qu'on doit encore en rejeter une comme irréalisable, el que la seconde seule est admissible. En effet, si Ton supposait le contact en A et D, avec un mouvement sur le point de naître en montant ou un mouvement uniforme dans le même sens, l'équilibre existerait entre les forces P, S, la réaction R' de l'appui A et la réaction R'' de TappuiD ; cette dernière serait une force dirigée de droite à gauche en descendant. Or cet équilibre est impossible, parce que toutes les forces ont des moments de même sens relativement à A, sauf la réaction R^

dont le moment est nul. On ne peut donc admettre a priori que riiypoihèse du contact en B et C, sauf à discuter les conditions pour qu'il se produise réellement. Pour cela, nous allons chercher les trois équations d'équilibre entre P, S et les réactions R', R'' de B etC(/^. 221).

Les projections sur la verticale et rhorizontale, égalées à zéro, donnent les équations

S coso'- P - (R'-h R'')sino = o, Ssincp'— (R'— R'')cos(p=z=o;

puis on a Téquation des moments relativement à B :

S (/ — ûs)cosç' — SA sin tp'-h Pa -h 2R*'a sincp — R"^ cos» = o.

On tire des deux premières

Scosc?' — P

Fig. 331.

smcp

S sin o'