C0SC

et, par suite,

^j^,^S cosO^-9^ V ^j^,^Scos(? + ?^) P ~= sin<p'

sinocoso

smc? cos©

sincp

La substitution de R" dans Téquation des moments donne une relation entre P et S, d'où résulte Texpression de cette dernière force; on a

S(/- a) cos?'- ^h sincp'+ Va + ^^cos(?-^?0

cos©

13 S6cos(p-+-9') P6coso

2sinç 2sin'^ '

d'où résulte

P b cos' »

2 /i sin ^ cos o siii 9' -♦- ^ cos © cos ( ? -+- 9' ) — 3 / sin 9 cos 9 cos 9' -f- :2 « sin^ 9 sin 9'

Après avoir calculé S au moyen de P, on pourrait obtenir les valeurs de R' et R''.

PiBESSB. — Cours de Méc, I. ■^,

48i TROISIÈME PARTIS. — CHAPITRE TROISIÈME.

Pour que le mouvement puisse avoir lieu comme on Ta supposé dans le second cas, il faut que les valeurs de S, R', R' soient positives, car ces forces ne peuvent pas avoir un autre sens que celui qu'on leur a donné dans \difig. 221. La condition S > o sera remplie si son dénominateur est positif, et réciproquement; elle s'exprime donc par l'inégalité

l< (/i + atang9)tang«p'H -. — '■ ^•

\ DT/ OT asmocoso'

Comme R'— R'' est positif, il suffit que R'' le soit pour que R' le soit aussi ; on doit donc poser encore la condition

ScOS(cp-t-o') P X ScOS(oH-o')^ 1-: ! — 1 ^ o ou — ^ '-—■ ])> I*

sin<i>cos9 sincp Pcos?? '

lit i

en substituant la valeur de S dans cette dernière inégalité et remarquant qu'on peut multiplier par le dénominateur de S, puisqu'on le sait déjà positif, on trouve

2 A sin 9 cos o sin ©' — 2 / sin ç cos © cos o' -t- 2 a sin* ç sin o' < t>

ou, plus simplement,

/> {Il 4-atangîp)tangçr'.

Ainsi la possibilité du second cas exige les deux conditions (A -4- a tango)tang«p'

ft cos (0-4-0') , ,1

H ;— ^^ '-r > / > (/« H- a tango) tango .

2sincpcoso' 01/ o.

En résumé, on a trouvé, pour les limites de /, dans l'ensemble des deux cas, trois quantités que nous transcrivons de nouveau, en les rangeant par ordre de grandeur,

(A -4- a tango — 6) tango',

(// -f- atangç)tang«p',

6cos(cp -4- oM

(// -t-atang<p)tangtp'

2sincpcoso'

La différence entre la seconde et la première est étang?', quantité évidemment positive; la différence entre la troisième et la seconde le sera aussi, en admettant que <p-4-o' soit audessous de 90% ce qui a pratiquement toujours lieu. Si / se

trouve compris entre les deux premières, le premier cas se réalisera; si /tombe entre les deux dernières, ce sera le second cas. Enfin les deux cas deviendraient tous deux irréalisables et, par conséquent, l'appareil ne pourrait fonctionner d'aucune manière, si / dépassait la troisième limite ; une force S de grandeur quelconque ne le ferait pas sortir du repos. La même chose ne peut d'ailleurs arriver par la raison qu'on aurait pris la distance / trop petite, car la construction de la machine oblige à prendre /> a, c'est-à-dire au-dessus de la première limite, en supposant cp et <p' inférieur à 45® et 6 — h positif, comme cela existe habituellement.

Lorsque le second cas se réalise, la force S à employer pour mouvoir le pilon devient plus grande que dans le premier. En effet, l'équation donnée plus haut, qui exprime dans le second cas 7lW en fonction de S et de P, peut se mettre sous la forme

" COS('>p -i- tp' j COS(oH-o')

Or le premier terme du second membre est précisément la

valeur de S relative au premier cas, et l'on a exprimé, comme

condition du second cas, que R" est positif; il en est de même

vons en conclure le fait énoncé.

176. Valet de menuisier, — Cet outil donne un exemple de l'emploi du frottement pour empêcher le glissement d'une pièce solide maintenue entre des guides. Il se compose d'une tige cylindrique en fer AB {fig> 222), faisant corps avec une patte recourbée AC, de môme métal. La tige AB s'engage dans un trou DEFG de Vétabli et l'extrémité G de la patte se pose sur un corps M que l'ouvrier veut assujettir, afin de le soumettre à une opération quelconque. On donne alors quelques coups de maillet sur la tête A du valet, afin de produire une pression suffisante sur le corps M; on peut ensuite abandonner le système à lui-même, sans que le valet cesse de serrer ce corps contre l'établi, quelle que soit l'intensité de la réaction P qu'il reçoit vers son extrémité C et qui tend à le

TltOISlÈHK PARTIE. — CttAPITDB TROISIÈME.

faire glisser sur les parois du trou, pourvu cependant que la patte soit suffisamment longue.

Supposons en effet que Tinstrument, après avoir été enfoncé dans le trou^ tende à remonter lorsqu'on l'abandonne à lui-même; on pourra toujours le maintenir dans la position qu'on lui avait primitivement donnée, en lui appliquant dans les environs de A une force descendante S, de grandeur convenablement choisie, moyennant quoi le mouvement ascendant ne se produirait plus, mais serait seulement sur le point de naître. L'équilibre existerait alors entre les forces P et S agissant en C et A, le poids/? du valet appliqué en son centre de gravité 0 qu'on imagine lui être invariablement lié et le>

Fi(r. 233.

iP Aït