COS(<P-P

La force Q est représentée par la droite PR joignant l'extrémité de P à un point DE; la valeur minimum de cette force répond donc au cas où sa ligne d'action coïnciderait avec la perpendiculaire abaissée du point donné P sur la droite DE, el où Ton aurait par conséquent P = <?. L'expression analytique de Q conduit tout de suite à la même conclusion; en faisant varier Tangle p qui définit la direction de cette force, on ne fait varier que le dénominateur cos(<p — P), qui devient le plus grand possible pour p = «p et donne le minimum dont il s'agit.

Hressr. — Cours <fe Mt'c, I. 3o

Il est bon de remarquer encore que Téquilibre entre les trois forces Q, P, Rj deviendrait impossible si Tangle p croissait assez pour que la ligne DQ ne reslàt pas comprise dans l'intérieur de Tangle HDG formé par le prolongement de P avec une parallèle DH à AB, car alors les trois forces agiraient dans le sens de la descente, et la somme algébrique de leurs projections sur AB ne serait pas nulle. De là résulte la

condition

p<90^ — i ou p-M'<9o®.

Lorsque le corps est sur le point de se mouvoir en descendant parallèlement à BA, ou descend effectivement avec un mouvement de translation uniforme dans cette direction, la détermination de Q et de R n'offre pas plus de difficulté. La force de frottement change alors de sens; par suite, les résultantes R, Ri, qui doivent continuer toujours à faire avec la normale DN un angle <p, passent de l'autre côté de cette normale. Ici deux cas sont à distinguer.

1° L'inclinaison i du plan est plus grande que V angle o da frottement. — Comme la force verticale P fait Tangle /avec la normale au plan, la direction DR de la force R, résultante de P et de Q, se trouve dans l'intérieur de l'angle FDM {fig. 21 3); le parallélogramme des forces PDQR donne encore régalité des rapports

sin(P,R) "~ sin(Q,P) "" sin(R,Q)'

d'où l'on déduit sans peine, en remplaçant les angles par leurs valeurs en fonction de t, p, «p,

[ cos(ji-^^)

Ici l'on aurait intérêt, pour diminuer Q, à prendre p =— ?» c'est-à-dire à faire agir Q suivant une ligne dirigée en dessous de la parallèle DH à AB et faisant l'angle y avec cette parallèle.

On remarquera que les équations (2) peuvent se déduire

des équations (i) par le simple changemenl de <p en — o. On voit aussi que la valeur (2) de Q est moindre que la valeur (i), à égalité des angles ij cp, p et du poids P, et en supposant toujours remplie la condition nécessaire p4-i<9o°; cela est facile à reconnaître aussi bien par leurs expressions que par la construction géométrique d'où nous les avons déduites.

Fig. ai 3.

Fig. 214.

2<* L'angle i est plus petit que ©. — La ligne DR des fig, 212 et 2i3 passe alors de l'autre côté de DP; il en résulte que la

ligne PR, qui représente Q en grandeur, direction et sens, passe aussi de l'autre côté de DP, et la figure prend alors une disposition analogue à celle de la yî^. 214. La force Q agit dans le sens de la descente, suivant une ligne faisant un angle y avec DF parallèle à BA. On a toujours

sin(P,R)""sin(Q,P) ce qui conduit de même à

sin(R,Q)

RznRizriP

sinfo — i)

cos((p-Y)'

cos(« — y)

cos(cp — y)

La différence entre ce cas et le précédent consiste surtout en ce que, dans le premier, la force Q doit s'opposer à la descente du corps, tandis que, dans le second, elle doit néces-

sairemenl contribuer à la produire. Dans le cas interinédiaire i-=^y on aurait Q = o; le corps abandonné à la seule action de son poids descendrait uniformément, ou serait sur le point de sortir du repos en descendant.

Calcul du travail des forces dans le mouvement uniforme, — Nous considérerons successivement les trois hypothèses auxquelles se rapportent les fig, 212,213, 2 1 4 et nous nommerons toujours T, T', T'' les travaux respectifs, pris en valeur absolue, des trois forces Q, P, Ri, dans un déplacement x du corps. Comme la résultante de ces trois forces est nulle, la somme algébrique de leurs travaux Test aussi; mais, comme les signes de T et de T' varient suivant Thypothése particulière où Ton se place, Téquation exprimant cette propriété prend diverses formes.

i^ Mouvement ascendant. — La force Q fait seule un travail positif; les forces P et R| font un travail négatif. On doit donc avoir

d'où résulte T = T'-4-T^ et par conséquent T>T'. Les expressions de ces travaux sont d'ailleurs

Qj7C0Sp

p a: sin «, RiJ?sin^

-, sin(£ -h©)cos3

PX -^ ■ — y

COS(cp — ?)

T. sin© cosO-f- 1*) 1 X ' •

cos(? — p)

La force Q, qui agit seule ici dans le sens du mouvement, se nomme la puissance et son travail se nomme le travail moteur; le poids P qu'on élève au moyen du plan incliné, et qui est la seule force directement appliquée au corps en dehors de la force Q, prend le nom de résistance principale, et son travail changé de signe est le travail résistant utile qui correspond à l'élévation du poids P. Ce second travail T' serait égal au premier T si le frottement disparaissait, car on aurait alors «p = o et T^ = o. Mais en réalité o n'est pas nul et T^ a une certaine valeur qui s'ajoute à T' pour donner T, de sorte que la puissance doit fournir un travail supérieur au travail utile.

La force R, peut se remplacer par ses composantes normale et tangenlielle; cette decnière, qui est le frottement, fait seule du travail. On la compte parmi les résistances dites secondaires, en vue desquelles l'appareil employé n'a pas été construit, mais qui sont la conséquence forcée des circonstances au milieu desquelles s'exécute l'opération qu'on avait à faire.

On vérifie sans peine, au moyen des expressions précé-

dentés, que le rapport 7^, est supérieur à l'unité. On a, en

effet,

T^ sin(^-^-cp)cosP

T' cos(cp-- p)sini et, par suite,

T^ sinf£ H- q))cosP — cos(«p — P) sint\ ï' cos(<p — {i)sini '

or le numérateur du second membre peut s'écrire

(sinicos? ^-cos^sin^) cosp — (cos<f cosp 4-sin<psinP) sint

ou, toute réduction faite,

sin o ( cos i cos 3 — sin i sin p ) ou encore sin 9 cos ( P -4- 0 5

donc

T sin 9 cos (p -h i)

T' sin«cos{<p — p)

expression nécessairement positive parce que i, <p et p sont des angles aigus d'après leur définition môme, et qu'on a montré que p H- 1; Test également.

2® Mouvement descendant; i'>f, — Les forces Q et Ri sont opposées au mouvement; la force P agit, au contraire, dans le sens de ce mouvement. Donc T' est positif, T et T*' sont négatifs, et l'on a

T'==T + T% d'où résulte T'>T;

la puissance P fait encore un travail supérieur à celui de la résistance principale Q. On a, d'ailleurs, pour expressions de

ces divers travaux,

T =Q^cos? :

T'r:=Ria7Sin(ï>

-. Sln{^ — o)cos3 P-^ 70^ — r-^>

p^cos(p4-0sin?

cos(p-h«p)

3® Mouvement descendant; i<,^. — Les forces P et Q direclement appliquées agissent toutes deux pour faire descendre le corps; ce sont deux puissances. Il n'y a plus de résistance principale et le seul travail négatif est celui du frottement. On posera donc

et Ton aura pour valeurs de ces travaux

T =:Q:r cosY T' rzzParsinf, T'— Rjo^sintp

^^sin(? — OcosY cos(? — y)

p^^-Os(i; — Y)sino cos(? — y)

Ici, Tordre de grandeur de T et T' n'est plus connu d'avance et dépend des trois angles t, y» ?•

On verra plus tard l'importance que présente la détermination du travail des forces dans les machines.

172. Coin isoscèle. — Le coin isoscèle est un prisme triangulaire en métal ou en bois dur, ayant un triangle isoscèle pour section droite. Soit ABC ce prisme {/ig- 2i5); une force P agit normalement au centre de la face AB, pour le faire pénétrer entre deux obstacles qu'on veut écarter, comme par exemple deux parties d'un corps qu'il s'agit de fendre. Supposons le coin sur le point de se mouvoir dans le sens de P; alors il éprouve, de la part des deux obstacles, des réactions qui ont une résultante égale à P. Les deux réactions totales exercées sur les faces AC, BC font un même angle q, égal à celui du frottement, avec les normales à ces faces; elles sont donc également inclinées sur P, et par suite il faut nécessairement qu'elles soient égales pour que P puisse être leur résultante.

Désignons par R Tintensilé commune à ces deux forces, représentées par les droites BU, EU. Comme Tangle cp doit être compté en dessus des normales DN, EN, afin que les composantes tangentielles des forces R ou frottements agissent en sens contraire *^' ^'^'

du glissement du coin sur les obstacles, on voit que DR et ER font avec CP des angles égaux à 90° — « — cp, en nommant a le demi-angle au sommet C du coin. Alors, si l'on égale à zéro la somme algé- -^^Xrn^^' ^^1.9 brique des projections des forces R, R, '^ ' "^^

P sur la direction de la dernière, on

trouvera

P =^ 2Rsin(a -h 9),

relation qui fait connaître R en fonction

de P. On en déduit la pression exercée

normalement par le coin sur chacun des deux obstacles; elle

est égale à R coscp, soit, d'après Téquation précédente, à

P cos©

2 sin(a-i-cp)

Dans le cas d'un frottement nul, cette pression serait -- . — >

2sina

puisqu'on aurait ç — o; le frottement la réduit dans le rap-

^ , coscpsina , I - 1. -«x 1?

port de ^-— r ou de a 1 unité. En supposant,

^ sin(a-i-cp) tanj>Q> ^^

tanga

par exemple,

tanga r= o,i5, tango = o,45,

on trouve ce rapport égal à 7: le coin exercerait des pres-

sions quatre fois moindres que celles qu'il serait susceptible de produire si le frottement disparaissait.

Supposons maintenant que le coin soit sur le point de remonter sous l'action de deux forces R' produites par les obstacles, malgré une force descendante P' appliquée au centre de la face AR. Le frottement change alors de sens et, puisque la composante tangentielle des forces R' est descen-

dante, l'angle <p de ces forces avec les normales aux faces AC, BC doit se compter en dessous, d*où il suit qu'elles font avec CP' des angles égaux à 90*— a -+- <p. La relation entre P' et R', obtenue par le même moyen que dans le premier cas, deviendrait

P'i=2R'sin(a — ç>).

Si l'on avait « > <p, cette relation donnerait pour P' une valeur positive, et il serait alors effectivement nécessaire d'appliquer au coin une force descendante, pour l'empêcher de remonter après qu'il aurait été enfoncé, ce qui en rendrait l'usage incommode. Au contraire, si le coin est suffisamment aigu pour qu'on ait « < ©, P' deviendra négative, et il faudrait exercer un effort ascendant pour que le coin fût sur le point de remonter; donc, si l'on supprime cet effort, le mouvement en question ne sera pas sur le point de se produire, et le coin restera en équilibre stable dans la position qu'on lui avait précédemment fait prendre en l'enfonçant.

173. Presse à coin, — Un coin isoscèle, soumis à une force P qui agit au centre de la face supérieure AB ( fig. 216), s'en-

Fig. 216.

fonce entre un obstacle fixe F et une pièce H nommée bloc qui, d'un côté, s'appuie sur un support fixe K, et de l'autre exerce une pression Q sur un corps M, retenu lui-même par

FROTTEMENT, ETC. I^y3

l'obstacle fixe L. Supposons le mouvemenl sur le point de naître sous l'action de P, dans le sens de cette force; alors le coin éprouve de la part de G et H deux réactions symétriques R, faisant avec les normales DN, EN des angles égaux à Tangle de frottement © et données par Téquation (n°172)

2 siïi(a -+- o)

Considérons maintenant Téquilibre du bloc. Il est prêt à

glisser sur le support K, sous Faction de trois forces, savoir :

I*» une force R' exercée par le coin, égale et contraire à R, en

vertu du principe de la réaction égale à Faction (n*»95); 2° une

réaction exercée par le corps M, égale et contraire à Q, par la

même raison; 3<> une réaction S due au support et faisant avec

la normale à la surface commune un angle ^'y égal à Tangle

du frottement des corps U et K. Chacune de ces trois forces

devant être égale et contraire à la résultante des deux autres,

on a (n<» 11)

sin(R', S) ~ sin(S, Q) "" sin(Q, K')'

Nous admettrons que Q a une direction perpendiculaire à P et qu'il en est de même du plan de séparation de H et K; alors les angles qui figurent dans les deux égalités ci-dessus sont faciles à évaluer, et Ton trouve

(R', S) := ç'-h 1800— (R', P) zzz 900-h a + ? + ?',

(Q, R') = 90°-+- (R', P) = i8o°— (a -4- cp).

Il en résulte immédiatement