V. à.ji \Axr

réactions R', R' des points d'appui D et G. Ces dernière^ forces font, avec les normales menées en D et G à la surface de la tige, des angles égaux à l'angle ^ du frottement, et cei angle se compte en dessous de la normale, puisque le frottement s'oppose au mouvement ascendant du valet. Soit H le point de rencontre des lignes, connues a priori, suivant lesquelles agissent R' et R". Supposons, d'un autre côté, qu'on ait eu soin, tout d'abord, pendant la mise en place du valei, de faire P >jy, de manière que la résultante R de ces deux forces soit de même sens que P et placée plus loin vers h droite {n^ Hl). Cela posé, nous distinguerons deux cas :

I*» Si le point H tombe dans l'intervalle compris entre S et R, il faudra, pour amener la résultante de ces deux forces à passer par H, donner à la force additionnelle S le sens ascen-

dant; cela sera une condition nécessaire de Téquilibre entre P, /?, S, R', R', car la résultante des trois premières doit être directemetît opposée à celle des deux dernières, laquelle passe en H. On voit que dans ce cas le valet ne pourrait être mis sur le point de remonter que par l'introduction d'une nouvelle force agissant dans le sens de ce mouvement. Faute de cette force, il restera en équilibre stable.

2^ Si le point H était plus éloigné du trou que la force R, il faudrait prendre une force additionnelle dans le sens indiqué par la figure pour amener la résultante de R et de S à passer en H. L'équilibre ne pourrait alors se maintenir qu'à la condition de continuer à exercer en A une pression suffisante dans le sens de la descente; l'instrument ne remplirait plus son but, et, par conséquent^ il faut s'arranger, par un choix convenable des dimensions, de manière à rendre impossible la réalisation du second cas.

Lorsqu'on veut desserrer le valet, il faut lui appliquer une force ascendante, comme la force S du premier cas, mais dépassant un peu l'intensité nécessaire pour l'équilibre. Dans la pratique, on produit cette force en donnant un ou deux coups de maillet sur l'extrémité inférieure R du valet.

1T7. Visa filet carré. -^ Nous considérons une vis à filet carré, mobile dans un écrou fixe et soumise, d'une part, à un couple agissant dans un plan perpendiculaire à l'axe, d'autre part, à une force agissant suivant l'axe lui-même. On peut faire diverses hypothèses tant sur le sens du mouvement de la vis que sur celui des forces; nous ne nous attacherons pas à les discuter toutes; ce qui suit suffira pour montrer la marche à adopter dans tous les cas.

Nous admettrons que la vis soit sur le point de se mouvoir dans le sens du couple et contrairement à Faction de la force; d'après la disposition de l^fig- 228, ce mouvement, non encore produit, mais imminent, aurait le sens ascendant. L'équilibre existe entre le couple Pp, la force Q et une infinité de réactions élémentaires, exercées sur la vis en tous les points de la surface hélicoïdale gauche suivant laquelle elle touche son écrou EE. Le filet étant supposé avoir peu de saillie sur le noyau, on pourra regarder la réaction sur un élé-

TROISIÈJUE PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈVE.

Fig. aî3.

ment de surface compris entre deux génératrices infiniment voisines comme s'exerçant au milieu de cet élément, c'està-dire sur ThéHce moyenne, dont nous nommerons le rayon r. Chacune de ces réactions élémentaires se composera d'une force normale N et d'une force langentieiie descendante /N,

toutes deux situées dans le plan tangent au cylindre de rayon r, <p sur lequel est tracée Thélice moyenne. Ces deux forces pourront se composer en une seule R, faisant avec la normale N un angle <p égal à celui du frottement, dont/désigne la tangente; tout le long de Thélice moyenne on trouve réparties, suivant une loi quelconque, des forces analogues à N,/N, R. Si Ton nomme / l'angle de la tangente à Thélice moyenne avec le plan d'une section droite, on voit que toutes les réactions R font avec Taxe un angle / + o et en sont séparées par la dislance r. Alors, en égalant à zéro la somme des projections sur Taxe de toutes les forces appliquées à la vis et la somme de leurs moment> par rapport à la même droite, on trouvera

Q--cos(/4-<î.)2R, P/?=:-rsin(«-f-o)2R, d'où l'on lire, par l'élimination de SR,

P/? = Q/'tang(« -h o).

Si le frottement n'existait pas, q> serait nul, et la valeur de Pp répondant à une valeur donnée de Q serait Qrtangi; on voit que l'existence du frottement produit sur le moment du couple nécessaire pour faire sortir la vis du repos le même effet que l'addition de l'angle q> à l'inclinaison de la vis. Si les deux angles étaient assez grands pour que leur somme /4-0 atteignît 90% Pp deviendrait infmi; au delà, il y aurait impossibilité de produire le mouvement dans le sens supposé, car

P/> et Q désignent les grandeurs absolues d'un moment et d'une force de sens déterminés, et leur rapport ne pourrait être égal à la quantité négative rtang(«H-<p). Pour pouvoir faire monter la vis, on serait obligé, dans ce cas, d'aider à l'action du couple Py> par une force Q ascendante, au lieu de lui donner à vaincre une résistance qui agirait dans le sens opposé.

Examinons maintenant le cas où, le couple et la force conservant les mêmes sens que précédemment, le mouvement de la vis serait sur le point de se produire en descendant. Alors le frottement /N change de sens et la force R fait l'angle <p au-dessus de N, au lieu de le faire en dessous. L'application des conditions d^équilibre conduit, en conséquence, aux équations ci-dessus, dans lesquelles on mettrait — <p au lieu de (p; on trouve donc dans le cas actuel

P/> = Qrtang(/— f), soit

Q=-y tang(90«— i -+- o ).

Ici encore, on voit que l'angle ç s'ajoute à l'angle complémentaire de i quand il s'agit de calculer la force mouvante Q capable de surmonter la résistance produite par le couple Pp. Lorsque t = ?p, Q devient infinie; on prouverait ensuite, par un raisonnement tout semblable à celui du premier cas, que pour <p > « aucune force Q ne peut déterminer le mouvement de descente, à moins qu'on n'aide à son action par un couple tendant aussi à faire descendre la vis.

Si l'angle <p n'atteint pas 45", ce qui a pratiquement toujours lieu pour des surfaces en bois ou en métal convenablement construites et entretenues, il est possible de prendre une inclinaison i comprise entre ^ et 90* — o, de manière à remplir simultanément les deux conditions

alors le couple P/? pourra déterminer le mouvement ascendant de la vis sous l'action de la résistance, ou bien, si l'on veut, on pourra intervertir les rôles, en faisant de Q la puis-

488 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE TROISifcSE.

sance produisant la descente de la vis sous l'action résistante du couple F p. Si, au contraire, on prenait i tout à la fois inférieur à «p et à 90<> — (p, le couple Pp serait bien susceptible de mouvoir la vis, malgré la résistance Q; mais, quand il aurait cessé d'agir, la force Q serait incapable de déterminer, à elle seule, un mouvement en sens contraire. Cette propriété est utilisée pour construire des vis de pression, qui ne se desserrent pas lorsqu'on les abandonne à elles-mêmes après avoir effectué le serrage.

Travail des forces appliquées à la vis, dans le cas du mouvement uniforme produit par le couple» — Nous supposons maintenant que la vis tourne et monte uniformément sous l'action du couple P/>, malgré la force résistante Q, et nous voulons trouver, comme nous Favons fait au n<» 171 pour le plan incliné, le rapport entre le travail moteur de P/> et le travail résistant utile Q, ces travaux devant répondre à un déplacement angulaire quelconque 0 de la vis.

D'abord on peut établir que la relation (i), établie dans rhypothèse d'un équilibre sur le point d'être rompu, subsiste encore dans celle du mouvement uniforme, à part celte différence que l'angle ^ du frottement au départ sera remplacé par l'angle <p qui se rapporte au glissement effectif. En effet, si la vis tourne uniformément, un quelconque de ses points possède un mouvement uniforme et rectiligne en projection sur l'axe, et un mouvement circulaire également uniforme en projection sur le plan d'une section droite; il en résulte immédiatement (n° 104) que la force totale produisant son accélération est perpendiculaire à Taxe, et qu'elle le rencontre, puisqu'il faut (n° 105) que sa projection sur le plan de la section droite passe par le centre du cercle décrit par la projection du point. Dès lors, on peut toujours dire, aussi bien dans le cas du mouvement uniforme que dans celui du repos supposé en premier lieu, que toutes les forces agissant sur les divers points de la vis ont une somme de projections nulle sur l'axe et une somme de moments nulle par rapport à cet axe. Or, dans cette somme de projections ou de moments, les forces intérieures, deux à deux égales et opposées (n*95), ne donnent que des termes qui se détruisent algébrique* ment; donc, on retrouve ainsi les mêmes équations entre les

forces extérieures, et notamment Téquation (i) ci -dessus mentionnée.

Si maintenant on fait tourner la vis d*un angle 0 en lui appliquant le couple Pp, le travail T des deux forces P de ce couple sera P/?6 (n**» 102 et 144); comme le point d'applicalion de la force Q aura pris simultanément un déplacement égal à rotangs suivant Taxe, le travail de Q sera égal, en valeur absolue, à QrOtangt. En désignant par T' cette dernière quantité, on aura donc

T ziz P/?e 1= Qr6 tang(e' 4- ?),

T'^Qretange

et, par suite,

T tang(/-hc5)