CHAPITRE TROISlfeaS

on peut se demander quelle est, dans rinter\'alle de ces deui limites, la valeur de i qui le rendra minimum; avec cette valeur de i, la vis jouirait de la propriété de consommer le moins de travail moteur possible, pour un travail utile donné, en supposant, bien entendu, qu'on l'emploie dans les conditions où nous nous sommes placé, c'est-à-dire en la faisant tourner au moyen du couple P/>, perpendiculaire à son axe, sous l'action de la résistance longitudinale Q. Il s'agit donc de trouver le minimum de la fonction

tang:(i -hs^ 7=- •

tang^

lorsque / varie de o à 90^— ?. Pour cela, posons

tangi^ia:, tangçii:^/;

on aura

La condition de minimum s'obtient en égalant à zéro la dénvee ~- > ce qui donne

OU, toute réduction et simpliOcation faites.

X* H- 2 fx — 1 =1 o.

De là résulte

x — —f+\J\-ff*.

Désignons maintenant par cp' le complément 90°— © de l'angle du frottement; on aura

r . COS©' I ^ / COS-9' t

/=: tango = —. -, y^I -h/^=:i/ 1-4- . , , 1= -: ■;

^' sino' ^ -^ V sm-o' sins

et, par suite,

I — COS9' X ^ langf — — ; — pi-

smo

2 sin-- ^'

2 sin - Q> cos - o 2 ' 2 *

11 en résulte que la valeur cherchée de i^ donnant le minimum

du rapport ?p7> est égale à - <p', c'est-à-dire à la moitié de

l'angle complémentaire de celui du frottement.

On a, d'ailleurs, en appelant ji ce rapport minimum,

lang ^(90**—?) + ?

tang^(90^— cp)

lang^(9o°-^?) ,

= -^ = lang» - (900 -h ?).

tang^(9o«— cp)

Le tableau suivant donne une idée de la manière dont /i varie avec <p.

?• Xr

On voit par là combien il importe, pour l'économie du travail moteur, de réduire autant que Ton peut, par la bonne exécution de la vis et un graissage convenable, la valeur de l'angle du frottement.

178. Pivots et épaulements. — Lorsqu'un arbre est assujetti à tourner autour d'un axe vertical, il se termine par un pivot s'appuyant sur une crapaudine; la surface d'appui est un cercle ayant son centre sur Taxe. Soient p ^ OA (/ig. 224) le rayon de ce cercle, P la pression totale exercée sur lui, suivant la direction de l'axe de rotation. 11 serait très difficile de déterminer la loi réelle suivant laquelle la pression P se partage entre tous les éléments w de la surface d'appui irp'; comme le frottement dont nous voulons nous rendre compte ici n'a pas, en général, beaucoup d'importance et qu'il suffit

49^ TROISlbME PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈME.

de s*en faire une idée approximative, nous admellrons Tuniformité de la répartition. Cela signiGe que chaque élément t^

supporte une pression — : proportionnelle à son aire, ce qoi

conduit bien à une résultante totale ayant P pour intensité et passant en 0. Quand le mouvement de rotation existera oa

sera sur le point de naître dans le sens de la flèche, il se produira sur l'élément cd un frot-

Fig. ai4'

tement proportionnel à la pression -^^j soii

/"Pw

= — r-> en désignant par / le coeflicieDt de

frottement. Cette force aura une dîrectioD perpendiculaire au rayon Oœ et sera opposée au déplacement que cd prend ou tend ï prendre en vertu de la rotation. Il s'agil maintenant de composer entre eux tous ces frottements élémentaires et de les remplacer par un systèaie plus simple.

On remarquera d*abord que l'élément superOciei diamétralement opposé à (o supporte un frottement de même intensité que celui de «>, mais dirigé en sens contraire; ces deai frottements constituent donc un couple, et, comme le système total peut être décomposé de même, il en résulte qu'il est formé par la réunion de couples tous contenus dans le plan d'appui, et qu'il se réduit à un couple résultant contenu aussi dans le même plan. Le moment de ce couple, ou la somme des moments de ses deux forces par rapport à une perpendiculaire quelconque à son plan, est égal à la somme des moments des forces élémentaires relativement au même axe; on peut choisir pour cet axe Taxe de rotation 0, qui rend le calcul plus commode. Considérons tous les éléments superGciels (0 compris entre deux circonférences décrites du centre commun 0 avec les rayons r ei r -hdr; la somme des moments des frottements sur cette bande annulaire sera

T- SW ou -^ ; y

irp' p'

attendu que Sw — 27: r^/r. Intégrant cette expression entre

I es limites o et p, on obtiendra pour le moment total

2/P rC

^±J'''r*dr=l/Pp.

L.e couple résultant équivaut donc à un couple formé avec deux forces de sens contraires ayant /P pour intensité com-

m une et agissant sur un bras de levier ^ p.

Un calcul tout semblable s'applique au cas où un arbre serait pressé contre un épaulcment par une force totale P agissant suivant Taxe. La seule différence consiste en ce que la surface d'appui n'est plus un cercle, mais une bande annulaire comprise entre un cercle extérieur de rayon p et un cercle concentrique intérieur de rayon p\ le centre commun étant toujours sur Taxe de rotation. Par suite, cette surface a pour expression Tr(p'-— p'*), et dans le calcul de la somme des moments l'intégrale définie doit se prendre entre p' et p; on trouve ainsi pour le moment du couple résultant

^/'^ ry . ^fi'i?'-?'') __ 2/p(p^+pp-4-p-^)

Si Ton appelle p, le rayon moyen - (p 4- p') de la bande et / sa largeur p — p', on posera en conséquence

P = Pi+;^ ? — Pi— -^^ et la valeur ci-dessus donnée du moment résultant deviendra

Çj

Le moment total des forces de frottement étant connu, on en déduit leur travail pendant une rotation d'étendue quelconque autour de Taxe 0. Si 0 désigne l'angle décrit, ce travail sera en valeur absolue

-/PpO dans le cas d'un pivot,

/Pô (pi H j dans le cas d'un épaulement.

49^ TBOisitae pàstie. — chapitre troisièmb.

Dans lous les cas, ce sera ud travail négatif, puisqu'il esi produit par des forces qui agissent en sens contraire du déplacement de leurs points d'application. Pour un tour entier on ferait 8=: ^-a.

On doit, afin de diminuer le moment et le travail du frollfment, prendre aussi petites que possible les dimensions f et p'; mais il ne faut pas pousser la diminution trop loin, car. si l'on soumettait la surface d'appui à une trop grande pression par unité superficielle , les matériaux pourraient se rompre, ou tout au moins il pourrait y avoir expulsion des enduits, altération du poli des surfaces, et par suite augmentation du moment résistant qu'on avait l'intention de diminuer.

179. Treuil horizontal soumis à des forces perpendiculaire à son axe. — Le treuil consiste en un arbre horizontal terminé par des tourillons qui reposent sur des coussinets Tues: cet arbre porte une poulie B {Jig, aa5), tangentiellemenl à

laquelle s'exerce la puissance P, dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation; de même, la résistance Q, êgalemenl perpendiculaire à l'axe, est appliquée tangentiellement aune autre poulie C, qui est remplacée souvent par la surface cylindrique limitant le corps de l'arbre. En outre, le treuil supporte son poids propre n, que nous considérons comme applique au centre de gravité G, en un point de l'axe. Enfin il éprouve, de la part des coussinets, des réactions que nous concevons remplacées par deux forces U', H'.

Si le mouvement de rotation autour de l'axe est seulement sur le point de nailre, dans le sens où agit la puissance P, il

y a repos, et par conséquent toutes les forces extérieures qu'on vient d'énumérer doivent satisfaire aux conditions d'équilibre des solides (n* 133). La même chose est-elle encore vraie dans Thypothèse d'une rotation uniforme? C'est une question que nous ne traiterons pas à fond quant à présent, parce qu'elle rentre dans le cadre du cours de seconde année; mais nous répondrons affirmativement, en supposant que le treuil soit un solide de révolution, non seulement au point de vue de sa forme géométrique, mais aussi pour ce qui concerne la distribution des masses. En effet, un point matériel quelconque du treuil, ayant une masse m et situé à la distance p de l'axe, possède une vitesse constante t'sur la circonférence qu'il décrit; les forces qui le sollicitent doivent

mr*

donc se réduire à une force centripète (n® 105). Le point

diamétralement opposé à celui-là est sollicité par la même force, agissant en sens contraire suivant la même ligne. Donc toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur l'ensemble des points du treuil, peuvent «e ramener ainsi à des groupes de deux forces égales et directement opposées; donc elles se font équilibre, d'où il résulte que les forces extérieures, considérées séparément, satisfont aux conditions de cet équilibre, puisque les forces intérieures ont toujours des sommes de projections et de moments identiquement nulles.

Dans l'état de mouvement parvenu à l'uniformité ou de mouvement non encore produit, mais imminent, nous pouvons donc égaler à zéro la somme des moments des forces extérieures par rapport à Taxe du treuil. Désignons par

p Q\. q les rayons des poulies sur lesquelles agissent P et Q; r', r" les rayons des tourillons;

/ le coefficient du frottement des tourillons sur les coussinets, ou la tangente de l'angle du frottement;

f /, ^ -7-^-— le sinus du même angle.

Si le frottement n'existait pas, l'équation des moments se réduirait à

car les réactions R' et R', normales aux surfaces des lourillonSy rencontreraient Taxe. Mais en réalité chacune des forces R', R' se compose d'une force normale ayant un moment nul, et d'une force tangentielle égale à/,R' ou à/,R' (n^l67)y dont le moment est opposé à la rotation et a une valeur différente de zéro. En en tenant compte, l'équation précédente devient

(I) Pp^Qq-\-A^'r'^f,R''r'',

c'est la relation entre ia puissance et la résistance, mais elle renferme aussi les inconnues auxiliaires R', R', dont il faut maintenant se débarrasser.

Pour cela nous supposerons d'abord que, vu la petite longueur des tourillons, les réactions R', R*' puissent être considérées comme agissant en des points A', A"" situés à égaie distance des sections extrêmes qui limitent la partie appuyée de chaque tourillon. Par ces points A', A' nous mènerons deux plans perpendiculaires à Taxe, puis nous remplacerons chacune des trois forces P, Q, n par deux composantes parallèles et de môme sens, contenues dans ces plans, et satisfaisant aux conditions d'équivalence indiquées au n« ikO; de cette manière la force P, par exemple, sera remplacée par deux composantes P', P" ayant avec P des rapports connus; la même chose aura lieu pour Q et n, auxquelles on substituera des composantes Q', Q', n', n*^ égales à des fractions connues de Q ou de n. Cela fait, toutes les forces extérieures appliquées au treuil se trouvent ramenées à deux groupes de forces contenus dans les deux plans perpendiculaires à l'axe, menés par A' et A". Nous allons prouver que l'équilibre entre toutes ces forces ne pourrait se produire, si dans chacun des deux plans la résultante de translation des forces qu'il contient n'était pas nulle. £n effet, si la résultante de translation n'était pas nulle dans l'un des deux plans, les forces de ce plan ne se réduiraient pas à un couple et auraient par conséquent une résultante unique {n^ 143); cette résultante ne pourrait faire équilibre aux forces de l'autre plan, ni dans le cas où elles auraient aussi une résultante, parce qu'elle ne serait pas directement opposée à la première, ni dans le cas où elles se réduiraient à un couple, parce qu'un couple ne peut

Fig. 226.

faire équilibre à une force. Au contraire, l'équilibre est possible entre deux couples situés dans ces deux plans parallèles.

Ce point étant établi, représentons les forces contenues dans Tun des deux plans, celui de A' par exemple. Le cercle O'A' {^fig. 226) est la coupe du tourillon, qui se meut, avec un certain jeu, à Tintérieur d'un coussinet de rayon tant soit peu plus grand, et tourne dans le sens de la flèche. Les forces P' et Q' agissent tangentiellement à des cercles de rayons connus, ayant 0' pour centre; n' agit en 0'. La résistance à vaincre Q étant supposée une donnée immédiate, on connaît n' et Q',

et Ton peut composer ces forces en une seule S', qui sera également connue. Puisque la résultante de translation de toutes les forces comprises dans ce plan doit être nulle, la réaction R' supportée par le tourillon en son point de contact A' avec le coussinet sera égale et contraire à la résultante de S' et de P'; donc

R'=:v/S'*-hP'«H-2P'S'cos(P', S').

On aurait de même, en considérant les forces dans le plan parallèle mené par A'', et désignant par S'' la résultante des forces connues 11% Q",

R" — v^S''* -f- P"» 4- 2 P'' S" cos ( P% S" ) .

Les composantes P' et P* sont avec leur résultante P dans des rapports connus, dépendant uniquement de la situation occupée par la poulie B entre les points A', A"; les autres quantités qui entrent dans les expressions de R', R' sont toutes connues, et Ton voit par conséquent que R' et R'^ sont des fonctions données de la variable P. En les substituant dans l'équation d'équilibre (i), on aura la relation entre P et Q, au moyen de laquelle on déterminera la valeur de P correspondante chaque valeur de Q.

Rrksse. — Couri de Méc. I. Sa

Quand cela sera fait, on pourra se rendre compte des iravaux effectués par la puissance P et la résistance Q pendant un déplacement angulaire 6; ces travaux auraient pour laleurs Ppe et Q^e (nM02), et leur différence (Pp — Qq)^ représenterait le travail /,6(RV 4- R'r^) des froltemeDls exercés sur les tourillons, comme on le voit par Téquation (i) et comme on le prouverait directement, au besoin, par un raisonnement tout semblable à celui qu'on a donné à Toccasion de la vis (n* i77).

L'équation qui détermine P contient Tinconnue engagée sous deux radicaux du second degré; il faudrait deux élévations successives au carré pour les faire disparaître, et Foo obtiendrait alors une équation du quatrième degré. Pratiquement on évite celte complication par l'emploi du procédé des approximations successives. Les frottements ne devant avoir qu'une influence assez restreinte dans un treuil bien établi, à cause de la petitesse du coefficient /i et des rayons r\ r', od commence par le négliger; l'équation d'équilibre devient alors Pp = Qq et donne, comme première approximation,

Au moyen de cette valeur approchée on calcule R' et R' en se servant des équations (2) et (3), et Ton prend comme valeur plus exacte

P = i(Q^+/tR'r'+^R'r^); P

cette nouvelle valeur de P conduirait à son tour à d'autres valeurs plus exactes de R' et R*, que l'on substituerait dans la formule précédente pour s'approcher encore plus de P, et ainsi de suite. On s'arrêterait quand il y aurait une différence suffisamment petite entre les résultats de deux essais consécutifs.

Dans le cas particulier où les forces P et Q sont verticales, les calculs se simplifient, car on a

et l'équation à résoudre s^abaisse au premier degré. Si Ton

admettait en outre que les rayons r', r" des tourillons sont

égaux, cette équation deviendrait, en nommant r leur valeur

commune,

P/>=:Q^-+-/jr(R'4-R'')

ou encore

attendu qu'on a

?=:.?' -hP% Q = Q'4-Q', n = n'-hn'.

De là on déduirait enfin

Poncelet a indiqué un procédé approximatif pour abaisser au premier degré, dans tous les cas, Téquation à résoudre. Il remarque d'abord que R' et R^ peuvent se mettre sous la forme v/X* -\ Y*, en désignant par X et Y des quantités positives; à cet effet, s'il s'agit de R' par exemple, on projette sur deux axes rectangulaires contenus dans le plan A' les forces qui doivent donner la résultante R' et l'on prend pour X et Y les valeurs absolues des deux projections; on fait la même chose pour R*. Poncelet montre ensuite que, si Ton choisit convenablement deux coefficients a et 6, on pourra, sans erreur notable, admettre l'égalité

v/X«-^Y*r=aX-+-6Y.

Voici comment il détermine a et b.

L'erreur relative commise quand on remplace le radical par aX 4- bY est égale à

aX-f-6Y,

elle ne dépend que du rapport y» ^t, en désignant ce rapport

par tangY> elle se met sous la forme

I — acosY — 6sinY ou encore

I — X cos (y — ïi )

si Ton pose x = v/a'-+- 6', tang^i = - • Supposons maintenaDi

que, sans connaître le rapport ^t on puisse afBrmer qu'il satisfait à rinégalité

^ < tange,

6 désignant un angle déterminé , compris dans rintenalle de o à 90*; alors Poncelet adopte les valeurs

1 4- cos - 6

d'où l'on tire

2 cos - 8

a^z.x cos Yi = = I — tang" -^ 0,

I H- cos - 6 "*

2 sin - 6 6 — a? sin Yi = = 2 tang y 0.