COEFFICIENTS
0,0000 o,i3ii 0,2633 0,3960 0,5359 0,6789 0,8284
LIMITE SCPÉRIEURE
de
rerrenr reUtfTe
= tang* 1 0.
0,Il52
Ce Tableau montre que l'approximation devient satisfaisante dès que Tangle 0 ne dépasse pas 4^^ ou en d'autres termes dès qu'on peut savoir quel est le plus grand des deux carrés dont la somme est sous le radical. £n prenant alors 0,96 de la plus grande racine et ajoutant o,4o de la plus petite, on commet sur le radical une erreur proportionnelle limitée
à -79 approximation bien suffisante dans les questions relatives au frottement, car on ne peut pas répondre que les valeurs du coefficient / soient connues avec le même degré d'exactitude.
180. Treuil soumis à des forces quelconques, — Les forces appliquées à un treuil peuvent toujours, quelles qu'elles soient, se remplacer chacune par deux composantes, l'une contenue dans un plan perpendiculaire à l'axe, l'autre normale à ce plan. La seconde composante ayant une direction constante, on pourra composer toutes ces forces parallèles en une seule T, puis remplacer cette résultante par une force égale et parallèle T agissant suivant l'axe et par un couple (T, — T); il suffît pour cela d'appliquer suivant l'axe deux forces T égales et contraires (n® 145). Le couple sera ensuite tourné dans son plan (n° ikk) de manière à rendre ses forces perpendiculaires à l'axe; on aura ainsi remplacé les forces primitives par une force qui agit suivant l'axe et par une série
de forces perpendiculaires, qui sont dans les mêmes conditions que les forces P, Q, n considérées au n® 179. Alors s'il y a mouvement sur le point de se produire ou mouvemeoi effectif et uniforme, l'équilibre existe entre les réactions des appuis et les forces directement appliquées, transformées comme on vient de le dire. Il faudra d'abord qu'une crapaudine ou un épaulement, suivant les cas, donne une réaction égale et contraire à T, d'où naîlra un couple de frottement, dont on sait évaluer le moment M (n« 178). La force T suivant Taxe étant ainsi équilibrée par une réaction égale et contraire, on peut considérer le treuil comme n'étant plus soumis qu'aux forces perpendiculaires et au couple M; cv couple, contenu aussi dans un plan perpendiculaire à l'axe, ne change rien aux raisonnements faits plus haut (n® 179) et à la méthode suivie pour déterminer les réactions R', R' des coussinets, mais il doit entrer dans l'équation d'équilibre exprimant que le moment total des forces est nul relativement à l'axe du treuil. Si l'on désigne par N celui des forces directement appliquées, évalué dans le sens de la rotation effective ou imminente, cette équation sera
N = M^-/lR'r-^/lR'^'.
181. Articulations cylindriques. — Quand deux surfaces solides restent toujours en contact, la somme algébrique des travaux de leurs actions mutuelles se réduit à celle des travaux effectués par les forces de frottement (n'» 168), et dans le calcul de cette dernière on peut n'avoir égard qu'au mouvement relatif des deux corps, puisque le glissement dépend de lui seul et non du mouvement absolu de chaque corps en particulier. On peut donc imaginer que l'un des deux corps soit en repos, pendant que l'autre aura le mouvement relatif, sans rien changer à la valeur des arcs élémentaires de glissement qu'on a besoin d'évaluer.
Supposons maintenant une articulation cylindrique de rayon r et une pression N entre les deux pièces qui la composent. Le frottement correspondant sera le produit /N de cette force par le coefficient de frottement; si l'une des pièces tourne relativement à l'autre d'un angle dct, le glissement
FROTTEMENT, ETC. 5o3
élémentaire sera rdoL et le travail du frottement sur l'ensemble des deux corps aura pour valeur ^f^rda (n'» 168),
Ce calcul est applicable aux charnières ayant leur axe fixe, comme aux articulations entre bielle et manivelle ou entre un excentrique et sa barre. La présence du facteur r montre pourquoi Texcentrique est désavantageux, au point de vue de l'économie du travail des forces.
Fîg. 227.
182. Engrenages cylindriques. — Considérons deux roues d'engrenage 0 et 0' {/ig' 227) qui tournent dans les sens indiqués parles flèches, c'est-à-dire de manière que les dents se touchent au delà de la ligne des centres; la première est soumise à une puissance P, la seconde à une résistance Q. Si l'on suppose le mouvement sur le point de naître ou établi avec une vitesse constante, on prouvera, comme dans le cas du treuil {n^ 179), que les forces appliquées à chaque roue se font équilibre. Ces forces sont, pour la roue 0 : la puissance P, les réactions de ses coussinets et la réaction exercée par la roue 0' en B, point de contact des dents; cette dernière force peut se décomposer en une force normale N et une force tangentielle ou frottement /N, agissant en sens contraire du glissement de la dent CB sur la dent C'B, lequel est dû à une rotation autour de A dans le même sens que celle de la roue 0. Pour la roue 0' nous aurions de même la résistance Q, les réactions de ses coussinets et deux forces N', /N' égales et directement opposées à N et/N, en vertu du principe général énoncé au n® 95. Les composantes normales N, N' doivent passer par le point de contact A des circonférences primitives (n^ 45).
Nous allons maintenant égaler à zéro la somme des moments des forces agissant sur chaque roue, relativement à son
5o4 TROISIÈMB PARTIB. — GUAPITBR TROISIÈME.
axe de rotalion, Mais^ avant d'entrer dans le calcul algébrique, il est bon de faire encore deux observations :
I® Comme ]a puissance ne doit figurer dans TéquatioD d'équilibre de la première roue que par son moment relativement à Taxe 0, on peut la remplacer par une force P ayant un moment égal et appliquée tangentiellement à la circonférence primitive de cette roue; de même, par une raison toute semblable, on remplacera la résistance par une force Q agissant suivant une tangente à la circonférence primitive deO'.
a<» Dans l'évaluation des moments nous ne tiendrons pas compte des frottements sur les coussinets et supposerons par conséquent nuls les moments des réactions de ces coussinets, parce que nous ne voulons étudier ici que Taccroissemeot de la puissance P et de son travail, pour une valeur donnée de la résistance Q, par Teffet spécial du frottement de Tengrenage. A la vérité, les frottements des coussinets exigeraient encore une autre augmentation de P, et celle-ci aurait aussi une certaine influence sur le frottement que nous nous proposons de calculer. Mais nous pourrons tout au moins considérer Je résultat de notre calcul comme une première approximation, si, comme d'babitude, les frottements modifient peu la puissance capable d'équilibrer une résistance donnée.
Désignons maintenant par
r, r' les rayons des deux circonférences primitives;
p la longueur de la normale commune abaissée du point de
contact A de ces circonférences sur les profils des dents; 3 l'angle de cette normale avec la ligne des centres; a le pas de l'engrenage (n" W,/); /i, n' les nombres respectifs des dents sur cbacune des roues
Alors on aura l'équation des moments, relativement à 0, des forces de la première roue :
Pr =r Nr sina -i-/N(rcosa -h/?),
car les réactions des coussinets, supposées réduites à leurs composantes normales, donnent un moment nul. De même, en
FROTTEMENT, ETC. 5o5
prenant par rapport à 0' le moment des forces de la seconde roue, on trouvera
Qr'^N'r'sina-h/N'C'cosa— /?).
On déduit de ces équations, par une division membre à membre, après avoir divisé la première par r et la seconde par r', eu égard d'ailleurs à l'égalité N r=N',
p sina-+-/cosa-h:^ fp[l^l\^
Sma -H/coSa — ^ sma -h/cOSa — "^
Si le frottement des dents n'existait pas, la dernière équation prouve qu'on équilibrerait la résistance Q appliquée sur
la circonférence 0', par une puissance égale P = 0 appliquée
sur la circonférence 0, puisqu'alors on aurait je =:i;mais,/
ayant une valeur différente de zéro, l'équation donne tt > ^
et par conséquent il faut, outre la force Q, appliquera la circonférence 0 un certain excédent P — Q destiné à compenser le frottement. Cet excédent a pour valeur, d'après la même équation,
''-«=^ — ) — fp-
sm 1 4-/ COSa — ^
Le rapport jr et la différence P — Q peuvent s'exprimer
plus simplement, en se contentant d'une approximation très admissible dans les cas ordinaires de la pratique. L'angle a
est habituellement assez voisin de 90» et ^ est, ainsi que/, une
petite fraction; on ne commet donc qu'une petite erreur si l'on prend
r fp
sma — I, /cosa — ^-Ç — o.
et par suite
Ldifig. 228 représente le cas où le contact des dents précède la ligne des centres. Si l'on recommence dans ce cas un calcul semblable au précédent, on trouvera de la même manière
Sina — /cosa — =p-
r fP
sma —/cosa — ^
Fig. 228.
En admettant encore que Tangle « soit toujours voisin
de 90^ et qu'on puisse négliger sans trop d'erreur les termes
fp P
/cosa,-^-, on retrouve pour -yr elP — Q
les mêmes valeurs simplifiées que dans le premier cas. Ainsi donc, lorsque les dents sont courtes, convenablement construites et graissées, et qu'enfîn on é\ile les valeurs de a trop inférieures à l'angle droit, il n'y a pas d'avantage notable à ce que le contact se fasse plutôt après qu'avant ]a ligne des centres, quoique la première alternative soit cependant préférable en toute rigueur, comme on le voit sans peine par la comparaison des deux valeurs de P.
Abaissons de 0' la perpendiculaire O'D sur la normale commune BN'; dans le triangle O'BD, nous aurons
0'D=:rr'sina, BD =/> -4- r'cosa, tangO'BD =
sma
cosa -I- -,
FBOTTEHENT, ETC. 507
Si Ton suppose Tangle cp du frottemeni égal à O'BD, c'est-
à-dire
sina
COSa-h -5 r
alors racjtion totale R exercée par la dent de la roue 0 sur la dent de 0' actuellement en prise, action qui fait avec BN' Tangle cp, passera par le centre 0' et ne pourra mouvoir la seconde roue, qu'elle pressera seulement sur ses appuis. Il en serait de même si / dépassait la limite qu'on vient d'indiquer, car dans ce cas R passerait à gauche de 0' et son moment agirait contrairement au mouvement supposé ; ce mouvement ne pourrait avoir lieu qu'en remplaçant la résistance Q par une force en sens contraire, et il resterait encore impossible en annulant toute résistance. On dit aJors qu'il se produit un arc'boutement.
L'examen de la fig. 227 montre que le môme fait ne peut guère se réaliser quand le contact est au delà de la ligne des centres; à moins d'admettre des valeurs tout à fait inusitées pour a,/et^, l'action totale de la roue 0 sur la roue 0' aura bien un moment opposé à celui de la résistance Q.
L'arc-boutement peut se produire par suite d'un vice de construction, lorsque l'angle d'une dent s'engage dans quelque petite cavité que présenterait la surface delà dent conjuguée. On comprend d'ailleurs sans peine que ces défauts soient capables d'arrêter le mouvement dans un sens et ne l'arrêtent pas dans l'autre, et ici encore on peut voir que les chances d'arrêt sont plus grandes avant la ligne des centres qu'au delà. Dans le premier cas, en effet, les dents d'une roue pénètrent de plus en plus à l'intérieur des creux correspondants de l'autre; si alors une de leurs arêtes louche la dent conjuguée, elle produira un effet analogue à celui d'un outil taillé en biseau, qu'on voudrait faire mouvoir sur une surface, en y posant le biseau et le poussant en avant. On sait que le glissement est difficile de cette manière, parce que le biseau tranchant peut entamer la surface sur laquelle on l'appuie; mais il n'y aurait aucune difficulté à produire ce glissement en sens inverse, et c'est justement la condition dans laquelle
5o8 TftOISlfiHB PARTIE. — CHAPITRB TROISIÈME.
on se trouve après le passage de la ligne des centres, parce que les dents se retirent des creux, au lieu d'y pénétrer.
Calcul du travail des forces. — Lorsqu'on suppose un déplacement élémentaire ds sur chacune des circonférences primitives, la puissance P et la résistance Q font des travaux Vds^ — Qd!s, et il est aisé de constater que la somme algébrique (P — Q)rf5 de ces travaux égale précisément le travail du frottement, pris en valeur absolue. En effet, les équations d'équilibre donnent, eu égard à l'égalité de N avec N',
et par suite
Ov pdsi- -\- —A est l'expression du glissement élémentaire
des dents l'une sur l'autre (n® 47); donc le second membre est bien le travail élémentaire des frottements, conformément à ce qu'on a vu au n« 168.
On aurait pu également établir cette propriété a priori^ par un raisonnement semblable à celui qu'on a indiqué au n^ 177, à l'occasion de la vis.
Vds P
Le rapport TT — ou ^y entre le travail moteur élémentaire et ^^ Qas Q
le travail j*ésistant utile qui lui correspond, varie sans cesse avec la position des deux dents en prise, parce que les quantités a et/> qui entrent dans son expression ci-dessus donnée varient elles-mêmes. Nous allons en chercher une valeur moyenne, et pour cela nous déterminerons, à l'aide de certaines hypothèses simpliflcatives, le rapport des travaux finis
jVdSfJQds produits pendant toute la durée du contact des
deux dents. On admettra : i^ que les expressions (i) sont d'une exactitude suffisante, quelle que soit la position des dents en prise, avant ou après la ligne des centres; a** que le contact n'a lieu que dans l'étendue d'un pas à partir de cette ligne, soit avant, soit après; 3<» que le pas est assez petit et l'angle s assez peu différent d'un droit, pour qu'on soit autorisé à con-
sidérer la longueur /> i= AB {fig. 227 et 228) comme sensiblement égale au déplacement s des dents, compté sur les circonférences primitives à partir du point A, ou jusqu'à ce point, s'il s'agit d'une position précédant la ligne des centres; 4** que la résistgince Q est constante. On tire alors de la première équation (1)
et, si les intégrales sont prises dans l'étendue d'un pas commençant ou finissant à la ligne des centres.
Pds-Qa
La quantité entre crochets représente le rapport du travail moteur au travail résistant, ces deux travaux étant ceux qui répondent au parcours d'un pas limité d'un côté à la ligne des centres.
A l'instant où cesse le contact des deux dents que nous venons de considérer, deux autres dents viennent en prise et elles se toucheront encore pendant le parcours d'un pas; puis le contact s'établira entre deux nouvelles dents, toujours 'pour un égal déplacement. Pendant chacune de ces- périodes,
les travaux moteur et résistant iPûfe et Qa conservent la
même valeur; le rapport qu'on vient de trouver reste donc exact pour un nombre entier quelconque de périodes, et par conséquent il s'applique aussi à la marche indéfinie de la machine.
Il arrive souvent que le contact des dents commence à un pas avant la ligne des centres et finît à un pas au delà de cette ligne; alors il y a simultanément deux paires de dents en prise, et, comme les calculs précédents en supposent une seule, il est nécessaire de les modiQer un peu. Continuons d'employer les notations ci-dessus admises, pour la paire de
5lO TROISIÈME PARTIS. — CHAPITRE TROISIÈME.
dents au delà de la ligne des centres; maïs pour la paire eo deçà nommons
Ni, /N, les composantes normale et tangentielle de leur action réciproque;
Px^ a, les valeurs de la normale commune et de son angle avec 00', c'est-à-dire les quantités analogues à la longueur ÂB et à l'angle O'AD de lay?^. 228.
La puissance et la résistance étant toujours désignées par P et Q, on trouve les équations d'équilibre
Pr — N(r sina-h/r cosa-+-y)>)-hNi(r sina, — /r cosxi-h^t)» Q r' = N (r' sin a 4-/r' cos a — y)?) ^- Ni (r' sin «1 — ./r' ces a, — yîPi),
qui, divisées respectivement par r et r', donnent par soustraction membre à membre
Nous pouvons toujours admettre, en vertu des mêmes raisons, que/? et/^i sont égaux aux arcs s^ s^ qui mesurent le parcours des dents depuis ou jusqu'à la ligne des centres; lintégrale de l'équation précédente multipliée par ds^ pour l'intervalle d'un pas (c'est-à-dire en faisant varier ^ de o à a et/?i de a à o), donne alors
yPc?5zz:Qa4-^\N4-Ni)^l + p).
D'autre part, en supposant les angles a et sj très voisins de 90® et considérant comme négligeables les termes /cos a— -t
y cosai~-^> ainsi qu'on Ta déjà fait pour obtenir les équations (i), la valeur de Q se réduit à
Q = Nh-Ni,
et l'on retrouve par suite, pour exprimer le rapport de / fds
à Qa, la même formule que dans le cas où il n*y avait qu'une seule paire de dents en prise.
FROTTEMENT, ETC. 5l I
Cette formule peut se transformer en y introduisant les nombres n, n! de dents. On a en effet
a Tc a it ^
ces valeurs introduites dans l'expression i -h — f - -f- > ] la transforment dans la suivante :
Exemple ; / = o,io, n = 20, n* = (\o. On trouve
le travail moteur excède le travail résistant utile environ de
7— de la valeur de ce dernier.
183. Engrenages coniques. — Soient OA et OB {fig» 229) les axes de rotation et OC Farête de contact des cônes primitifs ODC, OCE. Les dents étant supposées courtes, on sait (n« 50) que l'engrenage fonctionne comme un engrenage plan, dont les cercles primitifs auraient les rayons CA, Clî déterminés par une perpendiculaire ACB menée en C à la droite OC.
Si nous nommons
r, r' les rayons CF, CG des bases des cônes primitifs; a, a' les angles de OC avec les deux axes; 6 Tangle de ces axes ; a le pas de Tengrenage,
on aura
r -rrrr /'
