CA = -— -> CB
COSa COSa'
5ia TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈHE.
Le rapport du travail moteur T au travail résistaDt utile T, pendant le parcours d'un pas commençant ou finissant en C, sera donc (n° 182)
T fa fcosi
/cosa COSa'\
On donne habituellement une autre forme au factear
C0S3t cosot'
1 ,-• En nommant to et eu' les vitesses angulaires
autour de OA et 06, et Q leur résultante, on a d'abord
il z=z y/w* -^ a)'* -t- 2 a)w' COSÔ ;
d'un autre côté, la projection des composantes &>, c»' sur la direction de la résultante donne
Q z= u) COS a -h w' COS a',
Si Ton égale ces deux valeurs, on trouve, en observant que ct> et tu' sont en raison inverse des rayons r et r'.
COSa COSa' / i i 2 C0S6
DSa' / I I
rH
Par suite, l'expression du rapport Fp, devient
T fa/i 12 cos6
T' 2 y r' r'* rr
Enfin, si n et n' sont les nombres de dents des deux roues,
on aura encore
a it a ic
2 r n 2 r' n' et il en résultera la formule
nn'
184-. Engrenage de la vis sans fin. — Faisons d'abord la coupe de l'appareil par un plan contenant Taxe de la vis et perpendiculaire à celui de la roue; la ligne AB (^fig. aSo) est
l'axe de la vis, HCI la circonférence primitive de la roue, a^'anl 0 pour centre; BD est la génératrice delà surface hélicoïdale de la vis, qui se trouve actuellement en prise avec une dent CD de la roue. On sait (n° 52) que le profil CD est un(> développante de cercle et que le point de contact D reste toujours sur une parallèle DH à Taxe AB, menée tangenliellement à la circonférence HCI. Sur un plan perpendiculaire à AB, le plein de lavis se projette suivant un cercle B'F'
Fi(j. aSo.
et sa surface hélicoïdale suivant Tanneau circulaire compris entre les cercles B'F', B'D'; la roue supposée réduite à un plan a pour projection la droite DT. Enfin nous faisons une projection sur un plan tangent en D à un cylindre circulaire ayant AB pour axe et BD pour rayon; Thélice lieu des points de la vis qui arrivent successivement au contact y est représentée partiellement. On suppose que la vis conduise la roue, et que le mouvement ait lieu dans le sens des flèches, sous l'action d'une puissance P appliquée à la vis et d'une résistance Q supportée par la roue, contenues dans des plans respectivement perpendiculaires aux axes AB et 0. Le mouvement est supposé uniforme ou seulement sur le point de naître; on pourrait alors prouver, comme on l'a fait à propos de la vis (n* 177) et dans d'autres circonstances, que la somme algébrique des travaux des forces extérieures, agissant sur chacun des deux corps (vis et roue), est égale à zéro. Comme, d'un autre côté, la somme des travaux est, pour chaque solide, égale à la somme des moments des forces relative-
Brbsse. — Court de Méc, I. 33
oi4
ment à son axe de rotation, mullipliée par le déplacement angulaire commun à tous ses points (n^ 102), les sommes de moments sont également nulles. Nous allons écrire les deu\ équations qui expriment la nullité de ces moments, mais en admettant, pour plus de simplicité, qu'on néglige les moments résistants produits par les frottements sur les coussinets; on fait ici une chose analogue à ce qui a déjà été fait à Toccasion des engrenages cylindriques (n« 182, deuxième observation préliminaire).
Désignons par
/• le rayon Bl) de Thélice lieu des points de contact sur la \is;
i son inclinaison sur le plan d'une section droite de son cylindre ;
r' le rayon OH de la circonférence primitive de la roue;
'u, w' les vitesses angulaires constantes des deux corps, dans rhypothèse du mouvement uniforme ;
fy q les bras de levier des forces P, Q;
o l'angle de frottement mutuel des dents et de la vis;
fr=L tang?' le coefficient de frottement.
La réaction de la roue sur la vis sera la résultante de deux forces. Tune N normale, contenue dans le plan tangent en D au cylindre ABD, l'autre /N opposée au glissement; si les dents sont courtes, on peut admettre approximativement que cette dernière est suivant la tangente à Thélice en D (n« 52). Ces forces sont toutes deux représentées en vraie direction dans la troisième projection ci-dessus indiquée. Leur moment par rapport à l'axe de la vis, égal à celui de leurs composantes perpendiculaires à AB, aura pour valeur
(Nsint H-/Ncos£)r; donc réquation des moments sera, pour la vis,
Vp :=r N r (sin £ -^ /cos t).
L'action de la vis sur la roue ayant les composantes N',/N' respectivement égales et contraires à N et /N, on trouve de môme pour équation des moments relativement à l'axe O
Q<7^Nr'(cosf — /"sini).
L'élimination de N entre ces deux équations donne la relation entre P et Q, laquelle est
P/? r sin^'-i- /"cos/ r ^ j — . , — __ — . ^ tang(f -f- o).
Si la somme i-\-o devenait égale à 90°, P deviendrait inflni; dans le cas où Ton aurait «-+-©> 90°, il n'existerait plus de puissance capable de rendre le mouvement imminent ou de Tentrelenir à l'état uniforme, à moins de supposer Q négatif comme tang(i4-cp), c'est-à-dire de changer la résistance en une puissance qui agirait aussi dans le sens du mouvement.
Lorsque la roue conduit la vis au lieu d'être conduite par elle, on peut concevoir que Q devienne la puissance et P la résistance, et que les rotations des deux corps se produisent dans des sens contraires à ceux qu'on a indiqués sur la figure. Rien n'est alors changé aux calculs précédents, sauf que les forces de frottement s'exercent en sens contraire, ce qui conduit à remplacer/ par —/ou o par — cp. Le rapport du moment moteur au moment résistant devient ainsi
p;j;^pcot(i-?);
on voit qu'il est infini lorsque i — cp s'annule, et que la transmission est impossible lorsque cette différence prend une valeur négative.
En supposant l'angle «p inférieur à 4^** (ce qui se réalise habituellement), on pourrait prendre i de manière à vérifier simultanément les deux conditions
fH-©<90° cl f'><p;
alors l'engrenage pourrait fonctionner dans les deux sens.
Calcul du travail moteur et du travail résistant utile. — Considérons d'abord le cas où P est la puissance, Q la résistance; les déplacements angulaires des deux corps pendant Tunité de temps étant to et to', les travaux correspondants de P et de Q ont pour valeur P/?w, Qqoi'. On a donc pour le rapport du travail moteur T au travail résistant utile T'
5l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈME.
OU bien, eu égard à la relalion —r-, — . (n'»o2) (' t,
T ^tang(i+jp) T' langi
On a vu (n° 177) que le minimum de ce rapport, quand on faii varier «*, répond à
et a pour valeur
tang- (900 + 0) ^
j ou lang*-(9oo-f-s).
lang-(9oo— çp)
Lorsqu'on intervertit les rôles des forces P et Q, en faisant de la première la résistance et de la seconde la puissance, lo rapport du travail moteur au travail résistant utile s'exprime
par
Oq^' tangr
j*' — ou •
PjDoj tang(f — o)
Son minimum répond à « =1 - (90°-+- <p), et la valeur de ce minimum est la môme que dans le cas précédent. C'est ce qu'on pourrait établir par un calcul tout pareil, en considérant/—^ comme Tinconnue à déterminer.
185. Frottement cl' une corde ou lanière sur un cylindre fixe, — Une corde ou lanière, supposée de poids négligeable, s'enroule autour d'un cylindre fixe à section droite circulaire,
( ' ) Cette relation se retrouve par un moyen qui peut servir dans d autres occasions et qu'il est bon de faire connaître. Imaginons que le frottement s anéantisse; alors la vis sans fin devient un système à liaisons (n* 130), et sa condition d'équilibre, d'après le théorème général du n* 131, consistera
en ce que T soit égal à T'. Donc l'expression -7-; tang( £ -h 9 ) devient égale a I pour 9 = o, ce qui donne bien
b>'/'' langi
FROTTEMENT, BTC. 5îJ
ayant son axe projeté en 0 {Jig. 281); à ses deux extrémités A et B agissent une puissance F et une résistance Q. Le mouvement étant supposé sur le point de naître dans le sens delà première, on demande la relation qui existe entre ces deux forces.
Fig;. 23i.
Ni T+rfT
Menons les rayons OC et OD qui aboutissent aux points où la corde se détache du cylindre, et nommons :
at l'angle COI) de ces rayons;
6 l'angle d'un rayon intermédiaire quelconque Ok avec OC;
/• le rayon du cylindre, augmenté de celui de la corde ou de la
demi-épaisseur de la lanière; /le coefficient du frottement des deux corps Tun sur Tautre; jx la masse de la corde par unité de longueur.
Si nous considérons l'élément de corde iknm compris entre les rayons 0/, 0/n, qui répondent aux angles 6 et 6 -1- c^O, cet élément reste en équilibre sous l'action de quatre forces, savoir : la tension T de la corde dans la section ik] la tension T -h cTT dans la section mn; la réaction normale N du cylindre, et enfin le frottement ou la réaction tangentielle/N. Il faut pour cela que la résultante des deux premières forces soit égale et contraire à celle des deux dernières, et par conséquent on aura, en égalant les composantes normales et tangentielles,
N~(2T-4-6rr)sin-c/0, /N --= dT cos - d% ou, plus simplement, en négligeant les infiniment petits du
5l8 TBOiSIÈMK PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈME.
second ordre.
De là résulte, par l'élimination de N,
équation dont Pintégrale est, en désignant par /K une constante,
/^^/e ou T"Ke/«.
Pour déterminer la constante, on remarquera que, si le poids de la corde est supposé négligeable, la tension au point C, pour lequel on a 0 = 0, sera égale à Q; la substitution de ces valeurs dans la dernière équation donne Q t= K, et Ton a, par suite,
En particulier, on peut appliquer cette expression générale au point D, pour lequel 0 - a et T -- P; on trouve ainsi la relation demandée
(i) P:=Qe/«.
Cette expression de la puissance P répondant à une résistance donnée Q montre que P croît très rapidement lorsque » augmente; ainsi, pour a = 7: et /= 0,20, on a
^=eM"« = 1,8744;
pour a — 27C avec la même valeur de/, on aurait
P —et .«66» --3^5,35.
Lorsque la corde fait plusieurs tours, on admet encore que chaque spire diffère très peu d'une section droite du cylindre; on continue en conséquence à appliquer la même formule en attribuant à a des valeurs plus grandes que 21t. En conservant
FROTTEMENT, ETC. SlQ
la même valeur numérique de/, on trouverait alors
Pour deux tours a m 4?:, ^ - 12, 3453,
Pour trois tours a = 61:, r= 43 , 3763.
Cela fait voir la possibilité d'équilibrer une grande force P avec une petite résistance Q, dès que la corde fait seulement quelques tours.
Si Ton conçoit Téquation cTT = /N écrite pour chacun des éléments de la corde entre les points C et D, et qu'on fasse la somme de toutes ces équations, le premier membre de l'équation obtenue par ce moyen sera Taccroissement fini de la tension entre les points extrêmes de la portion de corde CD, soit P — Q; le second sera la somme des frottements élémentaires subis par cette même portion CD. En nommant F cette somme, on aura donc
ou, d'après l'équation (i),
Les calculs qui ont conduit aux équations (1) et (^) ne subsisteraient plus rigoureusement dans le cas où la corde aurait un mouvement uniforme, au lieu d'être seulement sur le point de sortir du repos. L'élément iknm aurait une accélération tangentielle nulle; mais, comme il décrit un cercle de rayon r avec une vitesse constante t^, il a une accélération centripète
— • Les forces qui le sollicitent doivent donc donner une rér
sultante opposée à N et égale au produit de sa masse jxrf/O par — 5 soit à jxt^* <iO (n*» lOV) ; en projetant ces forces sur les directions N et /N, on trouvera, par conséquent,
N-Trfe-H[xr»f/e=ro, /N — d/T = o,
équations qui diffèrent de celles que nous avons employées,
5ao
