Frein à lame flexible, — Un arbre tourne autour de

Taxe projeté en G {fig- 282 ), dans le sens de la (lèche, et Ton

veut avoir un moyen pour modérer

son mouvement en cas de besoin.

A cet effet, l'arbre porte une poulie

sur laquelle s'enroule une lame

métallique flexible, embrassant un

2 3 arc égal à environ ^ ou 7 de la

circonférence. La lame se détache de la poulie en ligne droite de deux côtés, aux points A et B, et ses extrémités vont s'attacher. Tune sur l'articulation ^\\e O d'un levier DE, l'autre à l'extrémité 1) de ce levier. En exerrant un effort P à l'autre point extrême E, on serre la lame contre la poulie et l'on fait naître un frottement assez considérable qui tend à ralentir le corps tournant.

Nommons

T, t les tensions des brins OB, DA; 1 le rapport de l'arc BM A au rayon CA :

/le coefficient de frollemeiit de la lame sur la poulie;

a ei b les distances du point fixe 0 à la force P et à la ligne I)A ;

/• le rayon CA.

Par rapport à la poulie, la lame glisse de A vers B, en sens

contraire de la flèche; T est donc la puissance, r la résistance,

et Ton a (no 185)

T - tef^ ;

cette équation resterait encore vraie dans le mouvement varié du treuil, caria lame est immobile, et Téquation ci-dessus résulte de ses conditions d'équilibre. D'un autre côté, Téquilibre du levier, corps assujetti à tourner autour d'un axe fixe 0, exige la condition (n"13o)

Pazrztb.

On tire de ces deux équations les valeurs de T et /, savoir

et Ton en conclut que le treuil est soumis à une force résistante T et à une force mouvante t, qui produisent un moment résistant égal à (T — t)r^ soit h

L'arbre étant en outre soumis h des forces données, on apprendra dans le cours de seconde année comment on pourrait déterminer son mouvement, et notamment comment on trouverait l'angle total décrit par lui^avant de s'arrêter.

Le frein pourrait encore fonctionner à la rigueur, mais dans des conditions beaucoup moins bonnes, si le sens du mouvement de rotation de l'arbre était supposé contraire à celui de la flèche. Le glissement du frein sur la poulie se produisant alors de B vers A, la relation entre / et T deviendrait

l — Tef'';

on aurait d'ailleurs toujours

V a -- Ib,

TROISIËMB PARTIE. — CHAPITRE TROISlfcHE.

et ces deux équations donneraient

Par suite, le moment total de la force résistante exercée sur la poulie serait réduit à

Par

c'est-à-dire à la valeur précédente réduite dans le rapport de ^-^* à I. On voit par là que, si le sens du mouvement de Tarbre est donné, il faut disposer le levier DE de manière à faire passer par le point 0 celle des deux forces T et ^ qui agit en sens contraire de ce mouvement.

187. Encliquetage Dobo, — On a vu au n^ 78 la description de cet appareil, et il s'agit maintenant d'expliquer théoriquement la manière dont il fonctionne. On se rappelle qu'il est composé d'un anneau creux A A {Jlg* ^33) en communica-

Fig. 233.

tion avec un arbre intérieur B par l'intermédiaire de quatre cames analogues à C; ces cames sont articulées avec l'arbre B en des points tels que E, et pressées légèrement contre l'anneau par des ressorts r encastrés dans l'arbre. Supposons maintenant que l'arbre soit rendu immobile, et qu'on essaye de faire tourner l'anneau dans le sens de la flèche en lui appliquant une puissance de grandeur convenable; pour savoir si ce mouvement est possible, admettons qu'on ail réussi à le produire et que l'anneau glisse sur .les cames.

La came C supporte alors en D une réaction R, composée d'une pression normale N et d'un frottement /N, et il est facile de donner à la came une figure telle que le centre d'articulation E soit dans l'angle formé par les forces N et R. Si l'anneau pouvait glisser, il ferait alors nécessairement tourner la came autour de E, dans le sens où il tourne lui-même, car la résultante R et la pression du ressort tendent toutes deux à entraîner la came dans le sens dont il s'agit; mais cette rotation sera impossible (et, par suite, il en sera de même du glissement supposé), car il en résulterait que le point D de la came devrait pénétrer dans Tanneau. Donc, moyennant la condition qui vient d'être indiquée, l'anneau ne pourra glisser dans le sens de la flèche, si l'arbre est rendu absolument fixe; mais s'il n'est soumis qu'à une résistance limitée, en augmentant de plus en plus la puissance appliquée à l'anneau, on finira par mettre l'ensemble en mouvement, comme s'il s'agissait d'un solide unique pouvant tourner autour de l'axe 0.

Supposons, au contraire, que, continuant à rendre fixe l'arbre B, on essaye de faire tourner l'anneau dans le sens opposé à celui de la flèche, au moyen d'un moment moteur Pp; nous allons démontrer que, dans ce cas, il est impossible de faire grandir indéfiniment Pp sans déterminer le glissement de l'anneau sur la came. Remarquons d'abord, en effet, que celle-ci doit toujours rester en équilibre; car, si d'une part elle ne peut pénétrer dans l'anneau, d'autre part elle ne peut pas davantage cesser de le toucher, parce que le plus petit commencement de séparation supprimerait l'action mutuelle répulsive R et qu'alors le ressort, agissant tout seul, rétablirait le contact. Maintenant si, malgré l'augmentation de Pp, le glissement ne se produisait pas, le moment contraire, produit sur l'anneau par la composante tangentielle de l'action réciproque R, resterait toujours égal à Pp et devrait aussi aller en croissant; cette composante /N, qui tend maintenant, ainsi que N^ à faire tourner la came contrairement à la pression du ressort, finirait par l'emporter sur celle-ci, même sans tenir compte du moment de N par rapport à E. L'équilibre de la came serait donc rompu, ce qui ne peut avoir lieu; donc l'hypothèse de l'absence du glissement est inadmissible,, et le glissement se produira lorsque Pp atteindra

5a4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈME.

une certaine limite Vp', d'autant moindre que les ressorts r auront moins de raideur. Si Ton supprime la fixité de l'arbre B et qu'on le suppose seulement soumis à une résistance limitée, on pourra s'arranger pour que le moment de cette résistance relativement à l'axe O soit supérieur à P'p'; alors le mouvement imprimé à l'anneau en sens contraire de la flèche n'entraînera pas celui de l'arbre B, de sorte que la iransmission du premier corps au second fonctionnera dans un sens et non pas dans lo sens opposé.

La théorie de l'appareil serait la môme si la puissance était appliquée à l'arbre B au lieu de s'exercer sur l'anneau À; seulement on ne pourrait transmettre le mouvement du premier au second que dans le sens contraire à celui de la fiècbe.

188. Transport sur rouleaux, — Un fardeau dont nous désignons le poids par P est soutenu par deux rouleaux en forme de cylindres circulaires droits; ces rouleaux ont un même rayon r et sont posés sur un plan horizontal. On demande la force T qu'on doit appliquer au fardeau, dans une direction perpendiculaire aux axes des rouleaux et horizontale, pour que le fardeau soit sur le point de se déplacer dans le sens de cette force.

Soient 0 et 0' les axes des rouleaux {Jig. 234), <^n projec-

,«» TN ^ •■» X>y^'^

7~' '.^/.Tr77777f777777?777^/fy777777/7777y;

lion sur le plan vertical de T; AB, A'B' les diamètres verticaux de leurs sections droites. Les actions supportées par le premier rouleau de la part du fardeau et du plan horizontal, aux environs des points A et B, ne passent pas rigoureusement par CCS points, à cause de la résistance au roulement (n" 169); mais on peut néanmoins les y transporter parallèlement à

elles-mêmes, à la condition de joindre à chacune d'elles un couple de sens opposé à la rotation du rouleau, couple qui représente la résistance dont il s'agit. Nous décomposerons l'action au point A en une pression normale N et une force tangentielle F; de même l'action en B se remplacera par ses composantes normale et tangentielle N,, Fi; alors les deux couples introduits par le transport des réactions en A et B auront pour moments Nô et N|ôi, ô et o, désignant les distances caractéristiques de la résistance au roulement du rouleau sur le corps supérieur et sur le plan horizontal d'appui. Pour le second rouleau, on pourrait imaginer une décomposition analogue des réactions qu'il supporte en A' et B'; nous les représenterons par les mômes lettres avec un accent.

D'un autre côté, le fardeau supporte de la part des rouleaux, en A et A', des réactions égales et contraires à celles que nous venons d'indiquer (n<» 95).

Cela posé, l'équilibre du premier rouleau exige qu'on ait, en nommant p son poids propre agissant au centre de gravité 0,

2F/- 1-- No + N, 0, ^ N(ô -4- oj ) -h /?3, ;

les deux premières équations expriment que les sommes algébriques des forces projetées sur l'horizontale et la verticale sont nulles; la troisième est l'équation des moments relativement à B. On aurait de même, pour le second rouleau,

2FVz.iN'(5-4-80+/?8i;

puis, en ajoutant la dernière équation avec celle qui lui correspond dans le premier groupe,

2r(F H- F') = (N -+- NO (8 + §0 4- 2/p8,.

D'un autre côté, on doit avoir comme conditions nécessaires de l'équilibre du fardeau

F4-F=:T, N + N-irP;

donc

ce qui détermine la force de traction T. Celle force aura généralement une inlensilé beaucoup moindre que celle qui pourrait produire le glissement du fardeau sur le plan liorizontal, pourvu que les corps soient suffisamment durs et polis, circonstances qui rendront les distances o et Oj très petites en comparaison du diamètre ar.

Le calcul de la force T capable, non plus de faire sortir le système du repos, mais d'entretenir à Tétat d'uniformité le mouvement une fois acquis, serait tout à fait pareil au précédent. Puisque le mouvement du fardeau est supposé rectiligne et uniforme, l'accélération de chacun de ses points est nulle; d'un autre côté, l'accélération d'un point quelconque appartenant à l'un des rouleaux est la même, dans ce cas, que s'il tournait autour de son axe de figure rendu fixe (n* 30, troisième application), Ov on 2i vu, à l'occasion du plan incliné et du treuil (n^* 171 et 179), que cela suffît pour qu'on soii en droit d'appliquer à chacun des trois corps les conditions d'équilibre entre les forces extérieures, absolument commo si le système était en repos.

Quant au travail à dépenser pour un déplacement x du fardeau, il serait

T^ ou ;^[P(S-f-80-h2/>S,];

il représente exactement, comme il est aisé de le vérifier, le travail des couples produits par la résistance au roulement.

189. Poulie, — La poulie peut présenter diverses dispositions : tantôt la chape est fixe, tantôt elle est mobile; quelquefois la poulie est munie de tourillons faisant corps avec elle, qui s'engagent dans des œillets pratiqués dans la chape, ou inversement la poulie est percée d'un œil concentrique à son axe, et cet œil est traversé par une espèce d'essieu qui fait corps avec la chape. Toutes ces variantes n'introduisent pas de modifications bien notables dans la théorie que nous avons à faire ici; nous supposerons, pour fixer les idées, la chape fixe et munie d'un essieu rond qui traverse un œil pratiqué dans la poulie, comme l'indique la fig. 235. La poulie est soumise à une puissance F et à une résistance Q, et l'on

suppose le mouvemenl sur le poinl de naître dans le sens de la première. L'équilibre existe alors entre P, Q et la réaction R fournie par le point d'appui A; puisque le glissement est sur le point de se produire, cette force R fait avec la normale ON un angle <p égal à celui p. ^^^

(lu frottement, et se décompose par conséquent en une force normale N et une force tangenlielle /N riz N tangcp = R sin cp --/, R. D'ailleurs la puissance P agit tangenliellement à la circonférence de la poulie; mais, en raison de la rai- <leur des cordes (n'* 170), la ligne d'action de la résistance Q est un peu extérieure à la circonférence, ot si on la transporte parallèlement à elle-même, pour la rendre tangente, il faut lui adjoindre en même temps un couple opposé à la rotation de la poulie, ayant un moment ex-

primé par- (A-hBQ), A et B étant des constantes connues

pour chaque espèce de corde.

Il est facile maintenant d'établir la relation entre P et Q. D'abord ces deux forces font équilibre à R, qui, par conséquent, est égale et contraire à leur résultante; on a donc

R = V^P»-hQ*-h2PQcos(F,Q);

ensuite, si l'on prend les moments, relativement à l'axe de la poulie, des forces N, /,R, P, Q qui lui sont appliquées, en désignant par r et p les rayons de la poulie et de l'œil, on devra poser la condition d'équilibre

(i) Prir:Qr4--(A-T-BQ)-t-/,p/P*4M^>*4-î>PQcos(P,Q),

qui permettra de trouver P lorsque Q sera donnée. L'équation du second degré à laquelle on arrivera, en élevant au carré la précédente après avoir isolé le radical dans un membre, donnera deux valeurs de P, dont une seule répondrait à la question. L'autre répond au signe — attribué au

5a8 TROISIÈME PARTIE. -— CHAPITRE TROISIÈKK.

radical. On les distingue l'une de l'autre par ce fait que la première doit donner

Je w

tandis que Tinégalité changerait de sens avec la seconde.

L'équation (i) se simplifie beaucoup dans le cas où les forces P et Q sont parallèles. Le radical devient alors égal à I* -I- Q et l'équation peut se mettre sous la forme

soit plus simplement

en désignant par a et 6 deux coefficients constants pour une poulie et une corde données, coefficients dont le second b excède toujours l'unilé, comme le montre immédiatement sa définition déduite des deux équations précédentes.

Dans le cas général, on arriverait encore à une équation de môme forme, en remplaçant approximativement le radical par une fonction linéaire de P et de Q, conformément à la méthode de Poncelet (n<» 179).

Si le frottement et la raideur des cordes n'existaient pas, on devrait faire les coefficients A, B, /i tous égaux à zéro; on trouverait alors simplement P — Q, comme il eût été facile de l'établir directement.

Pour étudier l'équilibre de la poulie à chape mobile, la force Q étant remplacée par un point fixe où serait attaché le brin de corde suivant lequel elle agit, on pourrait encore employer les équations

R« -p«H-Q«4-2PQcos(P,Q), P/— Q/ + i(A4-BQ)-H/ipR;

seulement ici R serait donnée et Q deviendrait une inconnue auxiliaire.

Dans le cas où la poulie serait en mouvement uniforme, la masse des cordes étant de plus supposée négligeable, on

PROTTBMBNTy ETC. Slg

pourrait reconnaître, par des considérations analogues à celles que nous avons exposées à propos du treuil (n® 179), que les forces P, Q, R doivent encore satisfaire aux conditions d'équilibre, et que par conséquent elles vériOent les mêmes équations, sauf que la valeur attribuée au coefficient/i devrait être un peu diminuée (n^ 167).

Travail moteur et travail résistant utile. — Supposons d'abord la poulie fixe; si le point d'application de la puissance P parcourt une longueur j?, celui de la résistance Q éprouvera le même déplacement, en raison de l'inextensibilité que nous attribuons à la corde, et les valeurs absolues des deux travaux seront Pa: et Qx. Leurs valeurs ainsi que celle de leur rapport, quand on donne Q et ^, sont faciles à calculer au moyen de la relation ci-dessus établie entre P et Q.

S'il s'agit d'une poulie à chape mobile, nous nous bornerons à considérer le cas où les forces P et Q sont parallèles, ce qui entraîne comme conséquence que la résistance principale R doit avoir aussi la même direction. Alors on a les

équations d'équilibre

P — a-^bQ,

d'où résulte, par Télimination de Q,

P(i -^b) = a-hbR.

D'un autre côté, si le point d'application de la puissance P se déplace de x, comme la diminution x dans la longueur de corde se partage également entre les deux brins, le point d'application de R ou le centre de la poulie ne se déplace

que de -; le travail moteur et le travail résistant utile sont donc respectivement égaux à Px et - R:c, soit à

x(a-\- bR) , I -, — ^^ ï et -l\x;

on peut donc les calculer quand R et x sont donnés. Leur rapport s'exprime par

Krcssr. — Cours de M te. I 34

53o TROISltalE PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈME.

il devient égal à i quand on supprime le frottement et la raideur des cordes, parce que, alors, a devient nul et b égal à i. Dans le cas contraire, il est facile de voir qu'il dépasse l'unité; en effet, l'inégalité b > i entraîne 2 6 > 1 4- 6, et le rapport en

question comprend le quotient t> auquel il faut encore

sgouter quelque chose.

190. Moujlès ou palans. — Nous renvoyons au n* 60 pour la description de cet appareil, qui consiste en une combinaison de poulies. Nous allons considérer le type représenté par \difig. 91, p. 171, en y supposant toutes les poulies égales entre elles, construites dans les mêmes conditions, et au nombre de n; une puissance P tire l'extrémité libre de la corde et une résistance Q agît sur la chape mobile, dans la direction parallèle à P, qui est sensiblement celle de tous les brins de corde allant d'une poulie à une autre, ainsi que du brin extrême attaché au point fixe. Il s'agit d'établir la relation entre P et Q, quand la première force atteint l'intensité nécessaire pour que le mouvement soit sur le point de se produire ou se produise avec une vitesse constante.

Imaginons qu'on parcoure la corde en allant du point d*attache à celui où s'applique la puissance; nommons

ll> Ij» ^3» •••> 1/1-1» 1 M» p

les tensions des divers brins, dans l'ordre ou ils sont successivement parcourus. Puisque toutes les poulies sont égales et de même construction, les deux forces appliquées à chacune d'elles doivent vérifier une équation analogue à l'équation (2) du n* 189, dans laquelle a ei b conserveront des valeurs constantes, en passant d'une poulie à une autre; cela permet d'écrire le groupe d'équations suivant :

Tsi^ia-hôT,, T4 = a-H^^T„

P Tzza-^bJn,

FROTTEMENT, ETC. 53 f

auxquelles il faut joindre, pour Téquilibre de la chape mobile,

Ou a ainsi obtenu un système de /i + 1 équations qui, s*il était résolu, ferait connaître en fonction de Q les n tensions et la puissance P. Pour arriver assez simplement à cette résolution, remarquons que les « — i premières sont toutes de la forme

et qu'on peut y satisfaire en prenant d'une manière générale l'expression

dans laquelle M et N désigneraient deux constantes; on déduit, en eflFet, de là

et, en substituant ces valeurs de Ta- et T;t-,-i dans la relation qu'elles doivent vérifier,

La vérification se fera identiquement si l'on adopte la valeur