Travail moteur et travail résistant utile, — Quand le

point d'application de la puissance parcourt une longueur Xy

celle-ci fait un travail moteur P j?, que la formule (4) permet

d'exprimer en fonction de a? et Q ; simultanément le point

ce d'application de la résistance Q' parcourt une longueur —

(n°90), en sorte que le travail résistant utile est — — Le

/iP P

rapport de ces deux travaux est donc -^ ou ij-> en re-

présentant par P© ce que devient P dans l'hypothèse où le frottement et la raideur des cordes s'annulent. Par exemple, avec

les données numériques ci-dessus, ce rapport serait ^p'

c'est-à-dire

on voit qu'il diminue à mesure que Q augmente, mais sans

descendre au-dessous de la limite i ,65 ou environ -^ •

192. Transmission de mouvement par courroies sans /in, — Supposons deux poulies ou tambours fixés sur les axes 0, 0' {fig, 286) de deux treuils et servant de supports à une courroie sans fin CDMEFN, qui transmet le mouvement du premier treuil au second. La puissance P est appliquée au treuil 0

tangentiellement à une circonférence de rayon 0A = /7; la résistance Q agil sur le treuil 0' tangentiellement à une antre circonférence de rayon 0' B = ^. Pour plus de simplicité» on suppose les forces P et Q perpendiculaires à la ligne 00', et Ton néglige la petite inclinaison des brins CD, £F de la courroie sur cette même ligne. On demande quelle est la relation entre P et Q dans le cas du mouvement uniforme des treuils,

Fig. a36.

OU lorsque l'équilibre existe et qu'il est sur le point d'être rompu.

Nommons

T, t les tensions des brins CD, EF;

a, %' les angles au centre correspondant aux arcs CNF, DME

embrassés par la courroie sur chaque poulie ; r=i ON, r'= O'N les rayons de ces poulies; /, /' les coefficients de frottement de la courroie sur les

mêmes poulies; /i le sinus de l'angle de frottement des tourillons des deux

treuils sur leurs coussinets; p, p' les rayons de ces tourillons.

Si nous considérons séparément l'équilibre de chaque treuil, en tenant compte des forces T, t qu'il reçoit de l'autre, et aussi des réactions produites par les supports, nous aurons les deux équations de moments

P/? .= (T - 0 ^ -H/, p\/P^^RT-h7?,

ce qui fait, quand la résistance Q est donnée, deux équations

seulement entre Tinconnue principale P et les deux inconnues auxiliaires T, t.

Afln d'en établir encore une, nous supposerons connue la tension initiale To, qu'on a dû préalablement donner à la courroie dans toute sa longueur, lorsqu'on Ta mise en place et avant de s'en servir pour communiquer le mouvement au treuil 0'. Lorsque, ensuite, le mouvement est arrivé à son état régulier et permanent, la tension T du brin conducteur devient nécessairement plus grande que la tension t du brin conduit, car le treuil 0', soumis à une résistance Q et à des frottements sur ses tourillons, ne peut se mouvoir dans le sens de la flèche que si l'on a (T — 0^>o ou T>t. Mais on peut prouver que la somme T-{-t s'écarle peu de sa valeur primitive 2T0. Considérons, en effet, un élément de la courroie, ayant une longueur primitive ds^ sous la tension To et une longueur finale âf^i sous la tension Ti ; nous admettrons, comme démontrée par l'expérience, la relation

ci Sx — cIsq

= const.= C,

qui exprime l'invariabilité du rapport entre l'allongement

ds — ~ ds

proportionnel — ~ et la variation Ti — Tq de la tension.

ds Comme, d'ailleurs, le rapport -y-î s'écarte toujours très peu

de I dans la réalité physique, on peut poser aussi, sans erreur

sensible,

(T, — T^)ds, = C{ds, - ds^).

Or la longueur totale de la courroie n'a pas changé : c'est toujours NCDMEFN ; donc / {ds^ — dso) = o, et, par suite, l'équation précédente donne

f{T,-To)ds,^o,

l'intégrale étant prise dans l'étendue complète du circuit. Ce circuit comprend :

i« Une longueur CD = L, où la tension T, a la valeur con-

536 TROISltlE PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈME.

siante T, et une seconde longueur EF = L» où T| conserve aussi une valeur constante / ;

a^ Deux longueurs comparativement petites CNF = /, DME = /', où la tension varie entre les limites T et / et où Ton peut, par approximation, lui attribuer la valeur moyenne

D'après cela, nous aurons

= L(T-To) + L(/-To) + (/+/')(^^-To)

équation d'où résulte immédiatement

(3) T-f-^ — 2To = o.

Il est maintenant facile d'éliminer T et t entre les équations

(i), (a) et (3), ce qui conduità

(4) PK^Q7'-^/i('->v/p^+^-h/'pVQ*+4T5).

Ce serait la relation entre la puissance P et la résistance Q, d'où Ton pourrait, au besoin, tirer la première en fonction de la seconde, simplement par la résolution d'une équation du second degré. Mais il est encore plus simple de concevoir la valeur de P développée suivant les puissances de /i, et d'admettre que, vu la petitesse des produits /tp, /ip', on puisse négliger dans le développement les termes du deuxième ordre et des ordres supérieurs, ce qui serait d'une exactitude suffisante dans les circonstances ordinaires de la pratique. On peut alors mettre dans l'expression v/P*-*-4Tî, qui se trouve

déjà multipliée par/i, la valeur approximative P = — ^ qui

répond à/i =o, et l'on trouve

(5) Py>,'^Q^,.+/,(^r>y/^^^ -^4T; + /^VO^^^Tj).

FROTTEMJgfTy ETC. 537

Les équations (2) et (3) donnent aussi les valeurs des ten-

sions

i = To--^,(Q9-H\/Q« + 4Tl),

2r ou bien, si l'on pose To = Q^,