V -^ dv celles de la vitesse; s Qi s -^ds les X

dislances OM et OM' du point à une origine /^

fixe 0 prise sur la courbe. On appelle accé- /m

lération du mobile, dans la position M ou à ^^

répoque ^, celle du mouvement uniforme- /^ ment varié dans lequel la vitesse varierait toujours de la môme quantité dv pour un môme accroissement û^^ du temps. Celle accélération est donc exprimée (n» 6)

par le quotient ^; elle est par conséquent égale à la dérivée

ds de la vitesse par rapport au temps, ou bien, puisque <'=-;;>

ac

CINÉaiATIQUE PURE. l3

vitesse (^o; on demande la hauteur h à laquelle il s'élèvera malgré Taction de la pesanteur, et le temps T de Tascension. Commençons à compter le temps à partir de Tinstant où la vitesse est Tq et les longueurs décrites à partir de la position correspondante. Nous avons vu (n" 6) qu'on a

donc

ds

et, puisque s est nul pour ^ =z o,

I , s -. Vqù gr.

La vitesse s'annule et s devient maximum après le temps donné par l'équation ro— ^^ = o; donc

rp M) f ♦o __ * 0 *^n

La hauteur — ^ se nomme hauteur due à la vitesse Vq, non

ig

seulement dans la question actuelle, mais toutes les fois que cette expression se rencontre, le dénominateur g représentant toujours, bien entendu, Taccéiération dans le mouvement vertical des corps pesants.

2* Mesure de la profondeur d'un puits par la chute d*un corps pesant. — On suppose un corps pesant abandonné sans vitesse initiale à l'orifice d'un puits; on mesure le temps T qui s'écoule entre l'instant du départ et celui où Ton entend' le bruit produit par l'arrivée du corps au fond du puits : on demande de déterminer la profondeur de celui-ci.

Soient V la vitesse du son dans Tair et h la profondeur demandée. Le temps T se compose de deux parties, savoir : le temps ï' de la chute, et le temps T" (jue le son a mis pour arriver du fond du puits à son orifice. On a (n* 6), puisque la vitesse initiale du corps est nulle,

h='-gV^, d'où T':=y/'^; on a ensuite, la vitesse de propagation du son étant supposée

l4 PREXIÈBE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

constante,

AnzVr, d'où T=^

Donc

ce qui permet de déterminer h par une équalion du second degré. Le radical étant susceptible d'un double signe, Télévation au carré qui le fait disparaître introduit en même temps une racine étrangère. Pour distinguer celle qui donne la solution du problème, mettons Téquation précédente sous la

forme

h-zzVl ï

nous voyons alors que la racine cherchée est plus petite que VT, tandis que la racine étrangère serait plus grande.

9. Problèmes divers sur la détermination des quatre quarttitésSy Vyjy t les unes au moyen des autres, — On suppose que, indépendamment des relations connues,

ds . dv ^"^'di' ''~di'

on en donne une autre distincte entre deux des quatre quantités dont il s'agit; alors trois d'entre elles peuvent être considérées comme fonctions de la quatrième et,. si celle-ci est donnée, on peut en déduire les autres. En d'autres termes, on peut obtenir entre 5, Vyj\ t trois relations sous forme finie; le problème se réduit toujours, comme on va le voir, à des différentiations ou à de simples quadratures, quand la relation donnée est censée pouvoir être résolue par rapport à Tune de ses deux variables, qu'on choisit, dans chaque cas, de la manière la plus avantageuse.

Les combinaisons des quatre quantités deux à deux sont au nombre de six et donnent lieu à autant de problèmes différents.

i<» On donne sr=z/{t). lien résulte immédiatement

CINÉMATIQUE PURE. l5

2« On donne r=/(^). Alors on a d'où l'on lire, en intégrant et nommant s^ la valeur de s pour

t =zOf

On a enfin

3* Soit donnée l'équation j =/{t). On en tire, par deux intégrations consécutives, en nommant i'o et ^o les valeurs de v et de s pour ^ = o,

i'— To-*-/ f{t)dty 5 — .9o-l- ('o^-H / dt l /{t)dt.

4^* On donne r = «&(.?). Celte relation peut s'écrire

ds ^ ^ . ds

-- = 0(5) OU dl —

dt '^ ' ' <p(.9)'

par suite.

D'autre part, la différentiation de la relation vz=^:^{s) conduit à

dv . ds

5« Si l'on suppose donnée l'équationy 1= o(s), on la mettra

sous la forme (n^T)

vdi*