HT
d'où Ton tire, par une intégration,
1 (r-— rj)— I o{s)ds.
l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.
De celle dernière, on déduil c = F(5), Félanl une fonction connue; par suite, on posera, comme dans le cas précédent,
6»» Supposons enfin qu'on donne y = ?>(('), on écrira
dv
lit
d'où résulte
La vilesse esl ainsi connue pour chaque valeur de t, et l'on aura les espaces en calculant l'expression
i la relation trouvée entre f et (^ ne pouvait pas être résolue
, dv
par rapport a r, on pourrait remplacer dt par et poser
r"" i>dr
10. Jiemarfjuc sur la manière dont varient les valeurs numériques des vitesses et des accélérations, quand on modifie les unités de longueur et de temps, — Supposons que Tunité (\c longueur soit multipliée par un coefficient quelconque m et l'unité de temps par un autre coefficient k ; une longueur d'abord exprimée parle nombres prendra une valeur numérique
s' ^=1 —, et de même le nombre t, qui représentait le temps, deviendra t' -- 7/ Il résulte de là qu'on a
et, par suite,
, , ds , , dt ds' -^ —, dt'^ -y > m k
dfi' k ds
dp '" m dt'
CIXÉMATIQLE PURE. I7
la vilesse qu'un point mobile possède à une époque arbitraire
ds^ cls a donc deux valeurs numériques -^-j -^> et celle qui se rapporte aux nouvelles unilés est égale à Tancienne multipliée
par le quotient — • De l'équation précédente nous déduirons
encore
, ds' k , ds
dt' ni dt
d' et, en divisant membre à membre parcf^'iii: -— ,
clt'^ ~ m dt^ '
A* Le changement d'unités a donc pour effet démultiplier par ~
la valeur numérique des accélérations.
Exemple, — La vitesse et l'accélération d'un train de chemin de fer s'expriment par des nombres v ety quand on prend le mètre et la seconde pour unités de longueur et de temps; quelles seront leurs valeurs numériques v' Qif si la lieue de 4*""" et l'heure sont prises pour unités?
Ici l'on a
ni = 4ooo, k = 36oo ;
on en conclut immédiatement
11 . Digression sur les résultantes géométriques, — En vue de certains énoncés à donner ultérieurement, nous allons exposer, à titre de digression, quelques propriétés qui peuvent être regardées comme appartenant à la Géométrie pure.
Soient données dans l'espace un certain nombre de droites D, 1)', D^', D"^, ..., Da- définies en grandeur, direction et sens; on mène, par une origine arbitraire 0 {fig* 5), une droite ÔA égale et parallèle à Detde môme sens; à partir de A, on mène
pareillement une droite AB ayant la direction, la longueur et le sens de D'; puis BC ayant les mêmes éléments communs avec D", et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à la dernière
Baisse. — Cours de Méc, 2
l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.
droite Dx, qui sera reproduite en direction, longueur et sens par PR. Les sens sont marqués par des flèches sur la flgure.
On nomme résultante des droites D, D',D^, . . ., D^-la droite OR qui joint l'origine à rextrémîté du polygone ainsi construit, cette droite étant prise dans le sens de 0 vers R. Les droiles D, D^ . . . s.ont appelées composantes.
La résultante est égale et contraire à la droite qui fermerait le polygone 0ABC...PR; cette droite fermant le polygone est
RO, allant de R vers 0, pendant que la résultante va de O vers R.
On peut intervertir l'ordre de deux droites consécutives
sans changer le point final R et la résultante OR. Si, par exemple, on met D" avant D', ce changement aura pour seule conséquence de comprendre dans le polygone les deux côtés
AB' et B'G au lieu des côtés BG et AB, respectivement égaux et parallèles. Il résulte immédiatement de là qu'on peut faire arriver successivement une quelconque des droites D, D', . . . à tel rang qu'on veut, et produire par conséquent toutes les
permutations possibles sans changer la résultante OR.
La projection orthogonale ou oblique (*) de la résultante Sur un plan quelconque est la résultante des droites composantes, projetées de la môme manière sur ce plan. C'est ce qu'on voit tout de suite en projetant le polygone de composition sur le plan.
La projection, orthogonale ou faite parallèlement à un plan directeur, delà résultante sur un axe quelconque, est égale à la somme algébrique des projections des composantes. Cette propriété ne peut appartenir qu'à la résultante, car deux
(') Les projections orthogonales sur un plan ou sur un axe sont d'un emploi beaucoup plus fréquent que les. autres. Pour simplifier le langage, nous supprimerons ordinairement l'adjectif quand il s'agira d'une projection à angle droit; mais nous avertirons le lecteur par une mention spéciale quand la projection pourra se faire obliquement.
CINÉMATIQUE PURE. I9
droites ne peuvent avoir constamment leurs projections égales sans être identiques en grandeur, direction et sens.
II suffit même, pour qu'on soit en droit d'affirmer cette identité, que l'égalité des projections ait lieu sur trois axes non parallèles à un môme plan, pourvu que les plans directeurs des projections ne soient pas parallèles entre eux, ni à une même droite. Soient, en efTçt, OX, OY, OZ (Jig.O) des droites <^;gales et parallèles aux trois projections d'une première droite, que je suppose issue du point 0.
J'aurai sa seconde extrémité en menant par les points X, Y, Z trois plans qui devront la contenir, savoir : par le point X un plan parallèle au plan directeur des projections sur Taxe OX, et de même pour X et Z. Ces trois plansse couperont nécessairement en
un point unique, d'après' la condition admise relativement à leurs directions. Si maintenant je transporte la seconde droite parallèlement à elle-même en 0, elle aura aussi les projections OX, OY, OZ, et la construction de la seconde extrémité redonnera le même point que pour la première.
Lorsque les droites à composer sont au nombre de trois et ne sont pas parallèles à un même plan, on peut d'abord effectuer la composition en construisant
Kl 2. "7
le polygone ABCG {fig* 7) au moyen des droites portées bout à bout, \
comme l'indique la définition générale des résultantes. On obtient ainsi la résultante AG. On arrive également au but par un autre moyen.
On porte les trois composantes à partir du même point A, ce qui donne AB, AD, AE; puis on amène trois plans par ces droites prises deux à /^ ^
deux et trois plans parallèles par les ^ extrémités B, D, E, ce qui donne lieu au parallélépipède ABCDEFGH, dont la diagonale AG est la résultante cherchée. On énonce le fait ainsi établi en disant : La diagonale d'un pa-
rallélépipède, construit sur trois droites, est la résultante de
ces droites.
On peut remarquer que AB, Al), AE sont respeclivemenl les projections de ÂG sur trois axes coordonnés Ax, A v, \^, la projection sur chaque axe étant faite parallèlement au plan (les deux autres. Donc, moyennant cette condition, une droite est la résultante de ses trois projections sur trois axes coordonnés.
Supposons les axes rectangulaires, et nommons :
X, Y, Z la longueur des composantes, prises avec le signe -h ou le signe —, suivant qu elles ont le sens des coordonnées positives ou le sens contraire ;
R la longueur de la résultante prise en valeur absolue;
a, p, Y les angles d'une ligne ayant le sens et la direction de la résultante, avec les parties positives des axes coordonnés.
On a entre ces quantités les relations, bien faciles à élablir,
Xi::=RCOSa, Y~UC0S3, ZrrLllcOSY,
Le radical doit se prendre en valeur absolue; X, Y et Z ont respectivement les signes de cosa, cosp, cosf. Si les droites à composer ne sont qu'au nombre de deux, la
résultante R et les deux composantes X, Y forment un triangle, ou bien en- ^' core la résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux composantes OA==X, OC = Y (yZ^r. 8), portées avec leurs directions et leurs i) \ \ sens à partir d'un même point de dé-
part 0. Quel que soit l'angle COA = 0 des deux composantes, on a toujours, en vertu de théorèmes connus de Trigonomélric,
sin(R,Y) "" sin(U, \) "" sin(X, V)'
R2 — X* + Y' -1- 2 XY cos e.
Daps le cas d'axes rectangulaires, il faut faire 0 ~ 90% d'où
Kig. 8.
CINÉMATIQUE PURE. 21
résullc
X^Rcos(R,X), Y-^Rcos(R,Y),
Rirrv/V-h Y^
De même qu'avec trois axes, R se prend en valeur absolue, X et Y ayant un signe pareil à celui des cosinus qui entrent dans leurs valeurs.
La résultante d'un certain nombre de lignes porte aussi le nom de somme géométrique. Ce nom se justifie par plusieurs analogies qui existent entre l'addition algébrique et Topération consistant à porter des lignes bout à bout, en conservant leur direction et leur sens. D'abord il n'ya aucune différence entre les deux opérations, si toutes les lignes ont une direction commune. Secondement, on peut composer les lignes par groupes qui en comprennent un certain nombre et chercher la résultante des résultantes partielles; cela ne change évidemment rien à la projection totale des lignes sur un axe quelconque, et par conséquent ne modifie pas la résultante, de même qu'on ne change pas une somme algébrique en groupant les termes de diverses manières. L'opération inverse, consistant à décomposer certaines composantes en plusieurs autres lignes, donnerait lieu à une observation toute semblable. Troisièmement, si l'on ajoute à une somme géométrique un ou plusieurs de ses termes pris en sens contraire, ces termes ajoutés se détruisent avec ceux qui existaient déjà, et les uns et les autres disparaissent de la somme ; c'est ce qui a lieu aussi dans la somme algébrique. En quatrième lieu, on ne trouble pas l'égalité de deux sommes géométriques en ajoutant géométriquement une même droite à chacune d'elles. Enfin supposons que deux groupes
1), D', D", ... et d, d', d\ . . .
aient des résultantes égales, et traduisons ce fait par l'égalité
dans laquelle le trait placé sur chaque lettre est destiné à rappeler qu'il s'agit d'une composition ou d'une sommation géométrique. Si l'on ajoute géométriquement aux deux membres
la droite — - D, égale à D et de sens contraire, Tégalilé devieiil, en vertu des deux remarques précédentes,
ÎF-hD'' -h . . . --z: 5 -+- cT-h c^" -h . . .- î);
on voit donc qu'on peut faire passer un terme d'un membre dans un autre n changeant son signe.
Revenons maintenant au mouvement d'un point, mais sans supposer sa trajectoire connue a priori.
12. Relation entre la vitesse d'un point mobile et les dérivées de ses coordonnées par rapport au temps, — Que la trajectoire d'un point soit donnée ou non, la vitesse reste définie de la même manière ; lorsque le point passe de la position M à la position M' infiniment voisine {Jig. 9), en décrivant un élé-
/ / fi^yr' ■ /
jL^L
ment ds =z MM' pendant un temps dt, on dit par définition que
ds la vitesse v a pour grandeur -3 > pour direction celle de la tangente en M à la trajectoire, et pour sens celui de M vers M'. Prenons trois axes coordonnés quelconques 0 j?, 0/, 0:;, auquel nous rapporterons les positions du mobile, il faudra, pour que le mouvement soit déterminé, que les coordonnées ^,7, z de M soient déterminées en fonction du temps. Cela posé, remarquons que la droite MM' est la résultante de ses trois projections dx, dy, dz sur les axes, la projection sur
CINÉMATIQUE PURE. 23
chacun d'eux étant faite parallèlement au plan des deux autres ; il en est de même, à la limite, pour Tare ds^ qui se confond avec MM' en longueur, direction et sens. L'élément ds est donc la diagonale du parallélépipède construit sur les composantes dr, dy, dz. Maintenant, si Ton construit un autre parallélépipède semblable au précédent, en adoptant M pour centre d'homologie et amplifîant toutes les dimensions linéaires dans le
rapport -^> le sommet opposé à M se placera en V sur MM'
ds prolongé à la distance -j^ et les composantes de cette droite,
égale à la vitesse en grandeur, direction et sens, seront
dx
.^dy
dz
On peut avoir ces trois dérivées lorsque Xy j, z sont définies en fonction du temps; la vitesse s'obtient donc alors par la composition de trois droites connues.
Si les axes étaient rectangulaires, on aurait pour grandeur de la vitesse v (n®ll)
dt)
Fig.
et pour ses cosinus directeurs
ï dx ï dy i dz v^ de V dt V dt
On pourrait adopter un autre genre de coordonnées, par exemple les coordonnées sphériques.
On a un axe fixe 0^, issu du point 0 (fi^, lo); la posilion du point mobile M sera définie si Ton donne à chaque instant la longueur OM rz: r, l'angle cp du plan :;0M avec un plan fixe sOA, et enfin l'angle 6 que fait OM avec sa projection OP sur le plan ^
OAP perpendiculaire à O-s. Pour / passer du point M au point infiniment voisin M', on peut donner successivement aux trois
variables /•, 6, ç leurs accroissements dr.d^^ci^; Tare élémenlaire ds =z MM' est alors la résullanle de trois longueurs rectangulaires entre elles, savoir :
1® dr suivant le prolongement de OM;
2<» rd^ suivant la perpendiculaire à cette droite, dans le plan MOZ et dans le sens des accroissements de 6;
3^ rcosô^cp suivant une perpendiculaire aux deux premières, dans le sens des accroissements de <p.
Par suite, la vitesse a pour valeur, en vertu de raisonnements tout à fait analogues aux précédents,
et ses composantes, suivant les trois directions qu'on vient de
définir, seront
df* d^ ^ do
'j-> ^zn^ /cosO-T-:
dl dt de '
on pourrait en déduire la direction et le sens de r.
Supposons encore que les positions d'un point M mobile dans un plan soient définies par les coordonnées polaires,
Pig, ,,^ savoir le rayon vecteur OM = r
I {fg* II) et l'angle 6 qu'il fait avec
^^- l'axe polaire OP. L'arc élémen-
^^^^^Jk ^ taire MM' = ds de trajectoire sera
\ v^ / considéré comme la résultante
\<<--A? des deux lonffueurs MK r= rd^ et
KM'=:ûfr, la première perpendiculaire au rayon vecteur OM, la seconde comptée suivaiit ce rayon, dans les sens respectifs des accroissements de 0 et de /•. Par suite, la vitesse v a deux composantes
r/0 dr dt dt
dans ces mêmes directions et sens, et sa valeur est
/ o/^A)\- (dr
CINÉHATIQUE PURE. 25
La première composante '';7- a reçu le nom de vitesse de cir-
culation^ et la seconde -y^ celui de vitesse de glissement. Le
or tangRMM'— — ^> d*oîi
dr
dt
d^ rapport -T-> accroissement de l'angle ô rapporté à Tunité de
aîreOMM' temps, se nomme vitesse angulaire. Enfin le rapport .' ?
accroissement, rapporté à Tunité de temps, de Taire engendrée par le rayon vecteur, se nomme vitesse aréolaire; son
expression analytique est -^^ -jr
La sous-normale ON estégaleà rtangOMNouà/tangKMM';
dr^
rd^
dr
iTZ- dr dt
dt
La sous-normale en coordonnées polaires est donc égale au rapport de la vitesse de glissement à la vitesse angulaire.
13. Projection du mouvement d'un point sur un axe ou sur un plan. — Si Ton imagine que le point M {fig. 9) soit à chaque inslant projeté sur un axe des jr, parallèlement au plan des yz, le point de projection se déplacera en même temps que le point de Tespacc, et la distance du premier à Torigine 0 sera toujours égale à la coordonnée x, La vitesse
du point de projection sur sa trajectoire aura donc pour
dx valeur --z- (n* h). Or on a vu (n° 12) que la vitesse v est la
diagonale MV du parallélépipède construit sur trois droites
__- doc ^—— //v ■ //-
MA ^= -T-j MB = -^j y MC =: —9 respectivement parallèles
aux trois axes coordonnés; donc MA, vitesse du point de projection, est la projection faite sur Taxe des :r, parallèlement au même plan directeur r^, de la vitesse v de l'espace. 11 est évident d'ailleurs que l'axe des x et le plan des yz n'ont rien de particulier, mais sont tout ce qu'on veut, à la seule condition de ne pas être parallèles.
La projection m du point M sur le plan des xy, faile parallèlement à Taxe des 3, a constamment pour coordonnées ^, j'; la vitesse de m est donc la diagonale du parallélogramme
construit sur -t- et -^-y puisqu'ici ~ s'annule. D'autre pari,
celte diagonale, égale et parallèle à MD, n'est autre chose
que la projection de MV sur le plan des xy. Donc, si Ton projette le mouvement d'un point sur un plan, parallèlement à une droite quelconque, la vitesse du point de projection est la projection de la vitesse du point de l'espace.
14. Applications diverses. — Nous allons indiquer diverses applications des théorèmes énoncés aux n°* 12 et 13.
(a). Projection d'un mouvement circulaire uniforme sur un axe, — Soit un point M {fig, 11) qui décrit uniformément
le cercle OM ayant pour centre O et pour rayon OM=:r; cherchons l'équation du mouvement projeté orthogonalement sur 0^. On aura
Om TZ1X-— r cosMOMo = /cosô;
or l'angle 6 varie uniformément, d'après les données, et si l'on nomme a> son accroissement dans l'unité de temps, on pourra prendre 6 = a)^, en
convenant de placer l'origine du temps à l'époque où le point
M était en Mo sur Ox» Donc
X zz=. /"COSwr,
c'est l'équation demandée.
On trouve ensuite par la difîércntiation
dx
—j- --^ — 0) r sin w / -- — (0 . M wi ,
dx
ce qui montre que la vitesse -j- du point de projection m est
proportionnelle à l'ordonnée Mm du point M décrivant le cercle. Il est d'ailleurs facile de vérifier qu'elle est bien la
GINÉHATIQUB PURE. 27
projeclion orthogonale de la vitesse i^ de M sur 0^. L'arc
ds
yi(iM=^s a pour valeur rO ou rw^; donc t^= -j- = iùr. Cette vitesse, dirigée suivant la tangente au cercle, fait avec Taxe Ox un angle — i- 0 ou - h- w^; sa projection sur Ox est par
conséquent — cDrsinwf, égale à -^> conformément à un
théorème du n® 13.
Si Ton avait projeté sur une perpendiculaire 0/ à 0^, on aurait trouvé de môme
cfy
sur un troisième axe perpendiculaire au plan du cercle, on aurait des projections nulles. Donc (n^ 12)
ce qui a lieu effectivement, comme on vient de le voir.
Le mouvement représenté par Téqualion (i) est un mouvement périodique et oscillatoire; la distance x varie de -h r à — r. Le temps nécessaire pour passer d'une de ces limites à l'autre est celui que le rayon OM met à tourner de l'angle tt,
c'est-à-dire -•
(b). Quelques propriétés des vitesses d'une planète, dans son mouvement autour du Soleil. — Soient (/ig> i3)
S et M les centres du Soleil et de ^. ,
Fig. i3.
la planète; r le rayon vecteur SM joignant
le premier centre, supposé /A/ \
fixe, au second; ô l'angle décrit par SM à partir
d'une variable Sx; MM' — ds le déplacement infini- inenl petit de M dans un temps dl; $P=p la perpendiculaire abaissée de S sur la tangente en M
à la trajectoire de ce point.
Kepler, célèbre astronome allemand (*), a conslalé par l'observation que les aires engendrées par le rayon vecteur croissent proportionnellement au temps. La vitesse aréolaire (n° 12) est donc constante; en la désignant par C, on aura
-~r'-r — C, d ou — — -^ .
'À dt dt t"
Donc la vitesse angulaire du rayon vecteur est en raison ini'erse du carré de sa longueur.
La vitesse de circulation s'exprime par r-^, soit dans le
cas actuel par -^; donc la vitesse de circulation est en raison
inverse du rayon.
L'aire du triangle SM>f s'exprime à la fois par - r-d^i et par
- pds; comme -r'd^ est égal à ddt, il en résulte qu'on a
pds -- iCdt, d'où -^ — -^ • ^ dt p
Ainsi la vitesse avec laquelle la planète parcourt un élément de sa trajectoire est en raison inverse de la distance entre le Soleil et la tam^^ente à cet élément.
(c). Méthode de Roberval pour mener des tangentes aux courbes. — Roberval, savant français, a proposé vers la fin du XVII'' siècle, pour résoudre le problème des tangentes, une méthode générale qui consiste essentiellement à considérer la courbe comme engendrée par le mouvement d'un point, dont on détermine la vitesse, au moins en direction. Comme cette direction et celle de la tangente sont identiques, chercher Tune ou l'autre c'est au fond la même chose, et il semble au premier abord que l'introduction de ce point mobile ne fait pas avancer beaucoup la solution du problème. Cependant il arrive souvent qu'on trouve un secours bien réel dans l'emploi du vocabulaire spécial et des théorèmes de la Cinématique; c'est ce qu'on va voir par qnclrnies exemples.
C) Né en 1071, mort en iCJo.
GINÉHATIQIE PURE. 29
1® Ellipse {ou hyperbole) cléjî nie par la propriété des rayons vecteurs menés des deux foyers à un point de la courbe, — Soient F et F' les deux foyers d'une ellipse {Ji^. i4); on sait que la courbe est le lieu des points M, tels que la somme des deux distances FM et F' M ait une valeur constante ia. Si
nous considérons d'abord F comme pôle, la vitesse du point M sur la courbe se composera (n° 12) d'une vitesse de glissement dirigée suivant le rayon vecteur, que nous représentons par MP, et d'une vitesse de circulation dans une direction perpendiculaire; donc, en menant PT perpendiculaire à MP, Textrémilé de la vitesse chercbée doit se trouver quelque part sur
cette perpendiculaire. Elle doit de même se trouver sur la perpendiculaire P'T menée au bout de la droite MP', qui représente la vitesse de glissement quand on choisit pour pôle le second foyer F', et par conséquent elle est au point de rencontre T de ces deux perpendiculaires. Mais on a, d'un autre côté, en nommant a et u' les deux vitesses de glissement.
dV^\ , dV'M
u r= — - — , u' — - — 7— dt dt
et, puisque la somme FM -h F'M est constante,
dVM r/l M
, - 4- — -, — ^=o OU bien u^=i—u. dt dt
Cela montre que, si MP est portée en prolongement de FM, MP' doit être portée, au contraire, dans le sens de M vers F', et de plus que les deux longueurs MP, MP' sont égales. Par suite les triangles rectangles MTP, MTP' le sont aussi, comme ayant l'hypoténuse commune et les côtés MP,MP' égaux: donc la direction MT de la vitesse, ou de la tangente, partage en deux parties égales l'angle formé par un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre.
Pour l'hyperbole, la relation entre les rayons vecteurs con-
Fig. i5.
siste en ce que leur différence est conslanle. On aurait alors, en suivant une marche analogue, u = u'; les deux longueurs représentatives MP, MP' devraient se porter en se rapprochant des deux foyers (ou en s*éloignant), et Ton arriverait à conclure que la tangente partage en deux parties égales Tangle des rayons vecteurs.
2« Courbe du second degré définie par la propriété d'un foyer et de la directrice correspondante, — On sait qu'une courbe du second degré est le lieu des points M {fig* i5) tels que le rapport des distances MP et MF de chacun de ces points
à une droite Vwq DD' et à un point fixe F conserve une valeur constante k. La droite DD' et le point F sont une directrice et le foyer correspondant. Considérons encore le point M comme mobile sur la courbe, et imaginons des coordonnées polaires avec F pour pôle. La vitesse de M se compose alors d'une vitesse de glissement (n<» 12), représentée par une longueur telle que MQ portée sur MF, et u'i d'une vitesse de circulation dont l'extrémité
est quelque part sur la perpendiculaire QR au rayon vecteur. On peut aussi considérer le mouvement du point M comme rapporté à deux axes rectangulaires, dont l'un serait DD'; la vitesse est alors la résultante d'une vitesse comptée suivant MP, que nous représentons par la longueur SÎS, et d'une autre vitesse dirigée suivant une perpendiculaire SR à la première. L'extrémité de la vitesse doit donc se trouver au point de rencontre R des perpendiculaires QR et SR. Maintenant, de la relation MP = AMF, on déduit
^MP , dMV ^r^ , r^T^
- k — — ou MS — k MQ ;
dt
dt
par suite, si l'on prolonge MR jusqu'à la rencontre V de DD', il est facile d'en conclure que la droite FV est perpendiculaire à MF. On a, en effet,
