IK

dt

IIG

dr dt

De là résulte la construction suivante : après avoir pris arbitrairement la longueur BG et tracé le triangle rectangle lUIG, on joindra OH et l'on prolongera cette ligne jusqu'à la perpendiculaire élevée en E à OE. La longueur El ainsi obtenue représente la vitesse de circulation de E, car

OË

elle est égale à BlI x — rT=- • Puis on mène IK égale et parallèle OB o I

à HG, ce qui donne la vitesse de glissement de E. Par suite, le point K est l'extrémité de la vitesse résultante, ce qui fait connaître la tangente EK.

On arrive encore plus simplement au but par l'emploi de la sous-normale. Cette droite est égale au rapport entre la vitesse de glissement et la vitesse angulaire (n'» 12); or ces deux quantités ont les mômes valeurs pour les deux points B etE; donc la sous-normale y est la même. Si donc on trace la normale BL à la courbe MM', et qu'on détermine la sous-normale correspondante OLpar la rencontre de BL avec une perpendiculaire à OB menée par le point 0, la droite LE joignant Texlré mité L de cette sous-normale avec E sera normale en ce point à la courbe NN'.

4° Spirale d'Arc/iimède, — L'équation polaire de la courbe étant

on en déduit

lit cil '

par suite, la sous-normale, dont la valeur est égale au rapport

de -r 'd -ry 'à une longueur constante a. Cetle propriété cft dt

donne le moyen de tracer facilement la normale et la tangente.

15. Accélération totale, — En étudiant le mouvement d'un point dans l'espace, nous n'avons jusqu'à présent considéré que ses coordonnées variables et sa vitesse; nous allons maintenant nous occuper de la manière dont la vitesse varie avec le temps, en grandeur et en direction.

Soient AB la trajectoire {fig. 17); M et M' les positions du point mobile aux époques infiniment rapprocbécs t Qi t-v- dt;

CINÉMATIQUB PURE. 33

velif-^dv les vitesses correspondantes. Menons par le pointE, arbitrairement choisi, deux droites EF et EG qui représentent respectivement les vitesses t' et t' -h dç, en grandeur, direction et sens. Ces deux droites font entre elles un angle infiniment petit doi, égal à l'angle de contingence de la courbe AB, pour le parcours M}l'=^ds. Le troisième côté FG du triangle

Fie. 17.

EFG se nomme vitesse acquise élémentaire. On peut, en effet, regarder EG =zç-i- dv comme la résultante ou somme géométrique (n® 11) de EF = r et de FG; à ce point de vue, FG est la différence géométrique entre les valeurs finale et initiale de la vitesse aux deux instants extrêmes de Tintervalle de temps dty ce qui explique le nom de vitesse acquise.

La vitesse acquise élémentaire, divisée par dt, donne ce qu'on nomme Vaccélération totale. D'après celle définition, l'accélération totale est l'accélération d'un mouvement rectiligne uniformément varié (n*6), dans lequel la vitesse éprouverait une variation égale à FG, pendant chaque élément de temps égala dt. On attribue à celte accélération totale la direction et le sens de FG.

On peut déterminer l'accélération totale au moyen de ses projections sur des droites déterminées. A cet effet, construisons d'abord un rectangle FIGH ayant pour diagonale FG et ses côtés dans les directions de EF et de la perpendiculaire à cette droite; puis construisons un rectangle homothétique

FPLK avec F pour centre d'homolhétie, en amplifiant les di-

mensions dans le rapport -^« Alors la diagonale FL = -r- re-

lUiBSSR. — Cours de Méc, I. 3

présente raccéléralion totale en grandeur, direction et sens; FP et FK sont ses composantes, suivant la direction delà vitesse en M et suivant une perpendiculaire à cette vitesse. Celle ^ seconde direction, parallèle à une nermaleenM, es; nécessairement celle qui va de ce point au centre de courbure O, car elle est, dans le plan EFG, parallèle au plan osculateqr, puisqu'il contient deux droites parallèles à deux tangentes consécutives; de plus, la Ggure montre que FH a le sens convenable. Il faut maintenant calculer les grandeurs de ces composantes FP'et FK. Or on a ' - '

•FI = (V -h c/r) cosûfa — r, FH :=z IG = ( r 4-.<?r) sin^/a

ou simplement, en négligcatit les infiniment -petits- d*ordre supérieur au premier.

FI =>/(', Fil — c^a;

d'où Ton déduit immédiatement

dt ' dt

Si Ton nomme p le rayon de courbure de AB- en M, on peut

ds ' . —

mettre — au lieu de tfadans rexpres^sion dé' FK, qui devient

ainsi

(* ds c'

dv

Donc finalement les deux composantes ortt pour valeur -=-

dt

et —; en les considérant comme issues du point M auquel

elles appartiennent, elles sont toutes deux, ainsi que leur résultante, contenues dans le plan osculateur de la trajectoire en ce point.

La première se nomme accélération tàngentlelle-; elle se confond avec ce que nous avons appelé accélération dans l'étude du mouvement d'un point sur une trajectoire donné.e. Dorénavant, pôpr éviter tout malentendu, nous conviendrons de réserver le mot d'accélération pour Taccélération totale, à moins qu'une épithète, comme celle de tangentielle par

CmÉUATJQUE PURB. 35

exemple, n'avertisse du coDtraire. La quanlilé -7- sera donc

ut

toujours nojoamée accélération tangentielle, même s'il s'agit d'un point en mouvement sur une courbe donnée. Dans le ôas le plus général, cetle composante jouit toujours des propriétés indiquées au n°7; nous ajouterons seulement que si le mouvement a Jieu en ligne droite, p devenant infini, la seconde composante s'annule et, par conséquent, l'accélération totale se réduit à l'accélération tangentielle.

■ v^ La composante normale — > toujours dirigée, comme nous

P l'avons dît, jers le centre de courbure de la trajectoire, s'appelle, pour, ce motif, accélération centripète. Dans le cas particulier'du mouvement uniforme, cette composante subsiste

seule, car l'invçiriabililé de la vitesse entraîne la* nullité de -j •

16. Propriétés projectiles de l'accélération totale, — Imaginons qu'o» projette la ^^. 17 (p. 33), sur un plan ou sur une droite quelconques, la projection étant faite parallèlement à une droite dans le premier cas, et parallèlement à un plan dirjBCteur dans le second. Désignons les projections obtenues pour les diverspointâ^ou lignes par les mêmes lettres que dans l'espace, mais en employant les petites lettres italiques au lieu des majuscule^ ordinaires. Les longueurs e/et eg représentent, en grandeur, direction et sens, les vitesses du mouvement projeté (n® 13), aux époques tel t-hdt; donc/Jf est la vitesse acquise élémentaire de ce mômemouvement, dans le temps û?^;

par suite //, égal à ^j- en vertu de la proportion

M^E^dt, fl FL

représente l'accélération totale du mouvement projeté. Donc enfin l'accélération totale du mouvement en projection coïncide, en grandeur, direction et sens avec la projection de l'accélération totale du mouvement dans l'espace.

On déduit de cette propriété un moyen de trouver l'accélération totale d*un point mobile M, quand on connaît, en fonc-

lion du temps, ses coordonnées x^y, z, relativement à un système d*axes concourants 0^, 0/, 0^.

Les longueurs a:, y\ z sont en effet les dislances entre rorigine et les trois projections de M sur les axes, la projection sur chaque axe étant faite parallèlement au plan des deux autres; ces points projections ont pour vitesses respectives

-T'y TT ' -r (n® 12), et, puisqu'ils se meuvent en ligne droite, at at at

ils ont les accélérations totales correspondantes (n<» 15)

dî \dt)' dî\di)' di \dt)

dû

ou bien, si Ton prend le temps t pour variable indépendante,

dt' dù^ dt'

Ce sont les projections de l'accélération totale J sur les trois axes coordonnés; comme, de plus, la projection sur chacun d'eux doit se faire parallèlement au plan des deux autres, et qu'alors une droite est la résultante de ses trois projections (n« 11), nous en concluons que J peut se trouver en prenant la diagonale du parallélépipède construit sur les trois composantes parallèles aux axes dont les expressions (i) donnent les valeurs.

Dans le cas particulier d'axes rectangulaires, on aurait, pour valeur de rnccéléralion totale,

/7dKvY /dWV id'Z

dt^ ) \ dt- ) \ di'

et, pour celles de ses trois cosinus directeurs,

T d-.r \ dry i d^ z j "TZê- ' J IF' J TÛ^'

Remarque, — Lorsqu'on projette sur un plan le rectangle construit avec les deux composantes tangenlielle et centripète (n» 15) de l'accélération totale J, on obtient généralement un parallélogramme.

La diagonale de ce parallélogramme, qui est la projection de

CINÉMATIQUE PURE. 87

celle du reclangle, donne bien Taccélération lolaley du mouvement en projection sur le plan; mais ses côtés, projections

de --T et — j ne peuvent pas être les composantes tangentielle

et centripète de y, lorsque leur angle est différent de 90% ce qui est le cas ordinaire.

17. Application, — Nous avons cherché (n° 14) les équations d'un mouvement circulaire uniforme, en projection sur deux axes rectangulaires 0^, Oy {fig- 12), et nous avons trouvé