PM

2 Cil^

Il reste à démontrer qu'une ligne portée suivant PM' et

égale à — jj-— coïncide bien avec l'accélération totale, telle

qu'elle a été définie plus baut (n® 15), car il n'est pas permis d'assigner deux valeurs différentes à une même quantité; à cet

effet, nous allons chercher les deux projections PQ et QM'

de PM' sur la tangente et sur la normale. Cette normale se trouve dans le plan osculaleur de la trajectoire et a par conséquent la direction du rayon de courbure MO, car le plan MM'P, qui la renferme, passe par la tangente MP et par un point infiniment voisin.

Soit <i l'arc infiniment petit parcouru à partir de M sur la trajectoire dans un temps 6 quelconque du môme ordre que l'arc <J. Les deux premières dérivées de a par rapporta 6 sont,

pour 6 ^ o, la vitesse v en M et l'accélération tangentielle ~;

on aura donc, par la formule de Maclaurin,

2 de

aux infiniment petits du troisième ordre près, pourvu que {^

dv et -.- restent finies et continues dans les environs de M, ce que

nous admettrons comme donnée relative à la nature du mouvement. Faisant dans celte équation 6 — dty on en tire

I dv

MM' — vdt-^ - -j-dt^,

2 dt

€t cette même expression donne aussi la valeur de MQ avec

le même ordre d'approximation, car MM' ne diffère de sa projection sur la tangente en M que par des infiniment petits du

4o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

troisième ordre au moins. Donc

^i^zzz'SMi-.vdt—- ^dl\

3 ut

ce qui donne Tune des deux projections de PM'. L'autre projection QM' se trouve par une formule d'Analyse bien connue; on a