MM

p désignant, comme au n® 15, le rayon de courbure MO de la trajectoire. De là résulte, en mettant pourMVl' sa valeur el négligeant toujours les termes d'ordre supérieur au second,

QM'z=:l l-dt\

2 PO ^t'

Prenons maintenant PU = —rr — -7- et achevons la con-

at* dt

struction du triangle rectangle PRS, semblable à PQM', en menant RS parallèle à QM' el à MO jusqu'à la rencontre de PM' prolongé. La similitude des deux triangles donne

TTC 2QM' r« ir;r 2 PM'

Par conséquent, on voit que la déviation PM', amplifiée dans

le rapport ^> donne une droite PS contenue dans le plan os-

d\culateur, ayant pour composantes ^ suivant la tangente, et

— suivant le ravon de courbure: donc enfin cette droite coïn- P

cide bien avec Taccélération totale définie au n« 15, en grandeur, direction et sens.

§ IL — MouTement d'un solide inyariable.

19. Définition et observation générale, — Un solide invariable est un ensemble de points dont les distances n'éprouvent jamais aucun changement. Les solides invariables n'existent

CINÉMATIQUE PURE. 4'

pas rigoureusement dans la nature, mais il y a des corps qui en approchent beaucoup; on peut d'ailleurs les concevoir à titre de fîction géométrique et rechercher les lois de leurs déplacements. Afin de simplifier le langage, nous supprimerons ordinairement Tépithète d* invariable, mais elle sera toujours sous-entendue.

Pour définir le mouvement d'un solide, il suffit qu'on donne celui de trois de ses points non en ligne droite; en effet, un autre point quelconque peut être considéré comme le sommet d'un tétraèdre de figure et de dimensions constantes, dont le triangle des trois points donnés serait la base, et, dès qu'on aura la position de la base, on aura par là môme celle du sommet.

Cela posé, nous allons étudier le mouvement des solides, en commençant par des cas particuliers simples, pour arriver successivement au cas le plus général.

20. Moui'ement de translation. — On appelle translation un mouvement tel que tous les points décrivent à chaque instant, dans le même temps infiniment petit dt^ un élément ds de trajectoire qui soit le môme pour tous, en grandeur, direction et sens. Toutes les trajectoires sont des courbes égales et parallèles; toutes les vitesses à une môme époque ont la valeur

ds unique -^> et toutes ont la direction et le sens de l'élément û^5

parcouru par un quelconque des points. Enfin toute droite tracée dans le solide et participant à son mouvement se déplace parallèlement à elle-même, car, les déplacements de ses deux extrémités étant égaux et parallèles, deux positions consécutives de cette droite forment toujours un parallélogramme.

Il est presque inutile de prouver qu'un solide peut prendre un mouvement de ce genre; voici cependant comment on y arriverait au besoin. Considérons une première position du solide et nommons x^ j, z les coordonnées d'un point A quelconque de ce solide relativement aux axes rectangulaires Oo?, ^y^Oz {fig. 19). Si nous prenons un système d'axes parallèles Q'x'y O'y'y 0' z' et si, dans ce nouveau système, nous déterminons un point A' par des coordonnées x', j', z' égales

l'ir.- 19-

à X, j, Zy il est évident qu'après avoir opéré de même pour tous les points nous aurons construit un système superposable

à celui des poinls A, auquel on pourrait passer en déplaçant celui-ci. Or, dans ce mouvemeni, tout point se déplacera d'une longueur égale et parallèle à 00'; il résulle en effet de Tégalité de jc\

y, z' avec Xy r, z^ que O'A' est

égal et parallèle à OA, et que par suile la figure OAA'O' est un parallélogramme. En opérant de la mémo manière pour une série d'origines infiniment voisines, prises de manière à former une courbe continue OO'O", ..., on aura obtenu le mouvement de translation tel que nous Tavons défini.

Fig. 30.

21. Mouvement de rotation autour d'un axe fixe, — Lorsqu'on ^\\Q deux points A etB d'un solide, tous les autres poinls situés sur la môme droite deviennent nécessairement fixes; mais un plan quelconque passant par cette droite n'est pas déterminé en position. La figure suivant laquelle il coupe le

solide peut donc prendre une infinité de positions différentes en entraînant avec elle Tensemble des autres points, et l'on dit alors que le système a un mouvement de rotation autour d'un axe ^w^ AB.

Considérons un point quelconque C (fi g, 20), en debors de l'axe AB, et abaissons la perpendiculaire CD de ce point sur l'axe. Pendant que le solide se déplace et que le point C décrit la trajectoire CC, la longueur CD et Tangle CD A ne peuvent varier, puisque le corps est supposé rigoureusement solide. Le rayon CD engendre par conséquent un plan perpendiculaire à l'axe, et dans ce plan le point C décrit un cercle. Toutes les trajectoires sont donc des cercles contenus dans des plans perpendiculaires à l'axe.

CINÉMATIQUE PURE. 43

Si Ton suppose maintenant un autre point F décrivant Tare circulaire FF' autour du centre G, pendant que G décrit Tare CC', "il est facile de reconnaître que ces arcs décrits dans le même lennps répondent à un même angle au centre, c'està-dire que les plans CAD, FAB ont tourné simultanément du même angle. Soient en effet D/ et D/' les intersections du plan CCD avec les plans FAB, F'AB; Tangle de ces deux plans sera égal à/D/' ou à FGF' et il s'agit de démontrer qu'il l'est aussi à CDC. Or l'hypothèse de l'invariabilité du système exige qu'on ait CD/^^CD/, puisque ces deux angles sont deux positions différentes d'une même figure tracée dans le solide; en ajoutant aux deux membres de cette égalité un même angle/DC, on aura

CDC'=:/D/',

ce qu'il fallait établir.

Appelons « l'angle décrit, à une certaine époque ^ par un quelconque des plans passant par l'axe, à partir d'une position déterminée; dans les calcîils que nous aurons à faire ultérieurement sur les mouvements de rotation, cet angle sera toujours, sauf indication contraire, censé exprimé en arc pris sur le cercle de rayon i. Un point situé à la distance r de Taxe aura décrit, à la même époque, un arc ayant pour longueur

et sa vitesse sera

ds (It

^ " d't~' ~dt

La vitesse a toujours une direction perpendiculaire à Taxe et au rayon r( ou au plan de ces deux lignes), comme l'arc auquel elle est tangente; la dernière égalité fait voir en outre que les vitesses des divers points à une même époque sont proportionnelles aux distances de ces points à l'axe, le fac-

drt

teur -^ restant le même pour tous les points. Ce facteur, égal

à la vitesse d'un point situé à l'unité de distance, exprime l'augmentation qu'éprouverait l'angle a dans l'unité de temps, si clans chaque élément égal à dt^ après l'époque ty il y avait une même augmentation doL. Par analogie avec la définition,

.„„„.e a„ „.,.«,. .cesse ..„ p.... o„ „„.„«-„,..»

angulaire du solide.

Quand Taxe s'éloigne à l'infini, les dimensions d'un corps

fini disparaissent en comparaison des rayons r, qui peuvent

alors être considérés comme égaux et parallèles. Il en est par

conséquent de môme pour les vitesses simultanées de tous les

points, de sorte que le mouvement tend à se changer en une

translation perpendiculaire à Taxe. Il est nécessaire d'ailleurs

d% de supposer que la vilesse angulaire -j décroît indéfiniment à

mesure que Taxe s'éloigne, sans quoi les vitesses des points sur leurs trajectoires tendraient vers l'infini en même temps que leurs distances à l'axe.

22. Mouvement dUin solide parallèlement à unplanjixe, ou d'une figure plane dans son plan. — On dit qu'un solide a un mouvement parallèle à un plan fixe, quand les trajectoires de tous les points se trouvent contenues dans des plans parallèles. Le mouvement de rotation autour d'un axe fixe en fournil un exemple; on en aurait un second en prenant une translation dans laquelle un point décrirait une courbe plane quelconque. Mais ce sont là seulement des cas particuliers.

Quand un solide se meut parallèlement à un plan fixe, on peut à chaque instant retrouver sa position si l'on connaît celle de sa projection sur ce plan; les lignes projetantes restent en effet invariables et il suffit d'imaginer que chacune d'elles est entraînée, sans changer de direction, avec le point correspondant de la projection. L'ensemble de cette projection forme une figure plane invariable mobile dans son plan, et nous sommes ramenés à étudier le mouvement de cette figure. Nous allons en établir successivement quelques propriétés.

(a) Déplacement fini, — Supposons d'abord un déplacement fini quelconque dans lequel une droite quelconque AB de la figure vient de AB en A'B' {fig- 21). Je dis qu'il est possible d'amener cette droite de sa première position AB à sa dernière A'B' (sans avoir égard aux positions intermédiaires) par une rotation autour d'un certain point du plan . Soient en effet C

CINÉMATIQUE PURE. 45

le point de rencontre des deux droites et C le point de AB qui est venu se placer au point G de A'B'; le point C considéré comme appartenant à AB sera venu prendre sur A'B' une position finale C% telle que GC'= C'C, puisque GC est la position finale de la partie CC de AB.

Élevons maintenant des perpendiculaires au milieu des droites CC et CC; elles se couperont en 0, centre du cercle circonscrit au triangle isoscèle CC'C 11 est clair que, si Ton fait tourner autour de 0 la droite AB, d'un angle xMOM' égal à Fangle des deux perpendiculaires ou des deux droites elles-mêmes, la droite OM viendra en OM' et CC en CC; tous les points de AB auront pris leur position finale, et par conséquent aussi ceux de la figure plane dont AB fait partie et qu'on peut concevoir entraînés par le mouvement de cette droite. Donc, en résumé, on peut toujours amener une figure plane d'une position à une autre dans le môme plan, en la faisant tourner autour d'un certain point du plan, pris pour centre Vwq. Et si le solide dont cette figure est la projection la suit dans son mouvement, il tournera autour d'un axe mené par ce centre, perpendiculairement au plan.

On laisse de côté le cas où A'B' ne rencontrerait pas AB. La figure ABA'B' serait alors un parallélogramme, comme ayant deux côtés opposés AB, A'B' égaux et parallèles. Les déplacements AA', BB' seraient donc égaux et parallèles; un raisonnement semblable établirait leur égalité avec celui d'un point quelconque pris sur la droite, et celui d'un point quelconque de la figure entraînée par elle. On tomberait alors dans l'hypothèse particulière d'une translation, et l'on pourrait considérer celle-ci comme due à l'éloignement indéfini du point O (n«21).

(b) Déplacement infiniment petit; centre instantané de ro~ tation, — Une figure plane (F) ne peut pas passer à une position différente (F') sans passer par une série de positions intermédiaires se succédant d'une manière continue, de telle sorte que chaque point décrive une certaine trajectoire. Quand

on effectue le passage de (F) à (F') par une rotation autour d'un centre 0, tous les points décrivent des arcs de cercle ayant les points de départ et d'arrivée communs avec les arcs de trajectoire qu'ils remplacent, mais pouvant d'ailleurs s'en écarter plus ou moins dans l'intervalle si le déplacement est flni. Prenons au contraire le déplacement total inflniment petit, en supposant (F') indéfiniment rapprochée de (F) et faisant décrire à un point quelconque un seul élément ds de la courbe parcourue par lui; alors les arcs de cercle substitués aux éléments ds en vertu de la rotation autour du centre Oi, limite de 0 pour un déplacement nul, auront encore les mêmes points extrêmes et par conséquent ils coïncideront avec eux en longueur, direction et sens. La môme chose aurait lieu pour tous les points d'un solide projeté sur (F) pendant la rotation autour de Taxe projeté sur Oj. Donc :

Les arcs élémentaires décrits simultanément par tous les points d'une figure plane mobile dans son plan, ou d'un so^ lide mobile parallèlement à ce plan, peuvent s'obtenir, en grandeur, direction et sens, au moyen d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan.

D'un autre côté, on sait que la vitesse d'un point quelconque décrivant pendant le temps dt un élément ds de sa trajectoire

n'est autre chose que ds amplifié dans le rapport -i-- Donc

aussi :

Les vitesses des divers points de la figure plane ou du solide sont identiques çl celles qui auraient lieu, si la rotation ci-dessus indiquée se produisait effectivement pendant le temps dt.

Le centre 0| dont on vient de parler ne demeure pas, en général, immobile pendant que la figure (F) se déplace; il faudrait pour cela que toutes les trajectoires fussent des cercles concentriques. Si cela n'a pas lieu, le centre Oi variera de position avec le temps, et chaque point Oi ne se rapportera qu'à une position de (F). Pour celte raison on a donné à ce point le nom de centre instantané de rotation. L'axe passant par ce point et perpendiculaire au plan (F) se nomme de môme axe instantané de rotation.