CI.NÉXATIQIE PURE

( c) Propriétés géométriques du centre instantané de rotation. — Le point A élanl amené en A' par une rotation autour de 0, le rayon OA est normal à Tare décrit dans la rotation. Or cet arc devient tangent en A avec la trajectoire réelle quand le déplacement décroît indéfiniment et que 0 arrive à sa position limite Oi; donc :

Les normales aux trajectoires, menées en tous les points dont l'ensemble /orme une des positions de la figure mobile, concourent toutes au centre instantané de rotation.

Si dans une position de la figure on connaît la direction dans laquelle un de ses poinls doit commencera se déplacer, en menant par ce point une droite perpendiculaire à la direction qu'il va suivre, on aura une ligne passant au centre instantané. On pourra déterminer ce centre par la rencontre de deux lignes analogues, lorsque les trajectoires de deux points seront données a priori et qu'on saura leur mener des normales.

Voici encore une remarque susceptible de conduire à la connaissance du centre instantané de rotation. Supposons une courbe C {fig- 22), faisant partie de la figure mobile et devant toujours rester tangente à une courbe fixe D, son enveloppe. Le contact a lieu actuellement en B ; puis il passe au point E quand la ^^* ^^*

courbe C a pris une seconde position infiniment voisine de la première.

Dans ce mouvement, le point B de la courbe C est venu se placer quelque part sur la nouvelle position C de cette courbe à une distance infiniment petite de E, en B' par exemple.

Puisque les courbes C etD sont tangentes en £, le point B' est à une distance infiniment petite du second ordre de la tangente en E et aussi de la tangente en B, menée par un point infiniment voisin de E. Il résulte de là que le déplacement BB' se fai l dans la direction de la tangente en B, s'il est du premier ordre; le centre instantané de rotation correspondant se trouve alors sur la normale BOi commune aux deux courbes C et I). Si BB' était du second ordro, on pourrait

regarder le point B comme ayant un déplacement nul en comparaison de celui des autres points; B serait alors le centre instantané. Donc, dans un cas comme dans Tautre :

Si une courbe fait partie de la Ji g ure mobile et qu*on lui mène une normale au point ou elle touche son enveloppe, cette normale passe par le centre instantané actuel de rotation, répondant à la position considérée de la courbe dont il s* agit.

Le cas où le point de contact B n'a qu'un déplacement infiniment petit du second ordre se présente quand la courbe G roule sur la courbe D, conformément à la définition donnée en Géométrie. En effet, les arcs BE et B'E sont alors égaux et il en est de même de leurs cordes, dont ils ne diffèrent que par les infiniment petits du troisième ordre; par suite, le triangle rectiligne BB'E devient isoscèle, et Ton a

BB^=2BEsin-BEB',

quantité du second ordre.

De là résulte ce théorème :

Dans le roulement d* une courbe mobile sur une courbe fixe, le point de contact est toujours centre instantané de rotation.

Les propriétés qu'on vient d'exposer fournissent souvent un moyen commode pour mener des tangentes ou des normales à certaines courbes, dont la génération est définie par le mouvement d'une figure plane dans son plan. En voici quelques exemples :

i*» L'ellipse peut être engendrée par un point M d'une droile

AB, de longueur constante (Jlg- 28), qui se meut en s'appuyant toujours sur deux droites fixes 0^, 0/. Puisque les points A et B parcourent les droites Ojt et Oj, les perpendiculaires AC et BC à ces droites donnent par leur rencontre le centre instantané C; donc CM est normale en M à l'ellipse sur laquelle ce point se déplace, et la perpendiculaire MD est la tangente.

CINÉMATIQUE PURE. ^9

2» Remplaçons les droites Oj? et Oy par deux cercles, sur lesquels on fait toujours glisser les extrémités A et B d'une droite AB, de longueur constante {/ig. 24 ). Un point M de cette droite engendre alors une courbe, dite courbe à longue inflexion ou courbe de Watt, dont nous aurons à reparler plus loin, et a laquelle on mène bien facilement une tangente, quoique son équation soit passablement compliquée. Il suffît, en effet, de tracer les rayons OA et O'B; leur rencontre a lieu au centre instantané C. Joignant alors CM et menant la perpendiculaire MD à cette ligne, on a la normale et la tangente en M.

FiR. 2'|.

3« Considérons un angle droit ASH (fig. 25) dont les deux côtés se meuvent en touchant toujours une ellipse. Les normales aux points de contact A et B se rencontrent en C, centre instantané de rotation de Tangle ASB; donc CS est normale en S à la courbe décrite par le sommet de Tangle. On peut remarquer que CS, diagonale du rectangle SACB, coupe l'autre diagonale AB en son milieu D; donc SC passe par le centre 0 de Tellipse, puisque cette droite joint le sommet d'un angle circonscrit avec le milieu de la corde de contact. Toutes les normales au lieu des points S concourent donc en O, et par conséquent ce lieu est un cercle ayant pour centre le point 0, centre de Teilipse. Le rayon du cercle se trouve ensuite facilement, en supposant que les points de contact sont deux sommets de Tellipse; on voit ainsi qu'il est égal à la demi-diagonale du rectangle circonscrit, ayant ses côtés parallèles aux axes.

4* Si l'on regarde la conchoïde comme engendrée par le point E d'une droite BE {fig. 16, p. 3i), assujettie à passer par le point fixe 0, pendant qu'un de ses points (le point B) dé-

BussB. — Cours de Méc. I. 4

5o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

crit la courbe MM', on voit d'abord que la normale BL à MM' passe par le centre instantané de rotation de la droite BE. Ensuite, comme le point 0 peut se remplacer par un cercle de rayon infiniment petit, auquel BE devrait rester tangente, la normale OL, commune à BE et h son enveloppe, passe aussi par le centre instantané, qui est par conséquent le point de rencontre de ces deux normales. Donc LE est la normale en L à la conchoïde, ce qu'on a déjà reconnu d'une autre manière (nM4.).

Remarque, — Les arcs de cercle décrits en vertu d'une rotation infiniment petite autour d'un centre instantané remplacent les arcs élémentaires ds des trajectoires réelles, sous le rapport de la longueur, de la direction et du sens, comme on l'a dit. Mais, en général, ils ne sont pas osculateurs aux trajectoires, parce qu'ils ont été déterminés de manière à avoir seulement deux points communs avec chacune d'elles. Le centre instantané ne coïncide que par exception avec le centre de courbure d'une trajectoire. Ainsi, dans \dijig. 23, les points A et B parcourent des droites dont les centres de courbure sont à l'infini, pendant que le centre instantané de rotation se trouve en C; dans \dijlg. 24, le centre instantanée est de même distinct des centres de courbure 0 et 0' relatifs aux trajectoires dQS points A et B.

23. Mouvement continu d'une figure plane dans son plan, — Quand le mouvement continu d'une figure plane dans son plan n'est pas une translation, ni une rotation autour d'un axe fixe, il existe à chaque instant un centre instantané de rotation 0, dont le lieu géométrique forme une courbe continue OO'O". . . {fig» 26) dans le plan fixe où se déplace la figure

mobile. Il y a aussi, dans cette figure, *^" ^ * une série de points qui lui appartiens

--^^ c j^ yi — " nent et qui viennent successivement

-^^^ ^ ^'^o^^^^ se placer sur les centres instantanés

0, 0', 0", ... ; ces points forment une autre courbe CC'C... fixe par rapport à la figure mobile, et qui sera entraînée dans son mouvement. Ces deux courbes ont à chaque instant un point commun, qui est la position du centre de rotation à l'instant considéré; à une certaine

CINÉMATIQUE PURE. 5l

époque, c'est le point C de la figure et le point 0 du plan qui coïncident et sont la position présente du centre instantané de rotation ; un peu plus tard, ce sera C* et 0', puis C et 0^, et ainsi de suite. De plus, les courbes sont tangentes en leur point commun, et ce point se déplace de quantités égales sur les deux courbes. En effet, le point C, supposé infiniment près du centre O ou C, est amené en 0' en décrivant autour de ce centre un angle infiniment petit, et par conséquent le déplacément C'O' est infiniment petit du second ordre. Or, dans le triangle rectiligne OO'C, on a

JyTP > ( Ôïy — ce ) en valeur absolue ;

donc, puisque les arcs ne diffèrent des cordes que par des quantités du troisième ordre, la différence entre Tare 00 et l'arc CÏy est au plus du deuxième ordre. Cela montre l'égalité entre les déplacements du point commun sur les deux courbes. Quant au fait du contact, il est aussi une conséquence de l'ordre de grandeur de C'O', car l'angle en 0 du triangle isoscèle OO'C satisfait à l'égalité

sin-!.0'OC=.-44J^;

il en résulte que les deux directions CC et 00' tendent vers une même limite quand les longueurs 00', CC décroissent indéfiniment, puisque le sinus de la moitié de leur angle tend vers zéro, et par conséquent les tangentes en 0 ou C aux deux courbes se confondent.

On conclut de là que :

Le mouvement continu d'une figure plane dans son plan peut toujours être regardé comme du au roulement d'une courbe solidaire avec la figure sur une courbe fixe. Cette dernière est le lieu des centres instantanés de rotation dans le plan fixe; la courbe roulante est le lieu des centres instantU" nés de rotation dans la figure mobile.

Le mouvement continu d'une figure plane dans son plan est donc toujours un mouvement épicycloïdal.

Si Ton suppose que la figure plane dont il s'agit entraîne

dans son mouvement un solide quelconque invariablement Hé avec elle, il est bien évident que, dans ce mouvement, les cylindres dont QÛ'C. . . etCCC... sont les sections droites rouleront Tun sur l'autre. On a dans ce roulement d*un cvlindre mobile lié au solide sur un cylindre fixe Timage du mouvement continu du solide parallèlement à un plan; le mouvement élémentaire serait à chaque instant une rotation autour de la génératrice de contact.

Voici un exemple de la détermination des courbes dont on vient de parler.

Supposons que la figure mobile consiste en une droite de longueur constante AB dont )es extrémités A et B sont assujetties à glisser sur deux droites fixes Dj, Dx (yî^. 27). Pour

la position que représente le dessin, le centre instantané de rotation se trouve à la rencontre 0 ou C des deux perpendiculaires BO, AO, menées à D j? et Dy par les extrémités de la droite. L'angle en C étant constant et égal au supplément de vDd7, le cercle circonscrit au triangle ACB est de rayon déterminé; il passe par D, etDC en est un diamètre, puisque les angles DAG, DBG sont droits. En ramenant la figure mobile AB d'une autre position quelconque à la position dessinée, le centre instantané resterait toujours sur ce cercle, à cause de l'invariabilité de l'angle des deux droites qui, dans celle autre position, auraient remplacé BG et AG; donc le cercle décrit sur DO comme diamètre est ici le lieu des centres instantanés de rotation dans la figure mobile. Pour le lieu des centres instantanés dans le plan rwe, il suffit de remarquer que DÔ — DG reste constant comme diamètre du cercle DAGB; le centre instantané dans le plan fixe conserve donc toujours la même distance au point D et décrit par conséquent un cercle ayant ce point D pour centre, avec un rayon double du précédent.

Le mouvement continu de la droite s'obtiendra donc en faisant rouler intérieurement un certain cercle sur un cercle

CINÉMATIQUE PURE. 53

fixe de rayon double. On démontre en Géométrie que, dans ce roulennenl, tout point pris sur la circonférence mobile engendre un diamètre du cercle fixe ; les points A et B décrivent donc bien les diamètres Dr, D j:, ce qui concorde avec le résultat auquel nous arrivons.

24. Mouvement dUin solide autour d'un point fixe ou d'une figure sphérique sur la sphère, — Lorsqu'un solide se meut autour d'un point fixe 0, on peut imaginer qu'il est suivi dans son mouvement par les rayons, de longueur invariable, joignant chacun de ses [toints au point fixe; si Ton coupe ensuite ces rayons par une sphère ayant le point 0 pour centre, sur laquelle ils dessineront la perspective du solide, il est bien évident que leur position i?t, par suite, celle du solide seront immédiatement connues dès qu'on connaîtra celle de cette perspective. On se trouve donc ici ramené à étudier le mouvement d'une figure sphérique sur la sphère, de même que, dans le cas du mouvement d'un solide parallèlement à un plan, on avait réduit la question à celle du mouvement d'une figure plane dans son plan.

Soit donc une figure sphérique (F) se' déplaçant sur la sphère et, dans cette figure, un arc de grand cercle AB {fig. 28); il suffit de produire le déplacement de AB pour entraîner simultanément celui de toute la figure (F) qui fait corps avec AB. Or je dis d'abord qu'on peut amener AB à une autre de ses positions A'B' (sans avoir égard aux posi- ,

lions intermédiaires) par une

simple rotation autour d'un certain pôle P convenablement choisi sur la sphère ou, ce qui revient au même, autour du rayon OP joignant P au point fixe 0, centre de la sphère. Il y a en efi'et un point C de AB qui, après le déplacement, se trouvera placé en C, à la rencontre des deux arcs AB, A'B'; de même, le point C de AB viendra en C sur A'B', et l'on aura nécessairement CC'r=C'C% puisque CC et C'C sont deux positions d'un même arc. Élevant ensuite les arcs de

grand cercle perpendiculaires aux milieux M et M' de CC el de C'C% on déterminera par leur rencontre le point P, tel que PM =1 PM'; si Ton fait tourner, autour de P comme pôle ou de OP comme axe, la figure PMAB, il est clair qu'on amènera PM à coïncider avec PM', que, par suite, CC couvrira ce, et qu'enfin, AB ayant pris la position A-B', la figure (F) sera venue aussi coïncider avec sa position finale (F').

Tout ce qu'on vient de dire s'applique aussi bien dans le cas d'un déplacement fini que dans celui d'un déplacement infiniment petit. Mais, dans le premier, les divers points de la figure (F) ou du solide qu'elle entraîne décrivent autour de OP des arcs de. ceicle ayant pour rayons les distances de ces points à OP, el, en général, ces arcs, n'ayant que les deux extrémités communes avec les trajectoires réejles qu'ils ont rcniplacées, pourront s'en écarter plus ou moins dans l'intervalle. Danslç second, au contraire, les arcs circulaires, ayant toujours leurs deux extrémités communes avec les arcs élémentaires cis des trajectoires, leur sont identiques en grandeur, direction et sens; toutefois ils ne sont pas en général osculaleurs, car il faudrait pour cela trois points communs au lieu de deux.

La limite vers laquelle tend OP quand l'écart entre (F) el (F') décroît indéfiniment se nomme ajce instantané de rotation. Les explications précédentes permettent alors d'énoncer ce théorème :

Le déplacement élémentaire d'une figure sphérique sur sa sphère {ou d'un solide autour d'un point fixe) revient à une rotation autour d'un certain axe instantané passant par le centre de la sphère {ou par le point fixe),

La même rotation, si elle est supposée effectuée dans le môme temps dt que le déplacement élémentaire du solide, donnera aussi les vitesses de tous les points, puisque la vitesse d'un point n'est autre chose que son déplacement élémentaire amplifié dans le rapport ~r'

Lorsqu'un point tourne autour d'un axe, le plan normal à son déplacement élémentaire contient nécessairement cet axe. Donc, en vertu du théorème précédent :

Tous les plans normaux aux déplacements élémentaires.

CINÉMATIQUE PURE. 53

simultanénient ejfec tués par les divers points dUui solide quia un point fixe, se coupent suivant une même droite issue de ce point.

L'intersection de deux quelconques de ces plans normaux donne y)ar conséquent la droite en question, c'est-à-dire l'axe instantané.

On peut aussi donner une image géométrique du mouvement continu du solide. Imaginons, d'une part, le lieu des axes instantanés de rotation dans l'espace et, d'autre part, le lieu des droites du solide qui viennent successivement coïncider avec Taxe instantané de rotation, ces droites étant toutes prises dans une môme position du système mobile; les lieux dont il s'agit seront deux cônes ayant pour sommet commun le point fixe. En considérant les courbes d'intersection de ces cônes par une sphère de rayon quelconque, la répétition exacte des mômes raisonnements qu'on a présentés au n*» 23 dans le cas des figures planes ferait reconnaître que ces courbes sont tangentes au point situé sur l'axe instantané actuel et qu'elles roulent l'une sur l'autre. On en dira donc autant des deux cônes; ils sont toujours tangents le long d'une génératrice commune, position actuelle de Taxe instantané de rotation, et le second cône, entraîné avec le solide, roule sur le premier, qui est fixe; les secteurs élémentaires, formés par deux génératrices infiniment voisines sur le premier cône, viennent en effet s'appliquer sur des secteurs égaux formés par les génératrices du second.

Il est prouvé par là que tout mouvement d'un solide autour d'un point fixe est un mouvement épicycloïdal sphérique.

25. Mouvement le plus général d'un solide, — Pour étudier le mouvement le plus général d'un solide, nous allons d'abord, comme dans les cas particuliers précédents, considérer un déplacement d'étendue quelconque. Il s'agit simplement (le faire passer le solide d'une position initiale à une position finale, sans s'inquiéter des positions intermédiaires. Il est possible d'y arriver par la combinaison de deux mouvements précédemment étudiés, savoir : une translation rectiligne suivie d'une rotation autour d'un axe.

Soit, en effet, un solide formé d'un ensemble quelconque

de points A, B, C, D, ... {Jig» 29), qu'on veut amener à la

position A'B'C'D' On pourra d'abord donner à tous les

points une translation rectiligne égale à la droite qui joint les positions initiale et finale de l'un d'eux, par exemple la translation AA', qui amènera le point A à sa position finale A' et l'ensemble du système à une position k'WCW,.,, Il reste

^. encore à passer de cette der-

FijT. 29. '

B^ nière position à A'B'C'D'...;

^\ ■ * et, comme le point A' peut

\ \ \ rester fixe dans le passage,

\ /«B* \^^, / r il est possible de Teffecluer

A'^ ^ V-^^Ijc j -• ! • par une rotation autour d'un

\ '^ * / --/ axe k'x issu de A' (n° 24 )• Le

D* ^' ^ / ^ passage du solide de la pre-

^ mière à la dernière position

peut donc bien s'obtenir, comm^ nous l'avons dit, par une translation rectiligne suivie d'une rotation autour d'un axe.

Il y a même une infinité de combinaisons de deux mouvements du même genre qui conduisent au môme résultat final. Au lieu de choisir le point A, nous aurions pu prendre B ou C, ou tout autre point faisant partie du solide ou invariablement lié avec lui; dans tous les cas la translation aurait été la ligne droite joignant les positions extrêmes du point choisi, et Taxe de la rotation aui*ait passé par la seconde position du même point. Toutefois trois choses restent constantes dans ces deux mouvements simples par lesquels on produit un déplacement total donné.

i*» La direction de l'axe de rotation ne change pas. Supposons, en effet, qu'on substitue aux deux mouvements d'abord employés pour amener ABCD. . . en A'B'C'D'. . . une translation BB' suivie d'une rotation autour d'un axe B'j. Considérons un plan P perpendiculaire à A^ et invariablement lié au solide ABCD. . .; la translation A A' et la rotation autour de Ao: ne changeront pasla direction de ce plan, qui devra finalement prendre une position P' parallèle à P. Quand on emploie les deux mouvements substitués à ceux-là, il faut toujours arriver à la même position finale du système et, par conséquent, remplir la condition de ne pas altérer la direction de P. Or cette direction est conservée après la translation BB', mais

CINÉMATIQUE PURE. 57

elle serait changée par la rolalîon autour de B'y si celle ligne était oblique au plan P; donc cette obliquité est impossible el alors les axes AV, B'x sont parallèles, comme perpendiculaires à un même plan.

2* La translation projetée sur Taxe de la rotation conserve la même valeur. En effet, après que le point B a été amené en B' par la translation AA'=i BB", il passe en B' par une rotation autour de A'x, qui lui fait décrire un arc de cercle contenu, ainsi que sa corde B'B', dans un plan perpendiculaire à l'axe. Donc la projection de BB " ou AA' sur Taxe est la même que celle de BB', puisque celle de B'B' est nulle. Donc les déplacements de deux points quelconques ont une même projection sur Taxe, et le même énoncé s'applique à toutes les translations possibles à employer, car elles sont identiques aux déplacements des points qui font partie du système ou lui sont invariablement liés.

S* L'angle de la rotation conserve toujours la même valeur. Pour le prouver, considérons une droite contenue dans le plan P. La translation aura pour effel de lui faire prendre une position parallèle dans le plan P', el la rotation devra l'amener à sa position finale dans le même plan. La rotation devra donc toujours faire coïncider l'une avec l'autre deux droites de directions déterminées dans un même plan; donc l'angle de rotation sera toujours le même ,' puisque ce sera l'angle des directions de ces deux droites (n° 22).

Parmi toutes les combinaisons de deux mouvements qui aboutissent ainsi au même résultat final, il y en a une particulièrement remarquable : c'est celle dans laquelle la translation est parallèle à l'axe de la rotation. On l'oblienl en donnant au solide un mouvement de translation parallèle à A x et égal à la distance entre les plans P et P'; cela fait, une figure quelconque tracée dans le plan P n'aura plus à sortir de P', pour passer à sa position finale, en partant de la position intermédiaire que la translation vient de lui donner. Ce déplacement dans le plan P' pourra donc se réaliser (n»22) parune rotation autour d'un point du plan, ou, ce qui revient au même, autour d'un axe perpendiculaire au plan et parallèle à Ax. On voit que le déplacement du solide consiste alors en un glissement le long d'un axe, suivi d'une rolalion autour du même

axe. Quand une vis pénètre dans son écrou, elle glisse aussi le long d'un axe et tourne simultanément autour de lui, d'un angle toujours proportionnel à la longueur dont elle a glissé; mais rien n'empêche, quand la vis est passée d*une position à une autre, d'imaginer que la rotation totale a succédé au glissement total, car le résultat final serait le même dans les deux cas. Inversement nous pouvons imaginer que le plan P, emportant le solide avec lui, glisse le long de Taxe et tourne en môme temps d'une quantité proportionnelle, à la manière de la vis pénétrant dans son écrou, de sorte que les deux mouvements commencent et s'achèvent en môme temps. Chaque point du solide parcourt ainsi un arc d'hélice joignant ses positions extrêmes; toutes les hélices des divers points sont tracées sur des cylindres concentriques et ont un même pas.

On voit donc que le déplacement le plus général d'un solide, en tant qu'il s'agit seulement de passer d'une position à une autre, peut être assimilé à la pénétration d'une vis dans son écrou. C'est, comme on dit, un déplacement hélicoïdaL L'axe commun des cylindres sur lesquels se trouvent toutes les hélices prend le nom ù'axe de rotation et de glissement.

Comme le déplacement d'un solide est déterminé par ceux que prennent trois de ses points (n* 19), on peut se proposer.

avec cette seule donnée, de trouver l'axe '^* °* de rotation et de glissement, ainsi que la

grandeur des deux déplacements à effectuer le long de l'axe et autour de lui. Voici comment on y arrive :

Soient A, B, C (fig- 3o) les trois points;

nommons A', B', G' leurs positions après

le déplacement et menons par un même

point 0, arhitrairement choisi, des droites

i)a. Où, Oc égales aux déplacements AA',

BB', ce, en grandeur, direction et sens.

Si l'on menait aussi par le même point O

une parallèle à l'axe cherché et si Ton

projetait sur cette parallèle les trois droites

(507 Oui Oc, les trois projetantes des extrémités a, 6, c

devraient tomber au même point, car on sait que les trois

déplacements ont des projections égales sur l'axe. Ces trois

CINÉMATIQUE PURE. 69

projelanles se trouvent donc clans un môme plan perpendiculaire à Taxe, el ce plan est connu parce qu'il contient les trois points a, by c. Donc, en abaissant de 0 la perpendiculaire Oe sur le plan abc, on aura d*abord la direction de Taxe qui sera parallèle à Oe; ensuite, si e désigne le pied de la perpendiculaire, Oe sera la grandeur commune de tous les déplacements des points du solide, en projection sur Taxe, et par conséquent la grandeur du glissement le long de cet axe. Il reste encore à trouver la position de l'axe et la grandeur de la rotation. Pour cela, on donnera d*abordau triangle ABC une translation 0<?, et il faudra trouver la rotation capable de le faire passer de la position intermédiaire ainsi obtenue ù la position A'B'C. Or celte rotation constitue un mouvement parallèle à un plan abc, (le sorte qu'on rentre dans un problème déjà traité. On le résoudrait en projetant AB et A'B' sur un plan parallèle à abc et opérant sur ces projections comme on l'a fait au n° 22 sur les lignes AB et A'B' de lay//r- 21, p. 45; le centre de rotation qu'on obtiendrait serait un point situé sur l'axe de rotation et de glissement, et comme la direction de celui-ci est déjà connue, il so trouverait ainsi complètement déterminé. Quant à langle de la rotation, ce serait celui que font entre elles les projections de AB et de A'B' dont on vient de parler.

Jusqu'à présent nous nous sommes bornés à étudier et discuter divers moyens par lesquels on peut faire passer un solide d'une position à une autre, sans prendre en considération les positions intermédiaires, et aussi sans rien supposer de particulier sur l'ordre de grandeur du déplacement. Quand ce déplacement est infiniment petit, on peut encore l'obtenir parla coexistence d'un glissement le long d'un axe et d'une rotation autour de ce môme axe, qui prend alors le nom d*ajre instantané de rotation et de glissement. Les arcs d'hélice substitués de cette manière aux éléments ds des diverses trajectoires ont toujours les mêmes extrémités que ces éléments; ils peuvent donc les remplacer en grandeur, direction et sens, mais ne leur sont point, en général, osculateurs.

Soient, à une époque et dans une position quelconques du solide, NN son axe instantané de rotation et de glissement [fig* 3i), A un quelconque de ses points situé à la distance AP = r de l'axe. Le déplacement infiniment petit A A' = ds de

ce point peut se remplacer par un arc d'hélice, conrorméineni Fijj. 3,. à ce qu'on vient de dire ; on le décomposera

en un glissement A.V == ef/ parallèle à NN, et un arc A' A' 3= re/a, décrit en vertu d'une rotation dj. autour de NN. Les quantités e/7 et doL sont les mômes pour tous les points du solide, en considérant les éléments ds parcourus simultanément par eux. Rappelons-nous maintenant que la vitesse de A n'est pas autre chose que l'élément AA'

amplifié dans le rapport -7-* Si nouff imaginons un triangle AKL homothétique à A A' A"

ayant -7- pour rapport de similitude, AK représentera la vitesse i'=->- de A, AL et LK auront les valeurs -/> r -j-dt dt al

Ainsi V sera la résultante de deux composantes rectangulaires, savoir : i* une vitesse de glissement -j- le long de Taxe, com-

mune a tous les pomts; 2° une vitesse r --=- due a la vitesse

drx.

angulaire -3- autour de l'axe, cette vitesse angulaire ne changeant pas non plus d'un point à l'autre. On a, par conséquent,

d:\^ . fd%\

^•'=^'7Ù)^'-{lS'

expression d'où il résulte immédiatement que l'axe NN est le lieu des points du solide qui sont animés de la vitesse mini-

d^ mum. Pour un point de NN la vitesse se réduit en effet à -' \

cl pour tout autre point elle est l'hypoténuse d'un triangle

d-^f rectangle ayant -7^ comme l'un des côtés de l'angle droit.

D'ailleurs il est bien évident que deux axes différents ne peuvent pas jouir de cette même propriété de minimum, sauf le cas où, la rotation disparaissant, le mouvement élémentaire se réduirait à une translation; l'axe instantané de rotation et

CINÉMATIQUE PIRE. 6l

de glissement est donc une ligne bien déterminée, quand il s'agit d'un solide ayant lui-même un mouvement élémentaire bien défini.

En raison de cette propriété de minimum, et aussi parce que les surfaces comprenant tous les points animés d*une même vitesse sont des cylindres circulaires ayant la droite NN pour axe, on donne aussi à cetle droite le nom d'axe central du mouç'enient.

Cherchons comment on pourrait trouver la direction et la

position de cet axe, ainsi que les deux vitesses ~> -j-> en

supposant données les vitesses de trois points A, B, C du solide (Jig'. 3a). Ces vitesses Aa, Bb, Ce ont, comme celle des

l'ijî. 32.

autres points du solide, une même projection -jj sur Taxe inconnu NX; si Ton transportait toutes ces vitesses parallèlement à elles-mêmes en un point 0 pris arbitrairémeni, leurs secondes extrémités devraient toutes se trouver dans un même plan perpendiculaire à l'axe. Les trois droites Oa', Ob', 07, respectivement égales et parallèles aux trois vitesses données, suffisent pour déterminer le plan dont il s'agit, puisqu'on a trois de ses points, a', b\ c'. La perpendiculaire Oe à

62 PREMIÈttE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

ce plan donne la direction de Taxe, en môme temps que la

dr

valeur de -j-i projection d'une vitesse quelconque sur NN ou

Oe. Pour avoir la position de l'axe NN, on remarquera que le mouvement de la projection AiBiCi de ABC sur un plan P perpendiculaire à NN est uniquement dû à sa rotation autour de cette droite ou, ce qui revient au même, autour de son pied Ni dans le plan P. Les vitesses de A,,Bi, C| sont connues; ce sont les projections de A a, B^, Ce (n<» 13), c'està-dire les droites Aiûi, Bi^i, CiC,, égales et parallèles à ea'y 7P, ëc'. Si donc on mène en Ai, B», Ci les normales à ces vitesses projetées, elles iront concourir en Ni sur l'axe, ce qui achève de le déterminer; de plus, on aura

Ai«ii^NiAi-^> Bi6,iz.NiB,^, Cl Cl " ^'i^i^'

et la vitesse angulaire -^ se tirera de l'une de ces trois équa-

dt tions.

Remarque, — La nécessité de trouver un point de rencontre

unique Ni pour les trois normales NiAj, NiB,, Ni Ci et une

di.

seule valeur de -j- par les trois équations qui peuvent la donner, montre qu'on n'e^t pas en droit de choisir arbitrairement les vitesses de trois points d'un corps solide. Mais c'est là un point de vue sur lequel nous ne donnerons pas ici de plus amples explications.

Afou{'emenC continu le plus général d'un solide. — Le mouvement continu d'un solide, quel qu'il soit, peut toujours être regardé comme formé par la succession d'une infinité de déplacements élémentaires, à chacun desquels répond un axe instantané de rotation et de glissement. Le lieu de ces axes dans l'espace forme une première surface réglée, gauche en général, laquelle reste fixe pendant le mouvement du solide. Secondement, on peut concevoir, dans l'une des positions du solide, le lieu des droites qui lui appartiennent et qui viendront ou sont déjà venues successivement se placer suivant l'axe instantané; on a ainsi une autre surface réglée, fixe dans

CINÉMATIQUE PURE. 63

le solide et se déplaçant avec lui d'un mouvement commun. D'après leur définition même, ces deux surfaces ont sans cesse une génératrice commune, Taxe instantané actuel; il est facile de reconnaître qu'elles sont tangentes le long de cette génératrice. En effet, le glissement et la rotation qui se font le long ou autour des deux génératrices confondues sur une même droite, ne troublent pas leur coïncidence,'et à la fin de ce double mouvement, une autre génératrice de la surface mobile sera venue s'appliquer sur la surface fixe, suivant le nouvel axe instantané qui doit succéder au précédent; on peut donc considérer les deux surfaces comme ayant simultanément, à l'instant final qu'on vient d'indiquer, deux génératrices communes infiniment voisines l'une de l'autre, et, par suite, elles sont tangentes, comme nous l'avons dit. Quant au mouvement de la surface mobile, ce serait un simple glissement le long de la génératrice commune, si la rotation s'annulait; si celle-ci subsistait seule, on verra plus loin que la surface mobile roulerait sur l'autre. Dans le cas général, on peut dire qu'elle roule et glisse tout à la fois le long de la génératrice de contact. On a ainsi une image géométrique du mouvement continu du solide.

On peut en donner une autre. Prenons un point A dans le solide et imaginons trois axes de coordonnées de direction constante, ayant toujours A pour origine. Pendant que chacun des deux systèmes, axes et solide, se déplace en vertu de son mouvement propre, le second possède, relativement au premier, un mouvement dans lequel A reste fixe : on peut donc avoir le mouvement relatif au moyen d'un cône fixe dans le solide, qu'on ferait rouler sur un autre cône fixe par rapport aux axes (n'» 24). Ces deux cônes ont pour sommet commun le point A, et le second est en translation commune avec les axes et ce point. Donc, en résumé, le mouvement le plus général d'un solide se produit en faisant rouler un cône lié à ce solide sur un autre cône qui a même sommet, et qui est animé d'un mouvement de translation égal à celui du sommet commun, considéré comme point du solide.

64 PnE.\lIÈR£ PARTIE. — CHAPITRE PREMIER,

§ III. — Mouvement composé et mouvement relatif d'un point.

26. Définitions ; observations générales, — On appelle mouvement relatij d'un point celui qu'il a par rapport à un solide en niouvcmenl, el qu'on peut constater parla variation de ses coordonnées dans un système d'axes (S) faisant partie du solide. Le mouvement de celui-ci ou du système (S) est nommé mouvement d'entraînement. Le mouvement absolu du point se constaterait par le changement de ses coordonnées dans un autre système (S') qu'on saurait en repos; il prend aussi le nom de mouvement composé, en tant du moins qu'on l'étudié en prenant pour données le mouvement relatif et le mouvement d'entraînement, dont il est en quelque sorte un produit.

Au lieu d'une combinaison de deux mouvements, on pourrait en imaginer une qui en comprendrait un nombre quelconque. On supposera un point en mouvement dans un système (S), mobile lui-même par rapport à un autre (S'), qui aurait aussi un mouvement par rapport à un troisième (S"), el ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un système fixe (S„).

Les mouvements que nous pouvons observer à la surface de la Terre ne sont que des mouvements relatifs, puisque la Terre possède un mouvement dans l'espace; ce dernier est luimôme le résultat de plusieurs mouvements, savoir : le mouvement diurne, le mouvement annuel, ceux de précession et de nutation, auxquels il faut sans doute ajouter un mouvement du Soleil parmi les étoiles et peut-être d'autres encore. La notion des mouvements composés s'offre donc tout naturellement à notre esprit. D'ailleurs il arrive bien souvent qu'un mouvement se définit d'une manière simple et facilement saisissable en le considérant comme composé de plusieurs autres, tandis qu'on aurait beaucoup de peine à démêler ses lois si on le traitait directement comme un mouvement absolu, sans faire usage de la décomposition dont il s'agit. Cela suffit pour faire comprendre l'importance de la question générale que nous abordons maintenant, et qu'on peut énoncer comme il suit :

On demande de déterminer le mouvement composé d'un