CI.NÉMATIyCE PURE

Ki{T. 33.

point, quand on a une définition suffisante des mouvements dont il est le résultat.

27. Recherche de la trajectoire d'un point dans un mouvement composé, — Supposons d'abord un mouvemenl composé seulement de deux autres. Un point M se déplace, en vertu d'un mouvement relatif, par rapport à un système (S) comprenant trois axes coordonnés Ox, Oj, Oz (fig. 33), et ce système se déplace, en vertu d'un mouvement d'entraînement, par rapport aux axes OV, O'j', 0'^', formant le système ^\\^ de comparaison (S'). La figure représente la position de (S) à une certaine époque. Le mouvement relatif du point étant censé connu, on a les valeurs de ses coordonnées x, j, z en fonction du temps; on peut donc tracer, pour cette position ^' des axes, sa trajectoire relative MM, M,... et savoir les époques iy tut^, ... auxquelles correspondent les positions quelconques M, M„ M„ ... de ce point. Au temps t, le point mobile est bien réellement en M, et ce point M appartient à sa trajectoire absolue, aussi bien qu'à sa trajectoire relative; mais, pendant que le mobile allait de M en M„ le système (S), avec la trajectoire MM, M,... qui lui est liée, a subi un déplacement en vertu du mouvement d'entraînement, de sorte que M, n'est pas la position réelle du mobile au temps ^,. Pour l'avoir, il faudra donner au point M„ considéré comme faisant partie du système (S), le déplacement M,M; pioduit par le mouvement d'entraînement pendant l'intervalle de temps ti-t; on obtiendra ainsi le point M', de la trajectoire absolue, répondant à l'époque /,. On aurait de môme M;, qui répond à l'époque ^„ et ainsi de suite; la trajectoire absolue MM'jM'j. . . peut donc se construire par points. Cette construction se résume dans la règle suivante : Tracer la trajectoire relative dans la position qu'elle occupe à une époque déterminée t; puis donner à chaque point M, de cette courbe un déplacement MjM; égal à celui que produit le

RfcRSSF. ^ Cours de Mèc, I. ç

mouvement d'entraînement pendant le temps compris entre l'époque t et celle où le point mobile est arrivé en M^ sur sa trajectoire relative. Le lieu des points M.\ est la trajectoire absolue.

Si, au lieu de deux mouvements composants, il y en avait un plus grand nombre, le système (S') ne serait plus fixe, mais mobile relativement à (S^), qui léserait lui-môme par rapport à (S*^), etc. Imaginons que ces divers systèmes soient placés dans les positions qu'ils occupent à une même époque t. Dans ce cas, la courbe MM',M', . . ., obtenue comme on vient de le dire, ne serait plus que la trajectoire relative du point M, par rapport au système (S) pris dans la position contemporaine de Oa:yz (c'est-à-dire celle où il se trouve à Tépoque t). En parlant de cette nouvelle trajectoire relative, et tenant comple du mouvement d'entraînement de (S') par rapport à (S"), la répétition d'une construction analogue donnerait une troisième trajectoire relative, que Ton aurait encore à combiner de la môme manière avec le mouvement d'entraînement de (S") par rapport à (S''). Il est clair qu'une opération semblable répétée un certain nombre de fois conduirait finalement à trouver la trajectoire du point mobile relativement au système fixe (S;,), c'est-à-dire la trajectoire absolue.

On aurait pu prendre pour données la trajectoire absolue, avec les mouvements d'entraînement successifs, et déterminer les diverses trajectoires relatives par lesquelles on vient de passer. Il suffirait d'imaginer que les divers déplacements dus aux mouvements d'entraînement sont décrits en ordre et en sens inverses. Pour nous borner au cas de deux mouvements composants, par exemple, si, dans la /ig. 33, on donnait la courbe MMiMj... trajectoire absolue, il est bien éviden qu'on retrouverait la trajectoire relative MM1M2. . . en décrivant à partir de chaque point tel que M\ un arc ]Vr,Mi, égal et contraire à celui qu'il avait fallu décrire pour passer de la dernière de ces trajectoires à la première.

28. Composition des vitesses d'un point. — Faisons décroître indéfiniment les arcs MMi, MiMj, MM\ {Jig, 33) et la durée correspondante t^-^ t du parcours de ces arcs par le point mobile; à la limite, les arcs peuvent se remplacer par leurs

CL^ÉMATIQUE Pt'RE. 67

cordes, en grandeur, direction et sens. Si nous concevons ensuite que les côtés du triangle infiniment petit MMiMi soient

amplifiés dans le rapport -> ils représenteront trois vî-

lesses, savoir :

La vitesse absolue, égale à lim * •

La vitesse relative, égale à lim