MM

-.aie cl mil ;

Enfin la vitesse dite vitesse d'entraînement, exprimée par lim — ^^—^ 7 celle que prendrait le point Mi (ou M à la limite)

s*il devenait fixe dans le système (S). Or, dans le triangle MMiM',, le côté MM\ est la résultante

géométrique de MMi et de MjM', ; on a donc, par la considéralion du triangle semblable, le théorème suivant :

Lorsqu'un point se meut relativement à un système animé lui-même d'un certain mouvement, la vitesse absolue de ce point est la résultante de sa vitesse relative et de sa vitesse (l'entraînement.

On aurait pu tout aussi bien considérer MMi comme la résultante de MM'i et deMjMi, ce dernier côté devant être alors parcouru en sens inverse de celui qu'on avait d'abord dû suivre; donc, les hypothèses de Fénoncé précédent restant les mêmes, nous pouvons ajouter :

La vitesse relative d' un point est la résultante de sa vitesse absolue et de sa vitesse d'entraînement prise en sens contraire.

Nous sommes arrivé à ces théorèmes en nous servant du point M, situé à Tintersection des trajectoires absolue et relative dans \dLfig. 33; néanmoins cela ne particularise rien, car l'époque r, à laquelle se rapporte la position attribuée aux axes mobiles, reste absolument arbitraire, et Ton aurait pu la choisir de manière à faire passer la trajectoire relative par tout autre point de la trajectoire absolue. Les théorèmes cidessus restent donc vrais pendant toute la durée du mouveuienl.

Dans le cas où le mouvement d'entraînement, qu'on vient

de supposer absolu, serait lui-môme un mouvement composé de plusieurs autres, comme on l'a vu au n" 27, la résultanle de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement, telle qu*on vient de la trouver, ne serait plus la vitesse absolue du point, mais sa vitesse relativement au second système d'axes (S'). En la composant avec sa vitesse d'entrainemenl produite par le mouvement de (S') relativement à (S'), on aurait une seconde résultante qui serait la vitesse absolue dans l'hypothèse de (S") fixe, ou une nouvelle vitesse relative dans le cas contraire. Cette composition successive des vitesses finirait toujours par donner la vitesse absolue, égale à la résultante de la vitesse relative du point dans (S) et des vitesses qu'il aurait s'il était lié à chacun des systèmes (S), (S'), . . ., (S„i), dans le mouvement que ce système possède relativement au suivant. L'ordre suivi pour la composition est d'ailleurs indifférent (n° 11), et toutes les vitesses composantes peuvent se traiter de la même manière.

29. Emploi de la transformation des coordonnées, — Nous nous bornerons à étudier le cas auquel se rapporte Idi Ji^. 33, dans lequel on a seulement deux systèmes de comparaisons, l'un O^j-s mobile, l'autre 0' x'y' z' fixe. On définira le mouvement du premier en donnant, pour chaque valeur du temps t : i° les coordonnées $, r,, Çde l'origine 0, relativement aux axes fixes; a** les cosinus directeurs a^ b, c, (7i, 6,, c,, a*, bi, c, de chacune des lignes 0 j?, 0 v, 0^ dans le système 0' jt', O'y'y O^z'. Les deux systèmes d'axes étant supposés rectangulaires, CCS neuf cosinus doivent satisfaire h six relations distinctes qu'il est inutile de rappeler; écrivons seulement les formules de transformations

a'= 5 4- aœ -+- a^y -h a^z, j)^' — T, 4- 6 j -f- ^1 >' -\- bi z, z' = Ç 4- c J? -f- c,7 4- c^z,

OU encore

œ=za (a'-|)4-6 (/-.r,)4-c (^'-ï), z ■^^,(a'-î)4-^(y--T))4-C,(.'-C).

CINÉMATIQUE PURE. 69

Puisque Ç, r,, Ç, ainsi que les neuf cosinus, sont donnés en fonction du temps, le premier groupe définit les coordonnées absolues du point quand on donne les coordonnées relatives, c'est-à-dire qu'il permet de trouver le mouvement absolu au moyen du mouvement relatif et du mouvement d'entraînement ; inversement, le second groupe permet d'avoir le mouvement relatif au moyen des deux autres.

Supposons, comme exemple particulier, que les axes mobiles soient animés d'un mouvement de translation ; ils conservent dans ce cas des directions constantes, qu'on peut prendre pour celles des axes fixes. Supposons de plus que le point dont on étudie le mouvement soit en repos absolu à l'origine O'. Il faut faire alors

J:'=0, J''=:o, 5' =: O, ainT, 61=1, Cj= I, 6=0, C-=iOy «1=0, Ci=:0, «,mO, ^ji^ o,

et le second groupe devient

Les coordonnées de 0' dans le système 0xj5 deviennent égales et contraires à celles de 0 dans le système O'x'/'^s', ce qui serait d'ailleurs bien facile à voir sans calcul. Il résulte de ce fait que, si l'on construisait la trajectoire relative de 0' et la trajectoire absolue de 0 dans un même système d'axes, les deux courbes seraient symétriques relativement à l'origine; elle seraient égales en les supposant planes.

Par exemple, le Soleil décrit, dans une année, relativement à des axes de direction constante menés par le centre de la Terre, une ellipse ayant l'un de ses foyers en ce point; on peut en conclure que, relativement à des axes de direction constante menés par le centre du Soleil, la Terre décrit une ellipse égale, ayant de même ce point pour l'un de ses foyers.

La différentialion des équations précédentes conduirait sans peine à la composition des vitesses, démontrée par un autre moyen au n° 28; on pourrait aussi arriver, par une seconde différentiation, à connaître l'accélération totale dans l'un des deux mouvements absolu ou relatif, quand l'autre est donné, ainsi que le mouvement d'entraînement. Mais les calculs sont

assez prolixes, principalement quand il s'agit des accélérations; nous nous en tiendrons par conséquent aux démonstrations géométriques du n^ 28 et du n* 30 ci-après.

30. Composition des accélérations, — Nous nous proposons de déterminer l'accélération dans le mouvement composé d'un point. Nous allons d'abord le faire en supposant ce point en mouvement relatif par rapport à un système de comparaison mobile, animé lui-même d'un mouvement absolu de

translation. Concevons la trajectoire relative comme faisant partie du système mobile et se transportant avec lui ; soient AB {Jig. 34) sa position au temps t, M la position du point mobile

sur cette courbe à la môme époque, MMi l'arc élémentaire parcouru dans le temps dt, en vertu du mouvement relatif. Pendant ce môme temps dt, AB s'est déplacé et a pris la position A'B',par l'effet du mouvement d'entraînement, de sorte que MM, est venu en M 'M', et que le point mobile M est arrivé en M',, ayant parcouru un arc MM', sur sa trajectoire absolue. Sa vitesse absolue en M est égale à la résultante CE de deux vitesses, l'une CD égale à la vitesse d'entraînement, l'autre DE égale à la vitesse relative (n** 28). Pareillement, en M', nous aurions la vitesse d'entraînement CF et la vitesse relative FG, donnant une résultante CG égale à la vitesse absolue. Donc la vitesse acquise élémentaire, dans le mouvement absolu, est représentée par la ligne EG qui joint les extrémités de ces deux résultantes {n^ 15). Menons maintenant en F une droite FIT égale et parallèle à DE; de plus, joignons DF, EH,

CINÉMATIQUE PURE. Jl

GH. La droite EG est résultante de EH et de HG, et, en ampiîOant les côtés du triangle dans le rapport -t-j on peut dire

aussi que --rr est la résultante de -j— et de —5-^ • Le premier at dt dt

de ces quotients exprime Taccélération absolue du point mobile (n*» 15) ; nous allons voir la signification des deux autres.

D'après la construction qu'on vient de faire, EH est égal et parallèle à DF, CD représente la vitesse d'entraînement en M, CF la vitesse analogue en M'^ ou en M', car dans un mouvement de translation tous les points se meuvent simultanément avec la même vitesse (n<* 20); donc DF est la vitesse acquise élémentaire dans le mouvement d'entraînement pendant le parcours

DF

MM', et --r— est l'accélération correspondante. D'un autre

côté, FH et FG sont les vitesses relatives en M et M', ou M| ; par suite, la vitesse acquise élémentaire dans le mouvement

ÏÎG

relatif est HG, à laquelle répond l'accélération-^^- Donc nous pouvons conclure que :

L'accélération absolue est la résultante de V accélération d'entraînement et de l'accélération relative.

S'il s'agissait de trouver cette dernière, on verrait par le même triangle HGE que HG résulte de la composition de HE et de EG. Par conséquent :

L'accélération relative est la résultante de i accélération d'entraînement prise en sens contraire, et de V accélération absolue.

La démonstration précédente ne subsisterait plus si les axes mobiles et, avec eux, la trajectoire relative n'avaient pas un mouvement de translation. Voici comment on pourrait procéder dans le cas d'un mouvement d'entraînement quelconque, lequel d'ailleurs sera toujours censé absolu.

Supposons encore la trajectoire relative emportée avec les axes mobiles; soient AH {/ig, 35) sa position au temps ty M cl Ml les positions occupées sur cette courbe par le point mobile aux temps / et / -+- dt. Pendant le temps dt^ la trajec-

Fig. 33.

loire AB se transporte on une position différente A'B', sur laquelle le point M de AB est venu en M' et M, en M', ; M', est

donc la position réelle du point mobile après le temps diy pendant î» lequel il a parcouru un arc MM, (le sa trajectoire absolue. Le passage de AB à A'B', dû au mouvement d'entraînement, peut toujours s'eflfectuer au moyen de deux déplacements successifs; on donne d*abord à tous les points une translation égale au déplacement MM' de M dans ce mouvement, et, en vertu de cette translation, le point Ml arrive en /w, sur la position intermédiaire ab de AB, ayant décrit Tare Mi/zi égal et parallèle à MM'; après celte translation, il ne reste plus qu'à donner une rotation autour d'un certain axe instantané M' -s passant nécessairement en M' (n<» 24), puisque ce point est arrivé à sa position fmale sur A'B' et reste immobile dans le trajet de ab îi A'B'. En vertu de cette rotation, le point m de ab décrit un arc m^\\ ayant pour rayon la perpendiculaire mV abaissée de m sur Taxe, et arrive ainsi à sa position finale M',.

Maintenant désignons par

*'> ^V> ^\ les vitesses absolue, relative et d'entraînement en M,

c'est-à-dire les vitesses avec lesquelles sont parcourus les

arcsMM',,MMi,MM'; jyjrjje les accélérations totales correspondantes; je une quatrième accélération , dite complémentaire y dont la

définition sera donnée plus loin; indt l'angle infiniment petit /?iPM', de la rotation, to étant la

vitesse angulaire de cette rotation; a l'angle mW z^ c'est-à-dire l'angle fait par l'axe de rotation

avec la vitesse relative «v, qui a la direction de M'/?i.

On a vu (n'* 28) que la vitesse v peut s'obtenir par la composition des vitesses (v et tv, c'est-à-dire (n** 11) qu'elle est la diagonale du parallélogramme construit sur ces vitesses. Si donc nous portons une longueur Ml) == r,.^^ suivant la tan-

CINÉMATIQUE PURE. 78

gente en M à MMi, et une longueur MC — ^^e^t suivant la tangente à MM' au môme point, la diagonale ME du parallélogramme MDEC construit sur ces deux droites aura une longueur vdt et la direction de r, ou de la tangente à la trajectoire absolue MM|, car MDEC est semblable au parallélogramme

de composition des vitesses r,. et ('«. Donc EM'j est la déviation (n® 18) dans le mouvement absolu, et l'on a par conséquent

em; =:y - -.

D'un autre côté, on voit immédiatement que les lignes DMi et CM' sont des déviations dans les mouvements relatif et d'entraînement de M, de sorte que

DM,=r.y,^, CM'-^y,^.

Pour arriver à la relation qui existe entre ces déviations ou les accélérations correspondantes, menons encore Mi F égal et parallèle aux lignes MC et DE, et enfin joignons EF et Y m. La figure DEFMi est un parallélogramme, comme ayant deux

côtés opposés égaux et parallèles; donc EF, égale et parallèle

dt'

àDMi, a pour valeur y,. — \ dans la même figure, Mi F w ayant

ses lignes Mi m, Mi F respectivement égales et parallèles à MM' et MC, il s'ensuit que Fm est aussi égal et parallèle à CM'

et a pour valeur /g Or EMj est la résultante du contour

EF, F/w, mM',; donc, en multipliant toutes les lignes par le rapport -7-^ j ce qui produirait un polygone de composition horaothétique àEF/wM'^, on pourra dire que :

L'accélération absolue j est la résultante de trois accélérations, savoir : l'accélération relative, V accélération d'entraînement et une troisième composante, à laquelle on donne le nom t/ 'accélération complémentaire.

L'accélération complémentaire, dirigée de m vers M'j, a

pour expression — -r^ ; il reste encore à en définir, d'une

manière plus précise et plus nette, la grandeur, la direction et le sens. Remarquons à cet effet que le triangle M'mP peut être, à la limite, considéré comme rectiligne; l'angle en P étant droit, on a donc

mP z^iM'msinmM'P = r,. ^^sina et, par suite.

mM'j = mV X angle wPMj =:r v^dtsina x t»idl. Donc Taccélération complémentaire /c, qui s'obtient en mul-

tipliant m'M, par -j-^y a pour grandeur '

yV= 2(o(';.sina.

Quant à la direction et au sens de Je, ils sont identiques avec ceux du déplacement mM\ que la rotation instantanée wdt donne au point m ou à tout point situé sur le prolongement rectiligne de l'élément M' m, et en particulier au point G, situé sur la tangente en M' à cet élément, à la distance a^v. Ce point G est à une distance atvsina de Taxe instantané M'^ et /c est égal à sa vitesse dans la rotation autour de cet axe. Donc, en résumé :

L'accélération complémentaire coïncide en grandeur, direction et sens avec la vitesse que prend, en vertu de la rota-tion instantanée dans le mouvement d'entraînement, V extrémité d'une droite représentant le double de la vitesse relative du point mobile.

Il reste sous-entendu dans cet énoncé que Taxe de la rotation instantanée doit toujours être amené à passer par le point mobile. Rien n'est d'ailleurs plus facile. Quand un môme mouvement élémentaire ou fini d'un solide est remplacé de diverses manières par une translation suivie d'une rotation, cette dernière ne varie pas, non plus que la direction de son axe. Si donc, d'après la définition immédiatement donnée du mouvement d'entraînement, l'axe instantané de rotation ne passait pas en j\r (ou M à la limite), il suffirait de l'y transporter parallèlement à lui-même, en conservant la même valeur de la vitesse angulaire.

GINÉXATIQUE PURE. 7$

S'il s'agissait de trouver l'accélération relative au lieu de l'accélération absolue, on y arriverait encore par la considération du même quadrilatère EF/nMj. On voit que le côté EF de ce quadrilatère est la résultante de EM'j, M'^m, m¥;

donc, en imaginant tous les côtés multipliés par -7-5? on aura

ce théorème :

L'accéléralion relatwe est la résultante de l'accélération absolue, de V accélération d'entraînement prise en sens con^ traire et d'une troisième accélération égale et contraire à l 'accélération complémentaire,

Coriolis, qui avait obtenu les mômes résultats par l'emploi de la transformation des coordonnées, a nommé cette dernière composante accélération centrifuge composée. Il paraît difficile de bien saisir les raisons de cette dénomination, d'ailleurs un peu longue et qui s'est néanmoins conservée.

Supposons maintenant que le système de comparaison (S), auquel on rapporte le mouvement relatif du point mobile, ait un mouvement d'entraînement composé de deux mouvements; ainsi (S) se meut par rapport à un autre système (S'), lequel se meut lui-môme relativement à un système fixe (S"). Dans ce cas, on opérerait d'abord sur le mouvement relatif du point dans le système (S) et sur le mouvement de celui-ci par rapport à (S'), en le considérant comme un mouvement absolu d'entraînement; alors l'application de la méthode précédente conduirait à trouver une accélération qui serait considérée comme absolue par un observateur emporté dans le mouvement de (S'). Mais, en réalité, ce ne serait encore qu'une accélération relative, puisque (S') n'est pas fixe; il faudrait recommencer une opération analogue; en combinant cette accélération relative qu'on vient de trouver avec l'accélération d'entraînement et l'accélération complémentaire qui répondent au mouvement absolu de (S'). Dans le cas d'un plus grand nombre de mouvements composants, ce serait toujours la même chose; seulement l'opération dont on vient de parler se répéterait un plus grand nombre de fois.

Dans le cas particulier où tous les mouvements d'entraînement successifs seraient des translations, on se trouverait

j6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

ainsi conduit à trouver Taccéléralion absolue égale à la résultante géométrique des accélérations du point mobile dans ses divers mouvemenls composants.

Applications. — i° Point en repos absolu, rapporté à un système d'ajces qui tourne uniformément autour dune droite fixe. — Soient 0 {fig. 36) l'origine d'un système d'axes qui tourne uniformément, dans le sens indiqué parla flèche, avec

une vitesse angulaire tx>, autour d'une

'^'(î- ^^- perpendiculaire au plan de la figure; M

Ac un point immobile dans ce plan. Pour

un observateur entraîné avec les axes,

h^ le point paraît décrire un cercle de

aj^i^ 1 2o)»r rayon OM — r, et il semble le parcourir

*» . "• avec une vitesse constante MB=:a)r,

^/ tA égale et contraire à MA = ai/-, vitesse

d'entraînement qu'aurait le point s'il était lié aux axes; il faut en effet que la résultante de MB et de MA soit nulle, puisque c'est la vitesse absolue d'un point immobile.

Nous pouvons maintenant chercher l'accélération absolue de M au moyen des théorèmes précédents et vérifier qu'elle est nulle. L'accélération relative et l'accélération d'entraînement sont l'une et l'autre celle d'un point qui décrit uniformément un cercle avec la vitesse w/-; chacune d'elles se réduit à sa composante centripète, dirigée de M vers 0 et égale

tu* rà -— - ou (0*/- (n° 15). Leur réunion donne 2o>*r, dans les

mêmes direction et sens. D'autre part, l'accélération complémentaire est égale à la vitesse que prend l'extrémité C d'une

droite MC =i2MB représentant le double de la vitesse relative, en vertu de la rotation w autour d'une parallèle menée en M à l'axe 0; cette vitesse wMC, ou 2(o2r, perpendiculaire à MG et par conséquent parallèle à OM, est en outre dans le sens-de 0 vers M. Donc cette dernière composante de l'accélération absolue détruit les deux premières et la résultante est bien nulle, comme on le savait d'avance.

2" Accélération d'un point rapporté à des coordonnées rectilignes ou à des coordonnées polaires dans un plan, — Les

CINÉMATIQUE PIRE. 77

coordonnées œ^ y, z d'un point mobile M, dans un système fixe de trois axes Ox, Oj, 0^, définissent le mouvement absolu de ce point quand elles sont liées au temps t par trois relations que nous concevons mises sous la forme

Or le mouvement du point peut être aussi regardé comme un mouvement composé de la manière suivante : le point M glisse sur une droite (D) toujours parallèle à Taxe des j?, pendant qu'un point P, fixe sur la droite (D), glissesur une droite (D') parallèle à 0/ et contenue dans le plan des j-g; la distance PM est toujours /(^) et la coordonnée/ du point P est toujours ^{t); enfin le plan (D, D') des deux droites se déplace simultanément par une translation parallèle à Taxe des z, de telle sorte que la coordonnée z commune à tous ses points ait à chaque instant la valeur ^{t). Il est clair que de cette manière le point serait sans cesse défini par les mêmes coordonnées ^, r, z; son mouvement absolu serait donc demeuré identique à ce qu'il était.

Appliquons maintenant les théorèmes sur la composition des accélérations, en considérant d'abord le plan (I), D') comme immobile. Il ne restera au point que son mouvement relatif sur la droite D et un mouvement d'entraînement parallèle à l'axe des j; comme ce dernier est une translation, l'accélération dans le mouvement composé est la résultante

de l'accélération relative —r-. y et de l'accélération d'cntraîne-

ment -y^- Mais cette résultante n'est elle-même, au fond,

qu'une accélération relative, par rapport au plan (D,I)'), pris pour système mobile de comparaison. Comme ce plan est animé d'un mouvement d'entraînement qui est encore une translation, la première résultante se compose avec l'accélé-

(p z ration ~. de ce mouvement. Donc enfin l'accélération abso-

d^ jc d^ Y d^ z lue est la résultante des accélérations -i-^ > -pj j -r-^ ? respectivement parallèles aux trois axes coordonnés, comme nous l'avions déjà démontré par un autre moyen (n" 16).

«j8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

Supposons encore un point M {fig. 87) rapporté à des coordonnées polaires dans un plan. On concevra ce mouvement comme produit en faisant glisser le point M le long du rayon

vecteur OM pendant que ce rayon ^^^' •^7- vecteur tourne autour du point fixe