CHAPITRE PREMIER
/• dt
dt
OU, en nommant V le double de la vitesse aréolaire (n* 12),
i dV r dt '
Si Ton sait a priori que cette composante doit être nulle, ou, en d'autres termes, que l'accélération totale doit passer par le centre fixe 0, il en résulte que V ne peut varier; la vitesse aréolaire doit alors rester constante, et Taire engendrée par le rayon vecteur varie proportionnellement aux variations du temps.
3<* Accélération totale d'un point lié à un cercle qui roule uniformément sur une droite: rayon de courbure de sa tra^ jectoire, — Soit un cercle OC {ftg* 38) qui roule sur une droite (\jc; son centre 0 décrit alors une droite parallèle. D'après les principes généraux établis au n® 25, nous pouvons toujoui's concevoir le mouvement du cercle comme produit par la coexistence d'une translation recliligne égale au déplacement du point 0 et d'une rotation autour de ce point.
Soient v la vitesse de la translation, o) celle de la rotation, r le rayon OC; nous aurons la vitesse du point C qui sera la résultante d'une vitesse d'entraînement t' et d'une vitesse relative wr (n° 28), car le cercle tourne avec la vitesse w autour de 0, par rapport à des axes de direction constante, emportés avec la vitesse v. Ces deux composantes sont dirigées suivant la même droite et leur résultante a pour valeur v — wr. Or on sait d'un autre côté (n<» 22, c) que le centre instantané de rotation du cercle se trouve en C; donc
Fiç. 38.
r — to /•
Il y a un rapport constant r entre les vitesses i^ et w : c'est la condition nécessaire du roulement; mais nous admettrons de
CINÉMATIQUE PURE. 8l
plus, comme condilioa de son uniformité, que rel m sont invariables avec le temps.
La recherche de Taccélération d'un point quelconque M pris dans le plan du cercle devient alors bien facile. Dans son mouvement relatif, ce point décrit uniformément un cercle de rayon ÔM avec la vitesse angulaire w; son accélération se réduit à Taccélération centripète oi^MO, dirigée de M vers 0. Dans le mouvement d'entraînement recliligne et uniforme suivant O i*, l'accélération est nulle ; de plus l'accélération complémentaire est nulle, parce que ce second mouvement est une translation. Donc l'accélération absolue du point M se réduit à co'MO.
Ce résultat conduit sans peine à la connaissance du rayon de courbure de la trajectoire décrite parce point. Menons en effet la normale CM à cette courbe et abaissons du centre 0 la perpendiculaire OP sur CM; la composante centripète de l'accélération absolue est w^MOcosOMP ou to*MP. D'autre part, la vitesse angulaire autour de C est encore w, car on sait (n° i25) que, dans les diverses combinaisons d'une translation avec une rotation pou.r représenter un mouvement déterminé d'un solide, la rotation reste la môme; le produit wMC exprime donc la vitesse absolue de M, et par conséquent, en nommant p le rayon de courbure demandé, on a
d'où
MP
Le centre de courbure se trouverait d'ailleurs sur le prolonirement de MC au-dessous de Cx, puisque l'accélération cen-
tripète a le sens de M vers P et que J=-, égal à ^=^ , est plus ^ MC MP
i^rand que l'unité, d'après la relation précédente.
Remarquons enfin que, dans le cas particulier où le point M est pris sur la cijvonférence OC, MP devient égal à ^MC, et, par suite, pi=:2MC; le rayon de courbure d'une cycloïde est double de la normale. On retrouve ainsi un théorème connu.
Bresse. — C*uis<ie Méc, !.. G
§ IV. — Mouvements élémentaires composés on relatifs
d'un solide invariable.
