Définitions et observations générales. — Un des moyens

par lesquels on peut définir le mouvement d'un solide invariable (S) consiste à donner son mouvement par rapport à un autre solide (S'), puis le mouvement de (S') par rapport à un troisième 'solide (S"), le mouvement de (S") par rapport à un solide suivant (S''), et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un solide Çxxe^ (S«). Le mouvement absolu de (S) se nomme alors un mouvement composé, et les mouvements dont il est le résultat sont dits mouvements composants.

Dans le cas particulier où il n'y aurait que deux mouvements composants et où, par conséquent, le solide (S") resterait ï\\Qy on nomme ordinairement mouvement relatif le mouvement de (S) par rapport à (S'), c'est-à-dire celui qui se manifeste par la variation des coordonnées de tout point de (S) dans un système d'axes faisant partie de (S'); le mouvement absolu de (S') prend alors le nom de mouvement d'entrainement. Souvent on a besoin de rechercher le mouvement relatif de deux solides (S) et (S'), connaissant le mouvement absolu de chacun d'eux. Or on a vu (n** 27) qu'on passe des positions successives d'un point sur sa trajectoire absolue à ses positions contemporaines sur sa trajectoire relative par les mêmes opérations qui avaient permis d'obtenir les premières au moyen des dernières, sauf qu'il faut changer le sens du déplacement produit par le mouvement d'entraînement; cela pouvant s'appliquer à un point quelconque de (S), nous en conclurons que le mouvement relatif de ce solide est un mouvement composé, résultant de son niouvement absolu et du mouvement de (S') pris en sens contraire. C'est d'ailleurs ce qu'on peut établir plus directement, en parlant de ce principe évident qu'on ne change rien aux positions relatives d'un ensemble quelconque de points quand on déplace en bloc tout le système, comme un solide invariable, puisque les distances de tous les points entre eux ne sont alors auc\inement modifiées. Si l'on prend ce mouvement commun égal et

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contraire à celui de (S'), le solide (S') est réduit au repos^ et le mouvemenl relatif demandé devient le mouvement absolu de (S), lequel mouvement est composé de son mouvement absolu primitif et du mouvement commun, égal et contraire au mouvement primitif de (S').

Ainsi donc le mouvement relatif d*un solide n'est pas autre chose au fond qu'un mouvement composé, et les deux questions n'en font qu'une.

Voici maintenant le but qu'on se propose dans Tétude des mouvements composés d'un solide. On se rappelle (n** 28) que la vitesse absolue d'un point quelconque de ce solide peut s'obtenir en prenant la résultante des vitesses qu'aurait le môme point dans chacun des mouvements composants; la môme chose peut se dire quand on multiplie chaque vitesse par l'élément dt du temps el qu'on lui substitue ainsi le déplacement du point pendant le temps dt. Or il est naturel de se demander si toutes les vitesses résultantes ou les déplacements élémentaires résultants ne pourraient pas s'obtenir en supposant au solide un seul mouvement simple, de translation ou de rotation; dans le cas le plus général, on est certain d'avance qu'il suffit de la combinaison d'une seule translation avec une seule rotation (n** 2o), ce qui se réduit en fin de compte à un mouvement hélicoïdal. On peut aussi chercher à substituer à tel mouvement donné un mouvement composé, dans lequel les mouvements composants seraient choisis de manière à donner des facilités spéciales pour la résolution de certains problèmes ou pour la démonstration de certaines théories. Tel est le double but que nous allons poursuivre, en traitant successivement des cas particuliers pour arriver au cas général.

32. Composition des translations, — Si un solide (S) est animé, relativement à un autre solide (S'), d'une translation ayant une vitesse r, pendant que (S') possède une translation absolue avec la vitesse r', la vitesse Y d'un point quelconque de (S) sera la résultante des deux mêmes composantes v et i', puisque dans une translation tous les points ont la môme vitesse (n'» 20). La vitesse résultante de chaque point sera donc produite par une translation, dans laquelle la vitesse est

la résultante de celles qui ont lieu dans les translations composantes.

Si maintenant le solide (S'), au lieu d'une translation al>solue, avait lui-môme une translation de vitesse i', relativement à un solide (S") animé d'une translation absolue de vitesse (i''), le mouvement résultant qu'on vient d'obtenir ne serait plus que le mouvement relatif de (S) par rapport à (S'); pour avoir son mouvement absolu, il faudrait encore <^omposer ce premier mouvement résultant avec le mouvement (le (S"), et l'on verrait de môme qu'on arriverait à une translation dont la vitesse serait la résultante de V et de r'', ou, ce qui revient au môme, la résultante de r, v'^ i>\

Dans le cas d'un nombre quelconque de translations composantes, on pourrait appliquer le môme procédé de procbe en proche, et l'on arriverait toujours à conclure que le mouvement élémentaire résultant est une translation dont la vitesse est la résultante de celles qui ont lieu dans les translations composantes.

Il est également visible que deux groupes de translations composantes peuvent se remplacer l'un l'autre quand les deux vitesses résultantes sont égales, puisqu'ils donnent lieu au môme mouvement résultant.

33. Composition des rotations autour d'axes parallèles. — Comme on a déjà pu le voir dans diverses occasions, quand on sait composer deux mouvements, on sait par là môme en composer un nombre quelconque. Bornons-nous donc à supposer des rotations autour de deux axes 0 et 0' {/ig. 39), .^ „ perpendiculaires au plan de la fi-

D gure; leurs vitesses angulaires sont

c ^^^ ^..^^ to et o)', et nous leur supposons d'a-

^ t *^ "^ ^ bord un môme sens, indiqué parles

^^ t^ — - — j, Héches. On peut admettre, si l'on

y veut, qu'un solide (S) tourne autour

° de l'axe 0 relativement, à un solide

(S') avec lequel il a celle ligne commune, pendant que (S') tourne autour de la droite li\c 0'; il s'agit do trouver le mouvement élénienlaire al)so]u <le (S).

Dans le uiouvemenl composé ainsi défini, la vitesse relalive

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et la vitesse d'enlraînemenl d*un point quelconque de (S) sont toutes deux perpendiculaires à la direction commune des axes; il en est par suite de môme de leur résultante, vitesse , absolue du point. On peut donc dire que toutes les vitesses du mouvement absolu, à un instant quelconque, sont parallèles au plan de la figrure, et que par conséquent le mouvement élémentaire absolu se réduit à une rotation autour d'un axe perpendiculaire à ce plan (n° 22), c'est-à-dire parallèle aux axes O et 0'.

Cberchons maintenant un point de cet axe, ce qui suffit pour le définir, sa direction étant connue. A cet effet, déterminons sur la droite 00' un point A tel qu'on ait

(i) wOA—w'O'A;

ce point aura une vitesse relative AB exprimée par wOA, une vitesse d'entraînement AC exprimée par ui'O'A, et par conséquent une vitesse absolue nulle, puisque ses deux composantes sont dirigées perpendiculairement à 00', directement opposées et égales d'après l'équation ci -dessus. Donc le point A appartient à l'axe instantané demandé. Ainsi deux rotations de même sens autour d'axes parallèles produisent, pour chaque point, la même vitesse résultante qu'une rotation unique autour d'un axe parallèle aux deux premiers, contenu dans leur plan et partageant leur distance en parties inversement proportionnelles aux vitesses angulaires des rotations composantes.

Il reste encore à trouver la vitesse angulaire de la rotation résultante. Pour cela, on remarquera que le point 0 n'a pas de vitesse relative, et que par conséquent sa vitesse absolue se réduit à la vitesse d'entraînement OI) = u>'00'. Or, en nommant û la vitesse angulaire cherchée, la vitesse absolue du même point 0 s'exprimerait aussi par iiOA; donc

aÔÂ — to'ÔO' = <«^(ÔÂH- CVÂ) et par suite

û =1 w'-hw

OA ou, en vertu de (i),

86 PREMIÈRB PARTIB. — CHAPITRE PREMIER.

La vitesse angulaire dans le mouvement résultant est donc la somme des vitesses angulaires dans les mouvements composants. Le sens de la vitesse w'OO' du point 0 fait d'ailleurs reconnaître que le sens de Q est le même que celui de w et a>'.

Rien ne serait changé aux résultats que nous avons trouvés, si les deux rotations w, u>' permutaient réciproquement les rôles que nous leur avons assignés, c'est-à-dire si la seconde constituait un mouvement relatif et la première un mouvement d'entraînement. Mais il est bon de faire observer que le mouvement élémentaire, pour une position donnée du plan des deux axes, est seul identique dans les deux cas; le mouvement continu du solide diffère complètement. Supposons,

par exemple, -: constant; avec notre première hypothèse, le

centre instantané de rotation A décrirait dans le plan de la figure autour du centre 0' un cercle fwe de rayon O'A, sur lequel roulerait le cercle décrit autour de 0 avec le rayon OA, lieu des points A dans le solide mobile (n<*23); avec la seconde hypothèse, au contraire, on serait conduit à faire rouler le cercle mobile O'A sur le cercle fixe OA.

Une observation du même genre pourrait être répétée à Toccasion des diverses compositions de mouvements que nous avons à examiner plus loin. Nous nous dispenserons d'y revenir.

Examinons maintenant le cas de deux rotations de sens contraires. Soient toujours 0 et 0' {/ig. 4o) les projections des

deux axes, w et w' les vitesses angulaires, dont les sens sont mdiqucs par les flèches; on suppose, par exemple,

Xii "îilN k^ *"^ -^ ^'' ^® mouvement élémentaire ré-

 !o 0' sultant a toujours lieu parallèlement à

^D un plan perpendiculaire aux axes, ou

c au plan de la figure; c'est donc encore

une rotation autour d'un axe parallèle à 0 et 0', et il suffit de trouver un point de cet axe ainsi que la vitesse angulaire u. Pour cela, on déterminera, sur le prolongement de O'O, du côté de la plus grande rotation, un point A remplissant la condition

(a) wOAizzto'O'A;

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ce point aura une vitesse relative et une vitesse d'entraînement représentées par deux droites AB, AC, directement opposées et égales en vertu de la relation (2); donc il aura une vitesse absolue nulle et sera par conséquent un point de Taxe instantané. Quant à li, on l'obtiendra en divisant la vitesse absolue de 0, c'est-à-dire to'OO', par OA; donc