OA O'A

Donc les troisièmes côtés sont aussi perpendiculaires entre eux et dans le même rapport. La vitesse résultante AD est donc toujours perpendiculaire au plan des deux axes, parce qu'elle se trouve dans le plan perpendiculaire OAO' et dirigée perpendiculairement à l'intersection 00'; sa grandeur es! toujours wOO' pour un point quelconque.

L'ensemble de deux rotations égales et contraires se nomme un couple de rotations. On voit par ce qui précède que le couple de rotations se réduit à une translation perpendiculaire au plan des deux axes, ayant pour vitesse celle que chaque rotation prise isolément donnerait à l'axe de l'autre. Il est à remarquer que la position du plan des deux axes, la situation des axes dans ce plan, leur direction et même la vitesse angulaire sont indifférentes; pourvu que la direction du plan ne change pas et que la vitesse wOO' soit conservée en grandeur et sens, le résultat final restera toujours le même.

3i. Composition d'une rotation avec une translation perp,.^ , pendiculaire à son axe, — Supposons

une rotation avec la vitesse angulaire w

'X autour d'un axe projeté en 0 {fig. 42)

" sur le plan de la figure ; soit t' la vitesse de

^ la translation, perpendiculaire à l'axe et

par conséquent parallèle à ce même

^ plan. Menons une ligne Ox perpendi-

culaire à l'axe et à c, et prenons un point quelconque A sur

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celle ligne, du côté où les vilesses dues à la rotation sont de sens contraire à v. Les sens des deux mouvements étant ceux des flèches, la vitesse résultante du point A aura pour valeur

r — tuOA et sera par conséquent nulle si l'on prend ()A=^ — •

D'ailleurs Tensemble des deux mouvements ne produit que des déplacements parallèles au plan de la figure, et l'on sait a priori que le mouvement élémentaire résultant sera une rotation autour d'un axe perpendiculaire à ce plan ou parallèle à O (n'^li). Cet axe est donc la parallèle à l'axe 0 menée par le point A, à la distance OA déterminée comme on vient de le dire.

La vitesse absolue des points situés sur l'axe 0 se réduit à f, puisque la composante produite par la rotation s'annule pour eux; la vitesse angulaire autour de l'axe instantané A

sera donc ^=t ou -, ou enfin w. Il est aisé de reconnaître OA 1'

qu'elle a même sens que la rotation autour de 0.

Donc, en résumé, la composition des déplacements élémentaires, produits par une rotation et par une translation perpendiculaire à l'axe de celle-ci, donne lieu à une rotation égale et de même sens autour d'un axe parallèle. Les deux axes sont dans un plan perpendiculaire à la translation; l'axe du mouvement résultant est le lieu des points auxquels la rotation primitive, prise isolément, donnerait une vitesse égale et contraire à celle de la translation.

On serait arrivé aux mêmes résultats en remplaçant la translation par un couple de rotations (n*» 33), formé d'une rotation égale à u) et de même sens, autour de l'axe A, et d'une rotation contraire autour de l'axe 0. Celte dernière aurait détruit la rotation primitive, de sorte que l'autre serait le mouvement résultant.

Réciproquement, si la rotation w autour de l'axe A était donnée, il est évident que, en supposant autour d'un axe parallèle 0, arbitrairement choisi, deux rotations égales et contraires (0 et — w, on ne changerait rien au mouvement primitif. On voit, par conséquent, qu'une rotation autour d'un axe A peut se remplacer par une rotation égale autour d'un axe parai-

lèle quelconque 0 et par un couple de rotations. Ce couple, formé de la rotation primitive et de la rotation égale et contraire autour du nouvel axe, serait équivalent à une translation perpendiculaire au plan des deux axes; enfin la vitesse de translation serait égale à celle que la rotation primitive autour de A faisait prendre au point 0.

35. Axe représentatif d'une rotation, — Lorsqu'un corps solide tourne autour d*un axe OA {fig. 4^), avec une vitesse

angulaire w et dans un sens déterminé, on convient de représenter ce mouvement par une droite qui suffit à en faire connaître tous les éléments

^ caractéristiques. On porte sur Taxe de

* rotation, à partir d'une origine arbitraire 0, une longueur OA =. «d, dans un sens tel qu'un observateur, ayant la tète en A et les pieds en 0, verrait la rotation s'effectuer dans le sens des aiguilles d'une montre. Dans \^fig. 42, la courbe BMCN est le cercle décrit par un point, BMC et CNB, ses 'deux moitiés, antérieure et postérieure; l'observateur voit bien tourner de sa gauche, à sa droite, sur la première moitié BMC, si* la moitié antérieure de son corps est en avant du plan de la figure et l'autre moitié en arrière.

La droite OA, construite comme on vient de le dire, suffit à définir la position de l'axe^ ainsi que la grandeur et le sens de la vitesse angulaire : on la nomme axe représentatif de la rotation.

36. Composition des rotations autour d'axes concourants, — Soit un solide qui possède, à un instant donné, un mouvement composé de deux rotations w et w', dont OA et 0\' {fig. 44) sont les axes représentatifs. Quand on veut seulement arriver à connaître le mouvement élémentaire ou les vitesses des divers points à l'instant considéré, il importe peu (comme on l'a déjà dit au n° 33) de spécifier quelle est celle des deux rotations qui constitue le mouvement relatif ou le mouvement d'entraînement; on trouverait le même résultat dans les deux suppositions possibles.

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Remarquons d'abord que les déplacements du point 0 par l'effet des deux rotations w et w' sont nuls; le déplacement résultant de ce point est donc aussi . ,,

nul. Donc le mouvement élémentaire que nous voulons déterminer s'effectue autour d'un point fixe 0; c'est donc (n* 21) une rotation autour d'un axe instantané passant par ce point. Secondement, la vitesse absolue doit être nulle pour tous les points de cet axe, et par conséquent ses deux composantes, dues à o) et to', doivent être égales et opposées. Or, pour un point K en dehors du plan des deux axes, les deux composantes auraient des directions perpendiculaires à deux plans distincts KOA, KOA', et la coïncidence de direction ne s'établirait pas; l'axe de la rotation résultante ne peut donc se trouver que dans le plan AOA'. Ajoutons encore qu'il se trouve dans l'angle OAO' ou dans l'angle opposé ; car ces angles renferment tous les points dont les deux vitesses composantes ont des sens contraires. Maintenant il est aisé de voir que le sommet B du paralléiogramme OABA', construit sur les deux axes représentatifs AO, AO', a une vitesse absolue nulle, et qu'il est par conséquent situé sur l'axe instantané. Abaissons de B, en effet, les deux perpendiculaires BP et BQ sur les deux axes. Les deux vilesses composantes sont, pour ce point, w'.BP et w'.BQ, ou OA.BP et OA'. BQ, quantités égales, car toutes deux expriment l'aire du parallélogramme OABA'; de plus, elles sont dirigées en sens contraires : donc elles se détruisent. Donc l'axe instantané passe en 0 et en B, et par conséquent il coïncide avec la diagonale OB du parallélogramme.

Nous avons encore à déterminer la vitesse angulaire 12 de la rotation résultante, en grandeur et en sens. Pour cela, nous remarquons que la vitesse du point A se réduit à la composante produite par w', c'est-à-dire au produit de eu' par la perpendiculaire AS abaissée de A sur OA', ou enfin au produit OA'. AS, qui exprime l'aire OABA'. Celte aire s'exprime aussi par le produit ÔB.ÂÏÏ, la droite ÂK étant la distance de A à la diagonale OB. Or li est égal (n*» 21) au quotient de

la vitesse d'un point quelconque divisée par la dislance de ce

point à Taxe; donc

^ ÔB.ÂÏÏ

û = = — — OB