AU

La diagonale OH est d'ailleurs bien portée dans le sens voulu pour représenter la rotation Q (n<» 35). En effet, la vitesse ct>'. AS du point A doit tendre en arrière du plan de la figure, d'après la convention observée pour le tracé de Taxe donné OA'; Tobservateur couché sur OB, avec la tête en B et les pieds en 0, verra donc bien le point A tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.

Ainsi donc le mouvement élémentaire composé qui résulte de deux rotations autour d'axes concourants est une rotation dont Taxe représentatif s'obtient en prenant la diagonale du parallélogramme construit sur les axes représentatifs des rotations composantes.

Si l'on avait à composer trois rotations autour d'axes concourants, on pourrait d'abord composer les deux premières, puis composer la résultante avec la troisième. Finalement, on obtiendrait pour mouvement élémentaire résultant une rotation dont Taxe représentatif serait la diagonale du parallélépipède construit sur les axes des rotations composantes.

Pour un nombre de rotations supérieur à deux, les axes étant toujours supposés issus du même point, la composition des mouvements pourrait encore s'effectuer en procédant successivement par deux. Le mouvement élémentaire résultant consisterait toujours en une rotation autour d'un axe passant au point de concours des axes donnés, et l'axe représentatif de cette rotation serait la résultante géométrique des axes représentatifs des rotations composantes.

37. Composition de mouvements élémentaires quelconques, — Supposons que le mouvement élémentaire d'un solide soit composé d'un nombre quelconque de translations dont les vitesses sont V, N'y V, ... {fig* 45), et d'un nombre quelconque de rotations représentées par des droites A, A', A', avec des situations également quelconques. Chacune de ces rotations peut se remplacer par une rotation égale autour d'un axe

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parallèle mené en un point arbitraire 0 et par une translation (n* 34); après ce changement, nous aurons : i' un certain nombre de translations qui, jointes aux translations primitive- ''»c- 4^ment données, pourront se réduire à une translation unique (n** 32); ^° des rotations autour d'axes concourants en O, également réductibles à une seule. ,^a , ^

Le mouvement élémentaire du ^^/«'

solide se trouve donc finalement ^ ^

ramené à la combinaison d'une ^ "'

seule translation avec une seule

rotation. La possibilité de le réduire ainsi était connue d'avance (n*2o); elle est confirmée parce qui précède, en ce qui concerne les mouvements composés, et, de plus, on voit Tensemble des opérations géométriques à exécuter pour effectuer la réduction.

Si l'on voulait pousser la réduction jusqu'au point de n'avoir qu'un mouvement hélicoïdal , voici ce qu'on pourrait faire. Soient OR {fig- 46) l'axe représentatif de la rotation résuhante et OT la vitesse de translation; ces deux lignes sont données par les opérations ci-dessus indiquées. On remplacera la translation par deux autres dont les vitesses

Fis- V».

seraient OQ et OS, égales aux projections de OT sur OR et sur une droite perpendiculaire dans le plan TOR. La translation OS combinée avec la rota- ' lion OR donne (n"» 35^) une rotation o' égale, représentée par un axe O'R' égal et parallèle à OR, et tellement situé, que le point 0 prendrait la vitesse OS en vertu de la rotation O'R'. Nous n'avons donc plus finalement que cette dernière rotation , avec la translation OQ, suivant une parallèle à son axe, ce qui constitue le mouvement hélicoïdal.

La droite O'R' n'est autre chose que Taxe instantané de rotation et de glissement du solide (n° 25) ou son axe central •lu mouvement.

Le point O auquel nous avons transporté tous les axes de rotation parallèlement ù eux-mêmes est complètement arbitraire; mais, quel que soit ce point, la rotation OR ne change pas, car il faut toujours prendre la résultante géométrique des mêmes droites. D'ailleurs Oï n*est autre chose que la vitesse du point 0 considéré comme invariablement lié au solide , car cette vitesse résulte de OT et d'une seconde composante qui disparaît, puisque c'est la vitesse due à la rotation OR. En vertu de ce que nous avons démontré au n* 25, nous pouvons donc affirmer : i« que la projection de OT sur OR ne varie pas quand le point 0 change de position; a*» que Ô'î devient minimum en même temps que OS s'annule, quand on prend le point 0 sur O'R'.

Au lieu de ramener le mouvement élémentaire à un mouvement hélicoïdal, nous aurions pu aussi le transformer en deux rotations autour d'axes non contenus dans un même plan. 11 suffirait pour cela de remplacer la translation OT par un couple de rotations (w, — w) contenu dans un plan perpendiculaire à OT, en s'arrangeant pour que Taxe représentatif de 0) rencontre OR. La composition de w avec OR donnerait alors une rotation autour d'un axe oblique au plan du couple, laquelle resterait avec la rotation — w contenue dans ce plan.

Réciproquement, supposons données deux rotations représentées parles axes ()R, O'R' non contenus dans un même plan (//^. 47); il s'agit de réduire ce mouvement composé, Pig /j- autant que faire se peut. Nous n'y

s changerons rien en ajoutant deuï

-^ rotations représentées par deux axes

J*^ / I égaux et contraires 0R% OR*', dont

j le premier est égal et parallèle à 0' R'.

"' ^ Or, les deux rotations OR, OR' peuvent se composer en une seule, repré- ^^' sentée par OS, ligne nécessairement

hors du plan OR^O'R', car si elle y étail, ce plan serait identique à celui du parallélogramme ORSR'', et les deux axes donnés seraient dans un même plan. Quant aux deux rotations O'R', OR^, elles forment un couple réductible à une translation OT perpendiculaire au plan

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OIVO'R'. Il en résulte que OT ne peut pas êlre perpendiculaire à OS. Dès lors, la combinaison de ces deux mouvements OT et OS ne peut que se ramener à un mouvement hélicoïdal en employant le moyen ci-dessus Indiqué.

38. Décomposition d'un mouvement élémentaire quelconque en trois translations parallèles à trois axes coordonnés et en trois rotations autour de ces axes. — Soient Ox^ Oj', Oz trois axes de coordonnées, dont Torigine 0 et les orientations peuvent ôlre choisies comme on voudra. On sait d'abord (n" 25) que le mouvement élémentaire le plus général d'un solide se ramène à une translation accompagnée de rotation. Si AR (Jig, tfi) est Taxe représentatif de celte dernière et AT la translation , nous remplacerons d'abord la rotation AR par une rotation égale autour de l'axe parallèle OR' (n* 34), et par une translation qui, par sa composition avec AT, donnera une translation ÔV (n^32). Il suffira ensuite de substituer à chacun des deux mouvements OT', OIV trois autres mouvements, représentés par les côtés d'un parallélépipède qui aurait ses faces parallèles aux plans coordonnés, avec or ou OIV comme diagonale (n°' 32 et 36).

39. Expression analytique de la vitesse d'un point quelconque appartenant à un solide, — Supposons qu'on effectue la décomposition ci-dessus indiquée (n° 38), en adoptant trois axes rectangulaires; soient a, b, c les trois composantes, suivant les axes 0^, 0/, 0-3, de la vitesse de translation or— A, et p, <7, r les trois composantes de la vitesse angulaire OIV = w. Dans un temps dt, les translations produiraient sur un point quelconque M, répondant aux coordonnées x, y, -, les déplacements

adt, bdtj cdt,

respectivement parallèles aux trois axes. Déterminons aussi ce que produirait chacune des rotations p, q, r considérée

96 ^REHIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREJilER.

isolément. La rolalion p donne au point M un déplacemeiu éjral et parallèle à celui de sa projection Psur le plan des v:j: ce dernier point décrit un arc de cercle PP' autour de 0 comme centre, avec OP pour rayon et pdt pour angle au centre. La projection de PP' sur 0^ est nulle; les projections sur Oj et O2 s'obtiennent au moyen du triangle PP-Q, formé en menant par P la parallèle PQS à 0 j, et par P' la parallèle P'Q à 0^. Les triangles P P^Q, POS sont semblables comme ayant leurs côtés perpendiculaires; de là résultent les égalités

OP PS os

ou bien