W PQ

=z: := p de.

La variation de la coordonnée v, ou le déplacement de M en projection sur 0/ par l'effet de la rotation/?, est

— Y^i^ — —pzdt'y de même le déplacement suivant Oz sera

W':..pydt.

Nous avons donc

o, — pzdty pydt

comme expressions des déplacements produits par p suivant les axes. Une simple permutation circulaire donnerla ceux que produisent 7 et /*, savoir :

(fzdt, o, — qxdty — rydt, ru'dty o.

Maintenant, on sait (n^* 28 et 31) que le déplacement élémentaire absolu du point M est la résultante géométrique des déplacements produits par les mouvements composants; sa projection sur cliacun des axes est donc la somme algébrique (le celles qu'on vient de calculer. En désignant par 11, c, »• les \ri)]< composantes de la vitesse V du point M suivant O.r,

CINÉMATIQUE PURE. 97

0/, 0^, et, divisant tous les déplacements par dty on aura

donc

Iu^=:a + qz — ry, v~ b -\- rx — pZy \v ■=z c ->r py — qXy

ce qui fait connaître complètement la vitesse V (n® 12).

Remarques. — i» Lorsque la translation A n'existe pas, ou qu'on veut seulement exprimer les composantes de la vitesse produite par la seule rotation (o autour d'un axe OR' passant par l'origine des coordonnées, il faut faire a = o, 6=:o, c=:o dans les équations (i), qui se réduisent dans ce cas à

!u^=^qz — ry .

r r— rx — pZy w :=Lpy-^qx,

2* Rien n'oblige à supposer la fixité des axes 0^, Oj, 0;? dans l'espace; ils ne sont, en effet, dans les raisonnements et calculs ci-dessus exposés, rien autre chose que trois droites rectangulaires et concourantes, qui servent à faire des projections de lignes et de vitesses à une époque i quelconque, et relativement auxquelles on mesure les coordonnées a?, y y z du point dont on s'occupe. Peu importe qu'ils demeurent immobiles ou qu'ils se déplacent suivant une loi quelconque, puisque nous n'en avons considéré qu'une seule position.

Si l'on suppose que les axes restent immobiles, Xy y, z varieront en fonction du temps, et les dérivées rry j^ -r se-

at au at

roni égales (n*» 12) aux composantes m, f% w de la vitesse du point M. Si les axes avaient un mouvement quelconque, les mêmes dérivées n'exprimeraient plus que les composantes de la vitesse relative, pour un observateur entraîné avecles axes; elles ne devraient pas être égalées aux seconds membres des équations (i) ou (2), qui expriment toujours, comme on vient de le dire , les composantes de la vitesse absolue.

Souvent on choisit les axes fixes dans le solide; on y trouve cet avantage que x, y, z sont alors, pour chaque point,- des quantités ne variant pas avec le temps i, et par suite que w,

Rissse. — Cours de Méc, I. •:

i', w ne varient avec t qu'en raison des changements subis par a, ô, c, p, q, r.

3<^ On a supposé, dans les calculs qui ont conduit aux formules (i) et (2), qu'une rotation/? (censée positive) autour de Taxe Ox s'effectue dans le sens de Oj vers 0-, et que de même les rotations positives g, r autour de Oj et de 0- s'effectuent respectivement dans les sens de 0- vers 0.r et de Ox vers 0 j, en suivant toujours le même ordre des lettres

Xy y y Zf Xf y y ....

D'un autre côté, les trois grandeurs />, 7, r sont obtenues, avec les signes qui leur appartiennent, par la projection, sur chacun des trois axes coordonnés, de l'axe représentatif qui définit la rotation résultante w; il est donc nécessake que cette double détermination du signe des rotations composantes conduise à des résultats identiques. Par suite, un spectateur, ayant ses pieds en 0 et couché successivement sur OwT, O7, Os, doit voir s'effectuer dans le sens des aiguilles d'une montre les trois rotations de Or vers O2, de O5 vers Ox, de OvC vers O7. C'est ce qui a lieu quand les axes sont disposés comme dans \^Jjg> 48; mais il pourrait en être différemment, et il faut y prendre garde en choisissant les sens positifs des trois coordonnées rectangulaires.

La môme observation s*applique aux formules que nous allons démontrer au n® 4-0 ci-après, en les déduisant des formules (2).

M). Expressions analytiques des composantes de V accélération complémentaire d*un point, suivant trois axes rectangulaires fixes dans le système de comparaison, — Lorsque le mouvement absolu d'un point M résulte de la composition de son mouvement relatif par rapport à un solide ou système de comparaison (S), avec le mouvement d'entraînement de ce système, on a démontré (n*» 30) que l'accélération absolue de M est la résultante de l'accélération relative, de l'accélération d'entraînement et d'une troisième composante nommée accélération complémentaire. En supposant que le mouvement élémentaire de (S) soit décomposé : i** en une translation identique avec Tare de trajectoire décrit par son point en

CINÉXÀTIQué PURE.

coïncidence avec M à l'époque considérée; 2^ en une rotation autour d'un axe passant par ce point, Taccélération complémentaire est égale à la vitesse que prend, en vertu de cette rotation, l'extrémité d'une droite égale au double de la vitesse relative.

Cela posé, soient Ox, O7, Oz {/ig. 49) trois axes rectan-

l'ig- 49-

gulaires fixes dans le système de comparaison (S); Ma^', M/', M^' des axes parallèles menés par le point de (S), coïncidant avec le point mobile M à répoque t; MG la droite qui représente à cet instant le double de la vitesse relative iv, et MA = w l'axe représentatif de la rotation instantanée. Les projections de Vr sur 0^, O7, Oz, et par conséquent aussi sur les parallèles Mx', My, Mz'y s'obtiendront en prenant les dérivées des coordonnées X, /, z du point M relativement au temps; donc les projections de MG , ou les coordonnées a:', y, z' du point G seront

Si maintenant nous nommons p, q, r les composantes de la

vitesse angulaire co (ou plutôt de son axe représentatif MA) suivant M j?', Mj', Mz', les formules (2) du n'^SO, où l'on mettra pour x, y, z les valeurs ci-dessus indiquées ^', y, z', donneront immédiatement les composantes de la vitesse de G par l'effet de w, savoir :

"^di,

dt dz

^ dt ^ dt

^( dy dx\

^'=^\PTt--'JTtp

ce sont les composantes de l'accélération complémentaire suivant Mo:', Mj', M;;', ou ses projections sur Ox, 0/, 0*.

lOO PBEaifcftE PAKTIC. — CBAPlTftE PftEJUEm.

Pour Taccélération centrîruge composée (n* 30) , il faut prendre les mêmes expressions changées de signe.

De quelque manière qu'on décompose le mouvemenl d'entraînement de (S) en translation et rotation, cette dernière ne varie pas (n*25)y de sorte que l'axe MA reste constant et conserve les mêmes projections />, y, r sur Ox, O^', Oc. A ce point de vue, nous pouvons dire qu'il n'y a rien dans les dernières formules qui tienne particulièrement aux axes ^x\ \Ly'y Me'; ils nous ont servi pour la démonstration, mais ils deviennent inutiles dans l'application pratique des formules.

4-1. De quelques particularités que peut présenter le mouvemejit relatif de deux sur J aces solides en contact. — Quand deux surfaces solides se meuvent l'une par rapport à l'autre en restant toujours tangentes, leur mouvement relatif élémentaire peut offrir des particularités auxquelles on a donné divers noms; le sens exact d'une même dénomination varie quelquefois un peu suivant les auteurs, et nous allons en conséquence donner une définition précise de celui que nous adoptons dans chaque cas.

Nous supposerons d'abord un seul point de contact commun aux deux surfaces.

Si le mouvement relatif élémentaire se réduit à une rotation autour d'un axe dirigé suivant la normale commune au point de contact, nous dirons qu'il y a pivotement. Le point de contact ne varie ni sur une des deux surfaces ni sur Tautre, et le plan tangent commun conserve la même position ; si donc le mouvement relatif se prolonge pendant un temps fini, ce devra être une rotation finie autour d'une droite ï\\e par rapport à chacune des deux surfaces.

Si le mouvement relatif élémentaire consiste en une rotalion autour d'une droite passant par le point de contact et . , contenue dans le plan tangent commun,

nous l'appellerons roulement simple.

Les deux plans tangents aux surfaces S 6t S' {fig> 5o), menés au point de contact M, actuellement confondus en un seul, vont nécessairement, si chacun d'eux reste solidaire avec sa surface, se séparer par reifel de ce mouvement, après

CINÉMATIQCE PURE. lOI

lequel ils feront entre eux un angle égal à celui de la rotation. Les surfaces ne peuvent donc continuer à être tangentes en M, et le point de contact se déplace au moins sur Tune des deux. Ajoutons tout de suite qu'il se déplace aussi sur l'autre ; car, en considérant sur chacune d'elles la courbe lieu des points qui arrivent successivement au contact, on démontrerait, par la répétition exacte des raisonnements du n'^âS, que le déplacement du point commun est égal sur les deux courbes, et que celles-ci restent constamment tangentes entre elles. On voit par là que le mouvement relatif de ces courbes présente tous les caractères qui servent ordinairement à définir le roulement en Géométrie; c'est pour cela que nous appliquons le même mot au mouvement relatif des surfaces S, S', en lui ajoutant Tépithète simple, pour le distinguer d'un autre, dont nous allons bientôt parler.

Lorsque le mouvement relatif élémentaire se réduit à une translation parallèle au plan tangent commun, nous le nommons glissement simple.

Quel que soit le mouvement relatif élémentaire de deux surfaces, on peut toujours le remplacer par une rotation dont l'axe passe au point de contact, accompagné d'une translation (n*»2o). Je dis que, si les surfaces doivent continuer à rester tangentes l'une à l'autre, la translation sera nulle ou parallèle au plan tangent. Soient, en effet, S et S' {fig. 5i) les positions des deux surfaces à une certaine époque, S, et S'i leurs positions après un temps infîniment petit dt. Les surfaces se touchaient d'abord au point M de S ou M de S'; après le déplacement elles se touchent en m, le point M étant venu en M, sur Sj, et le point M' en M'j sur S'j. Ces deux points Mi, M'i sont infiniment voisins de m, puisque les trois points se confondent en M à la limite; donc les dislances de Ml et M', au plan tangent en m sont infiniment petites du second ordre, et par conséquent la direction MiMj est dans le plan tangent m Ti (oti bien, à la limite, dans le plan langent MT en M), ît moins que la longueur M, M'j ne soit aussi du deuxième ordre. Or MiMj est le déplacement relatif de M' par rapport à M; c'est aussi le déplacement dû à la

f02 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

translation dont nous parlions tout à Theiire, car les points M et M' ne se séparent pas en vertu d'une rotation sur i*a\e de laquelle ils sont situés. La translation jouit donc bien de la propriété ci-dessus énoncée; elle s'annule si MiM'i est du deuxième ordre et, dans le cas contraire, elle a une direction parallèle au plan tangent MT.

La rotation pouvant d'ailleurs se décomposer en deux (n"36), Tune autour de la normale commune, l'autre autour d'un axe contenu dans le plan tangent, il en résulte que le mouvement relatif élémentaire des deux surfaces peut toujours être considéré comme composé d'un pivotement, d'un roulement simple et d'un glissement simple. Toutes les fois que ce dernier ne sera pas nul, nous conserverons à l'ensemble le nom glissement (sans épithète); ainsi le glissement diffère du glisseifient simple en ce que ce dernier se réduit à une translation parallèle au plan tangent, tandis que le premier comprend en outre une rotation autour d'un axe passant au point de contact. La translation MiMj sera nommée arc de glissement, et

sa vitesse *, *• vitesse de glissement. C'est la vitesse relative

avec laquelle se séparent les points M et M', actuellement confondus au point de contact.

Lorsque la translation ou, si l'on veut, le glissement disparaît, mais qu'il reste une rotation autour d'un axe passant par le point de contact et oblique au plan tangent, nous conserverons encore le nom de roulement (sans épithète).

Dans ce dernier mouvement, comme dans le roulement simple, on établirait, par la même démonstration, que les courbes, lieux des points des deux surfaces qui arrivent successivement au contact, roulent Tune sur l'autre, en ce sens qu'elles restent toujours tangentes et que le point de contact se déplace également sur chacune d'elles. La démonstration ne suppose effectivement en rien que l'axe de rotation soit une tangente commune aux deux surfaces, mais seulement qu'il passe au point de contact.

Jusqu'à présent nous avons supposé des surfaces qui se touchent en un seul point, et nous n'avons considéré que leur mouvement relatif élémentaire. S'il y avait un nombre quelconque de points de contact, les définitions ci-dessus données

cinéhàtique pure. io3

ne s*appliqueraient qu'autant que leurs conditions seraient vérifiées pour chacun de ces points. 11 en résulte, par exemple, que le roulement devient impossible quand ces points ne sont pas en ligne droite, car alors aucun axe de rotation ne peut les contenir tous; de même le pivotement ne pourrait se produire simultanément sur plusieurs points, sauf dans le cas où les normales en tous ces points se confondraient toutes en une seule droite.

Enfin, s'il s'agissait d'un déplacement fini, on devrait le considérer comme produit par une suite de mouvements élémentaires, à chacun desquels on donnerait le nom qui lui convient, suivant la classification précédente. Le môme nom ne serait conservé pour le mouvement total que si les caractères indiqués par l'une des définitions se rencontraient toujours dans chacun de ces mouvements élémentaires successifs.