SENS
DE Ll TRAXSVISSIO?! 1
constant on changeanl slmallanemenl
poar iM d
1" CLASSB :
eux corps.
périodiquement Tariable.
S* CLAUB ;
S* GLASKB :
Rapport des Tltesses
Rapport des vitesses
Rapport des Tilesses
constant.
Tsriable.
constant on Tariable.
1" genre :
Cylindres et cônes de friction. •
Excentriques à galets, à cadre;
Pièces
Engrenages
Cames, courbes
cames
en
divers.
roulantes.
des marteaux
Contact
Cames et pilons.
Roues de Rœmer.
et
immédiat.
Vis et écrous.
Vis sans fin.
des pilons.
2* genre :
Bielles
Emploi
Accouplement
et manivelles.
d'un
de roues.
Manivelles jointes
Parallélogramme
lien rigide
Renvois
par une bielle.
de Walt
ou de
de sonnettes.
Joint universel.
et divers autres
plusieurs
liens articulés.
Tiges et varlets.
systèmes articulés.
Encliquetages.
Poulies et tambours pour cordes,
3* genre :
chaînes
Tambours
Emploi
et courroies.
coniques
d'un lien
Treuils
réunis
flexible.
et cabestans.
Poulies de renvoi,
de tension.
xMouQes et palans.
par une corde.
CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. IIO
45. Engrenages cylindriques; théorie générale» — Dans la première classe et le premier genre, le cas le plus usuel et le plus important est celui de la transmission du mouvement de rotation d'un corps tournant autour d*un axe fixe à un autre corps tournant autour d'un second axe fixe; on peut le subdiviser en trois cas plus particuliers, savoir :
Axes de rotation parallèles ;
Axes concourants ;
Axes non situés dans un même plan.
Nous allons d'abord supposer les axes parallèles, en nous donnant en outre la condition que les vitesses angulaires sont de sens contraires. Soient 0 et O' (y?^. 55) les intersections des axes par un plan perpendiculaire à leur direction commune, co et w' les deux vitesses angulaires dans les sens marqués par les flèches, vitesses dont le rapport est
égal à la quantité donnée — • Prenons sur
00', dans l'intervalle entre 0 et 0', un point A déterminé par la condition d'avoir
et traçons les circonférences ayant 0, 0' pour centres, ÔÂ, O'A pour rayons. Ces circonférences rendues solidaires, la première avec l'axe 0, la seconde avec l'axe 0', se toucheront constamment au point A de 00', pendant toute la durée du mouvement. De plus le point A de contact, considéré successivement comme appartenant aux deux circonférences, aura les vitesses w.OA, w'.O'A égales en vertu de la relation qui définit la position de ce point; ces vitesses ayant de plus une direction commune, suivant la tangente en A aux deux cercles, el le même sens, il en résulte que la vitesse relative des deux points des circonférences actuellement confondus en A est nulle. Donc le point A est, à un instant quelconque, le centre instantané du mouvement relatif élémentaire des deux circonférences, l'une par rapport à l'autre. Par suite, ces circonférences roulent l'une sur l'autre (n<» 23) dans leur mouve-
ii6
PRBHlftKE PARTIE. — CBAPITRE DEUXiÈXE.
ment relatif. Réciproquement, si les deux circonférencef roulent l'une sur l'autre dans leur mouvement relatif, le rapport des vitesses angulaires sera constant; car, pour qu'il j ait roulement, il faut (n** M) que la vitesse relative des deui points actuellement en contact soit nulle, d'où résulte
— tu O ' ï a
co.OA :=:a>'.0'A OU bien -> = -^^^^^ z= — :•
Si les deux vitesses angulaires étaient de même sens, il faudrait prendre le point A en dehors de rinter>'alle OC, du côté de la plus grande vitesse angulaire. Soit, par exemple,
«i> > (II'; il y aura ^fig. 56) un point A sur le prolongement de O'O, tel que
Fig. 56.
(XÂ
tl)
Si Ton trace ensuite les circonférences ayant 0, 0' pour centres, OA, O'A pour rayons, et qu'on les rende respectivement solidaires des axes 0 et 0', on voit de la môme manière que ces deux circonférences roulent l'une sur l'autre dans leur mouvement relatif, et que, réciproquement, si cette condition du roulement est remplie, les vitesses angulaires demeurent dans un rapport invariable.
Ces considérations conduisent à une première solution du problème consistant à transmettre le mouvement de l'un des
axes à l'autre, sous la condition de conserver —, constant. Ima-
ginons, en effet, que les circonférences OA et O'A sont les sections droites de doux cylindres ayant leurs génératrices parallèles aux axes de rotation et respectivement solidaires avec ces axes. Ces deux cylindres roulent l'un sur l'autre, tout comme leurs sections droites; et réciproquement, si ce roulement existe, il y a un rapport constant entre les vitesses angulaires. Il suffit donc, pour résoudre le problème, d'obliger ces cylindres à prendre un mouvement relatif de roulement l'un sur l'autre. On y parvient en établissant entre eux, par des movens faciles à concevoir, une pression mutuelle suffisante;
CLNÉHATIQL'E APPLIQUÉE. II7
il en résulte un frotteraent ou adhérence qui empêche les surfaces de glisser Tune sur Taulre. On obtient ainsi Tappareil nommé cylindres de friction.
Dans le cas de la Jig, 55, on aurait deux cylindres convexes; dans le cas de \2Lfig. 56, le cylindre convexe OA serait à l'intérieur du cylindre concave O'A. Il faudrait toujours, bien entendu, que ces surfaces cylindriques fussent prises sur des corps matériels d'une certaine épaisseur, de manière à présenter une rigidité suffisante.
Les cylindres de friction n'assurent pas complètement la transmission de mouvement de Tun des deux axes à l'autre , car il y a glissement dès que la résistance à vaincre dépasse une certaine limite; aussi préfère-t-on généralement adapter aux cylindres OA, O'A des parties saillantes et rentrantes, formées par des portions d'autres surfaces cylindriques, ayant encore leurs génératrices parallèles aux axes, et tellement dessinées que la transmission devienne obligatoire. Les cylindres OA, O'A se nomment cylindres primitifs et leurs sections droites circonférences primitives; les parties ajoutées sont les dents, et l'ensemble constitue un engrenage cylindrique com'^ prenant deux roues. Dans le cas de Idifig* 55, l'engrenage est dit extérieur; il est, au contraire, intérieur si l'une des circonférences primitives se trouve renfermée à l'intérieur de l'autre, comme dans la^^. 56.
Le rapport des vitesses angulaires devant toujours rester
constant, les circonférences ^^^- ^'- primitives doivent encore rou-
ler l'une sur l'autre dans leur mouvement relatif; pendant ce roulement, les profils de deux dents conjuguées sur les deux roues restent en contact, puisqu'il faut que l'un oblige l'autre à se déplacer. Ainsi donc, soient 0 et 0' les deux axes (fig. 57), AB le profil des dents sur la roue 0, AD le profil conjugué sur la roue 0'; si l'on donne à la circonférence primitive OA son mouve-
Il8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DRUXIËME.
ment relatif de roulement sur la circonférence primitive O'A, supposée immobile, la première circonférence entraînant avec elle la courbe AB, cette courbe devra, dans toutes ses positions, rester tangente à la courbe AD, et par conséquent AD est l'enveloppe des positions prises par AB dans le déplacement relatif dont on vient de parler.
Cela posé, représentons la nouvelle position prise par la circonférence OA, après qu'elle aura roulé de manière que l'arc AA^ de grandeur quelconque, se soit appliqué sur l'arc de même longueur AA'. Dans cette position OiAi, le point de contact A' est le centre instantané de rotation du mouvement relatif, et l'on sait {n^ 22, c) qu'il se trouve sur la normale commune menée à l'enveloppe et à l'enveloppée, au point correspondant où elles se touchent. Si donc nous traçons dans la circonférence Oj Aj la courbe A,B, , nouvelle position de AB après le roulement, et si nous abaissons de A' la normale A'C, sur AjBi , le pied C, de cette normale sera le point où AD doit toucher A,Bi. En répétant un certain nombre de fois la même construction, pour diverses positions de la circonférence roulante OA, on aurait autant de points qu'on voudrait de la courbe AD, avec les normales correspondantes; donc on peut déterminer l'un des deux profila conjugués, quand on se donne l'autre.
La construction qu'on vient d'indiquer présente l'inconvénient d'exiger le tracé de la courbe AB dans une série de positions différentes; mais il est facile de l'éviter. On peut, en effet, abaisser de A'' la normale A^C sur AB; quand, par l'effet du roulement. A' sera venu en A' et que AB coïncidera avec AiBi, A^'C devra coïncider avec A'C,. Comme, de plus, le rayon PX" se sera placé dans le prolongement de O'A', on voit qu'on aura le point Ci en traçant, à partir de A', la droite A'C, =: A^'C, qui fait, avec le rayon 0|A', l'angle OiA'C, = OA'C. On reporterait de même la normale atc abaissée d'un autre point quelconque en a'ci; il faudrait prendre arc Aa'=: arc Aa, a'c^ :=iac, angle oa'c, = angle Oac.
Souvent, dans la pratique, au lieu de construire les normales A'C| , a' Ci , . . ., on se borne simplement à décrire, des points k'a'f . . . comme centres, des arcs de cercle ayant pour rayons respectifs A'^C, ac, ... ; l'enveloppe de tous ces cercles
CINÉMATIQUE APPLIQUÉE.
Fig. 58,
est ensuite tracée approximativement et donne la courbe AD avec une exactitude suffisante.
46. Théorème et construction de Savary. — Cet auteur a donné un théorème et une construction géométrique simple, par laquelle on obtient sans peine le rayon de courbure de la courbe enveloppe AD, connaissant les rayons de courbure des circonférences primitives et de. la courbe AB.
D'une manière générale, supposons une courbe mobile AM (yî^.58) qui roule sur une courbe fixeAM', en entraînant une courbe aji dont l'enveloppe est ^^'. Actuellement les points de contact sont A et a, et la droite A a est la normale commune aux courbes aji, afi'. Soient, en outi'e, 0 et 0' les centres de courbure répondant au point A de AM et de AM', C et C les centres de courbure pour le point a de aji et aji'. Désignons par
R, R' les rayons de courbure OA, O'A ;
P, p' les rayons de courbure Ca, C'a;
/>]a longueur Aot entre le centre instantané de rotation A et
le point a commun à l'enveloppe et à l'enveloppée; çTangle de la normale A a avec 00'.
Il existe entre ces six quantités une relation que nous allons établir. Pour cela, supposons un déplacement infiniment petit de la figure AMa^x, en vertu duquel les points B et B' arriveront à se superposer, les arcs AB, AB' ayant une même longueur ûfe. Après ce déplacement, la normale OB se placera en prolongement de O'B', et par conséquent l'angle de rotalion sera celui de ces deux droites, soit BOA-hB'OA, ou enfin
On peut l'exprimer autrement. En effet, la normale B p abais-
