AU

ou, en posant />=: A a, R::=AO, R'r=AO',

ïP ^(P — />)— jj; —

On lire facilement de là

On voit par conséquent que le rayon de courbure p' est égal

à la normale p amplifiée dans le rapport constant — ^-^ ^•

La disposition de la Jlg. 58 pourrait ôlre telle que la relation (i) ne fût plus exacte, à moins de changer les signes d'une ou plusieurs des lignes R, R', p, p', p. Nous n'entreprendrons pas la discussion de ces changements.

4.7. Du glissement pendant le mouvement relatif élémentaire de deux dents en contact^ dans un engrenage cylindrique, — On vient de voir que l'angle de la rotation relative élémentaire s'exprime, avec les notations du n® W, par

cfe f ^ +- ^ j ; il en résulte que le déplacement relatif des

deux points acluellement confondus en a (Jig. 58) sera

p'^'ik^w)

C'est la valeur de l'arc de glissement (n** 41).

Si les deux courbes qui roulent l'une sur l'autre, au lieu

d'avoir leurs convexités opposées comme dans la fig. 58, se

touchaient intérieurement comme les deux cercles de \2ifig. 56,

l'angle de la rotation relative élémentaire ne serait plus la

ds somme, mais j^ien la différence des angles de contingence -^

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE.

idS

ds

et ÏJ7 ' de sorte que Tare de glissement aurait pour valeur

en supposant R < R'.

L'arc de glissement de deux dents conjuguées d'un engrenage peut encore s'exprimer autrement. y\s. 6o. Supposons y par exemple, le cas de deux circonférences primitives extérieures Tune à l'autre, et soient co et to' les vitesses angulaires autour des axes 0, 0' {fig> 60). Ces circonférences sont munies de dents qui se touchent actuellement en a et ont pour normale commune la droite «A, joignant 2 avec le point A commun îaux circonférences primitives, sur la ligne des centres. Si, après un temps infiniment petit dt^ les points B et B' doivent arriver au contact en A, il faudra faire

ds:=i\^—kB' — R(orf/ — R'tu'^/; par suite, on aura pour Tare de glissement

On trouverait de môme, dans le cas d'un contact intérieur,

l'expression

p(u) — tt>')dC,

co étant supposée la plus grande des deux vitesses angulaires. On arriverait aux mêmes résultats en remarquant que le mouvement relatif de la roue 0 par rapport à 0' résulte, à chaque instant, de la composition de la rotation (d avec la rotation û>' changée de sens. Après ce changement, si Ton suppose les circonférences primitives se louchant extérieurement, comme dans la Jig, 60, les deux rolations ont toutes les deux le sens de w et donnent une résultante o) -h w', de même sens, autour de l'axe parallèle passant au point A, qui divise la distance 00' en parties inversement proportionnelles aux vitesses

Fig. fil.

angulaires (n<»33). La vitesse relative avec laquelle le pointa du cercle 0 quitte le point a du cercle 0', c'est-à-dire la vitesse de glissement (n* H), est donc Aa (w -hio') ou p (co-hw'), et Tare de glissement sera par conséquent/? (w -h w') dt^ comme on Ta déjà trouvé par une autre méthode.

II n'y aurait aucune difOcuIté à modifier cette démonstration pour Tadapter au cas du contact intérieur.

4-8. Autre méthode pour le tracé des engrenages cylindriques, — La méthode générale indiquée au n° 45 s'appelle méthode des enveloppes ; il en est une autre qu'on nomme méthode des roulettes, et que nous allons faire connaître maintenant. Elle permet de déterminer les deux profils conjugués des dents par des opérations tout à fait semblables sur les deux roues.

Soient 0 et 0' {fig- 6i) les circonférences primitives, se

touchant en A sur la ligne des centres et touchées en ce môme point par une courbe auxiliaire MAN, arbitrairement choisie. Si l'on fait rouler cette courbe MAN d'abord sur la circonférence 0, puis sur la circonférence 0', un point quelconque a invariablement lié à MAN tracera, dans ces deux mouvements successifs, deux courbes CaD, BaE, qui seront des profils conjugués, satisfaisant à la condition essentielle (n*45) de rester toujours tangents pendant que les circonférences primitives roulent l'une sur l'autre.

Supposons, en effet, que, le cercle 0' avec son profil de dent BE restant fixe, on fasse rouler le cercle 0 de manière à amener successivement chacun de ses points, tel que F, en un point correspondant F' sur le cercle 0', et que simultanément on fasse rouler MAN sur la même circonférence 0', de sorte que G vienne s'appliquer sur F' en même temps que F; les trois arcs AF^ AF', AG devront être égaux, et il en résulte que MAN roule aussi sur le cercle 0, dans son mouvement par rapport à ce cercle. Quand F et G seront sur F', le point

CIiNÉMATlQLE APPLIQUÉE. 125

décrivant a aura pris une position ^ sur la courbe fixe BE; ce point 3 appartiendra aussi à la nouvelle position BH prise par la courbe CD entraînée avec 0, car, pendant tout le déplacement, MAN a roulé sur la circonférence 0, et le point décrivant a n*a pas quitté sa trajectoire relative CD. Donc les deux profils ont toujours un point commun (le point décrivant); de plus, ils sont tangents en ce point; car, lorsque G, F, F' sont confondus, F' est centre instantané de rotation dans le mouvement absolu de MAN et dans' le mouvement de cette courbe par rapport au cercle 0, d*où il suit que F'B est à la fois normale à la trajectoire absolue B£ du point a et à sa trajectoire relative pH.

Au fond j les deux méthodes ne sont pas distinctes, et toute solution fournie par Tune d'elles peut également s'obtenir par l'autre. C'est ce qui deviendra évident si nous démontrons que, étant donné un profil arbitraire CD sur le cercle 0, nous pouvons toujours trouver une courbe MAN, telle qu'un point a invariablemenflié avec elle parcoure la courbe CD, pendant qu'on fait rouler MAN sur la circonférence 0; le profil conjugué n'étant pas arbitraire, mais bien déterminé, les deux méthodes devront nécessairement le faire retrouver sans changement et conduire ainsi au même résultat final.

Plus généralement, remplaçons la circonférence 0 par une courbe quelconque KL (y?^. 62), à laquelle nous imposerons seulement pour condition d'être rencontrée par les normales de la courbe CD. On remarquera que cette condition doit être remplie par la circonférence 0, puisque la normale commune aux deux profils conjugués vient sans cesse passer par le point de contact des deux circonférences primitives (n*> ko). Menons les normales à CD en une série de points infiniment voisins a, a', a", . . ., et soient A, A', A% ... les points où ces normales coupent la courbe KL; imaginons enfin une figure plane à laquelle a serait invariablement lié. Nous pourrons faire tourner cette figure autour du centre instantané de rotation A, de manière, à faire décrire au point

136 PRSaitBE PABTIE. — CHAPITU DEUXIÈXE.

2 Télémenl »»' perpendiculaire à la droite Az; puis nous ferons tourner autour de A', de manière à faire décrire au même point mobile Félément a' a', et ainsi de suite. Le mouvement que nous aurons donné à la figure plane aura lieu dans son plan, et Ton sait (n*23) que ce mouvement peut toujours être produit par le roulement d'une certaine courbe liée à la figure mobile, sur le lieu KL des centres instantanés de rotation. L'existence àe la courbe roulante, capable d'engendrer la courbe donnée CD par un point « de son plan, se trouve ainsi rigoureusement démontrée.

Soient MN cette courbe et £ un quelconque de ses points; nous allons chercher une relation entre la distance aE =: /- et l'angle £xA = d, ce qui donnera l'équation polaire de la courbe. A cet effet, prenons sur la courbe KL le point F où E doit arriver par l'effet du roulement. Quand cela aura lieu, le point décrivant a sera venu se placer au pied I de la normale abaissée de F sur CD; par conséquent, aE se sera superposé à ÎF et l'on a

rzulF.

D'un autre côté, MN devant toucher KL en E, on aura aussi

•/ft /- — tangatES z=z tangIFT.

Or, puisque les courbes CD et KL sont données, la longueur IF et l'angle IFT sont fonctions d'une seule variable (par exemple la longueur al) qui définirait la position du point I sur CD; il existe donc entre ces deux quantités une relation telle que

langïFT:=/(ÎF),

/étant une fonction connue. Par suite, on aura

d'où résulte, en nommant /q la valeur A a du rayon vecteur qui répond à 6 == o,

c'est l'équation demandée.

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. 12J

49. Profils d'engrenages cylindriques usités dans les machines. — Les profils ordinairement employés pour les ror.es d'engrenages cylindriques sont compris dans trois types que nous allons faire connaître, en supposant d'abord le cas d'engrenages extérieurs.

(a). Engrenage à lanterne. — Imaginons fictivement que sur la circonférence primitive 0 {Jig. 63) le profil des dents se réduise à un point A. Si Ton veut que ce point soit conduit au delà de la ligne des centres de A vers A', par le profil conjugué appartenant à la circonférence primitive 0', il faut remarquer que la suite des positions de 0 relativement à 0' rendue fixe s'obtiendra en faisant rouler 0 en arrière, vers Oi. Le point A engendre alors une portion d'épicycloïde A Ai, qui est sa propre enveloppe, et fournit par conséquent le profil conjugué. Si l'on avait voulu que ce profil commençât à pousser le point A avant la ligne des centres, il aurait fallu faire rouler la circonférence 0 à partir d'une position o prise de l'autre côté de 00', le point A étant en a. Ce point engendre alors la branche d'épicycloïde a A, se raccordant avec la première par un rebroussement. On voit par là qu'il est impossible qu'une roue conduise l'autre des deux côtés de la ligne des centres, car on ne peut construire pratiquement des dents qui présenteraient une discontinuité de ce genre.

Il y a plus, la branche A a ne saurait être adoptée pour conduire la dent A avant la ligne des centres : i^ parce que cette branche presserait le point A par sa concavité et que celte dent concave ne se prêterait pas à être établie pratiquement dans de bonnes conditions; a* parce que le point A, une fois arrivé à la ligne des centres, devrait, si l'engrenage continuait à fonctionner régulièrement en vertu de l'action de deux autres dents, se déplacer suivant AA, par rapport au cercle 0', ce qui ne pourrait se réaliser, puisqu'il faudrait pour cela que

PREMIÈRE PàRTJE. — CHAPITRE DEUXIÈME

Fig. 6}.

ce môme point A pénétrât dans le plein de la dent A a. Ou voit par là que la roue 0' portant les dents épicycloïdales ne devra conduire la roue 0, en agissant sur son point A, qu'an delà de la ligne des centres. En changeant le sens du mouvement des deux roues, le point A pousserait Tépicycloïde AAt et la roue 0 mènerait alors la roue 0' avant la ligne des centres.

Revenons maintenant à la réalité en donnant une certaine épaisseur à la dent A, que nous avions réduite à un point, et remplaçant ce point par un cercle de rayon r dont A serait le centre {,fig. 64). La circonférence 0 roulant sur la circonférence 0' rendue fixe, le point A engendre encore une portion d'épicycloïde AHC ; lorsque 0 sera en (3i et le point décrivant A en H, si Ton mène FH, cette droite sera tout à la fois la normale en H à répicycloïde et la normale abaissée de F sur la circonférence H. Donc les points I et G sont ceux où cette circonférence touche son enveloppe; par suite, cette enveloppe peut s'obtenir en allongeant ou raccourcissant d'une quantité constante HI=::HG==r toutes les normales à i'épicycloïde. On obtient ainsi deux courbes DE, de, parallèles à AC et ayant même développée que cette dernière. Comme on sait que la développée d'une épicycloïde est une autre épicycloïde, on peut définir les courbes DE, de, en disant que ce sont des développantes d'épicycloïde. Ces deux courbes DE, de resteront en contact avec la circonférence A, dans le mouvement réel des roues, au delà de la ligne des centres, si les vitesses angulaires ont les sens indiqués sur la figure; mais la courbe ^e ne peut être conservée, puisqu'elle conduirait à une dent concave. La courbe DE, au contraire, peut pousser la circonférence A.

Si l'on renverse les sens des deux rotations, la circonférence A et la courbe DE formeront encore des profils conjugués admissibles; seulement la circonférence poussera la courbe au

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. I9.9

lieu (l'ôtre poussée par elle. Dans le premier cas, 0' était la

roue menante et 0 la roue menée; dans le second, c'est l'inverse.

Dans la position A, la circonférence touche la courbe en D. En cherchant les points de cette courbe qui répondent à Tare AB de répicycloïde, on trouverait qu'à partir de D la courbe ED commence par entrer dans le cercle 0'. En effet la construction indiquée au n"» 46, pour avoir le centre de courbure de répicycloïde répondant au point A, donnerait un point K intérieur au cercle 0'; ce point K étant aussi le centre de courbure pour le point D de DE, la courbe DE peut, aux environs de D, se remplacer par un arc de cercle ayant KD pour rayon, lequel arc coupe la circonférence 0' et entre dans son intérieur, en continuant à tourner sa convexité du même côte. On voit par là qu'en prolongeant ED il serait possible de faire commencer le contact des dents un peu à gauche de 00'; mais ce serait toujours sur" une petite étendue, car le prolongement intérieur de ED ne tarderait pas à présenter un rebroussement qui rendrait son emploi impossible comme profil de dent. On peut donc dire que le contact a lieu presque entièrement d'un seul côté de la ligne des centres, avant ou après, suivant le sens des rotations.

Cest là un inconvénient de ce genre d'engrenages. En effet, quand il est possible de faire commencer le contact avant Ja ligne des centres et de le terminer au delà, on conçoit que, à égalité de l'angle total décrit par chaque roue pendant le contact de deux dents, ces dents s'écartent le moins possible de la ligne des centres, et par conséquent on diminue autant que possible la plus grande valeur de la normale menée aux deux profils par le point de contact des circonférences primitives. Donc on diminue le glissement (n® 47), et l'on verra plus tard, quand nous étudierons les forces mises en jeu dans les engrenages, que cette circonstance est avantageuse.

Ajoutons encore que, si le contact doit avoir lieu d'un seul côté de la ligne des centres, il vaut mieux que ce soit après qu'avant; nous le prouverons aussi dans la suite. Il faut donc avoir soin de placer les cercles A sur la roue menée.

La roue 0 porte un certain nombre de cercles égaux à A, régulièrement distribués sur son pourtour. Ces cercles sont

F.EE6SC. — Court de Méc, I. g

l3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUIIÈME.

les sections droites de cylindres pleins, ordinairement en métal, qu'on nomme des fuseaux. Les fuseaux, s'assemblent dans deux plateaux circulaires et le tout prend le nom de tanterne. Le plus souvent la roue 0' est de diamètre plus grand que la roue 0; elle peut être en métal ou en bois. Si les dents sont en bois, il faut les construire en bois dur. Ces dents de bois, implantées dans la jante de la roue 0', se nomment les alluchons.

Ce genre d'engrenages est très peu employé aujourd'hui.

(ô) Engrenages à flancs, — On adopte pour profil des dents sur l'une des deux roues, la roue 0 par exemple {fig> 65), un

rayon OA. Ce rayon, d'après un ihéo- ^'^' ^^' rème connu de Géométrie, peut être

^-V^ considéré comme engendré par le roule-

ment d'un cercle o, de diamètre OA, à l'intérieur du cercle 0. En effet, si nous prenons une autre position Oj de ce cercle, pour laquelle le contact avec le cercle 0 se produit en B, At étant l'intersection de la circonférence Oi avec le diamètre AC, nous aurons

arc AB = OA x angle BOA, arc AjB — -OA x angleBo^Ai;

comme, d'autre part, BoiAi=:BOA h- 0AiOi= aBOA, il en résulte que les arcs AjB et AB sont égaux. Donc, en faisant rouler le cercle o à l'intérieur de 0, le point A de o restera toujours sur le diamètre AC.

Maintenant nous pouvons faire usage de la méthode des roulettes (n« 48) pour déterminer le profil conjugué sur la roue 0'. Nous n'aurons qu'à faire rouler le cercle o à l'extérieur du cercle 0', le point A décrira l'épicycloïde AD, qui sera le profil cherché. D'après le sens attribué aux mouvements des deux roues, l'épicycloïde AD sera l'enveloppe des positions de AO quand le point A' ira en s'éloignant de la ligne des centres. On voit par conséquent que l'épicycloïde

CINÉMATIQUE APPUQLÉE. l3l

peut pousser la droite à partir de la ligne des centres et au delà; en imaginant qu'on change le sens des deux mouvements, on verrait de môme que la droite peut pousser répicycloïde avant la ligne des centres et jusqu'à cette ligne.

Rien n'empêche de prolonger le profil DA en dedans du cercle O' par un rayon AO'. Ce rayon peut être décrit par le point A du cercle o' ayant AO' pour diamètre, pendant le roulement de ce cercle à l'intérieur de la circonférence 0'; le profil conjugué s'ohtiendra donc en faisant rouler le même cercle o' à l'extérieur de 0, ce qui donnera une épicycloïde Vl)'. D'après ce qu'on vient de dire de OA et Al), le rayon AO' pourra pousser la courbe AD' avant la ligne des centres; par suite le profil composé o'AD sera susceptible de pousser le profil D' Ao des deux côtés de la ligne des centres, ou d'être poussé par lui, également des deux côtés, si l'on change le sens des rotations. Les deux roues ont donc des profils composés de la même manière et jouissent, l'une à l'égard de l'autre, des mômes propriétés géométriques. On dit alors que l'engrenage est réciproque.

Nous avons déjà signalé ci-dessus, à propos de l'engrenage à lanterne, l'avantage que l'on trouve à ce que le contact des (lents ait lieu de part et d'autre de la ligne des centres.

Les portions droites Ao, Ko' des profils prennent le nom (le flancs.

Il y a dans le profil adapté à la roue 0' une partie, l'épi- «•ycloïde AD, qui dépend de la circonférence primitive 0, puisqu'on l'engendre par le roulement d'un cercle de diamètre AO. L'engrenage à fiancs, tel que Ton vient de le décrire, ne permettrait donc pas de conduire, au moyen d'une même roue 0', diverses roues telles que 0, ayant des rayons ioégaux. Pour que cela devienne possible, on ne s'astreint pas à prendre pour rayon du cercle auxiliaire o la moitié du rayon OA; on adopte une valeur constante pour toutes les roues devant engrener avec 0', et alors les fiancs droits oA peuvent se trouver remplacés par des arcs d'épicycloïde. D'ailleurs, comme ces arcs n'ont qu'une petite longueur, ils s'écartent assez peu des profils rectilignes indiqués en premier lieu.

l3a PRBMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

(c) Engrenage à développantes de cercle, — Soient 0 p. gg et 0' {Jlg. 66) les centres des deux

circonférences primitives, OA, D'A leurs rayons. Menons par leur point de contact A une ligne TT' inclinée sur 00', abaissons des centres 0 et 0' les perpendiculaires OT, O'T' sur cette droite et décrivons les circonférences ayant pour rayons OT, O'T'. Si maintenant nous enroulons la tangente commune TT' successivement sur ces deux dernières circonférences, le point A de cette tangente décrira les deux développantes de cercle BC, B'C, qui constituent deux pro- --" fils conjugués pour les roues O et 0'.

Nous pourrions d'abord le reconnaître par la méthode générale des enveloppes (n*»45), en nous donnant la courbe BC et cherchant l'enveloppe des positions qu'elle prend quand on fait rouler la circonférence OA sur la circonférence O'A. Les normales communes, telles que la droite A'G| de la/ig, 5-, devraient être tangentes à la position correspondante du cercle OT; on en conclurait facilement qu'elles passent à la distance O'T' du centre 0' et sont tangentes à la circonférence O'T'. Par suite, les noriTiales à l'enveloppe des positions de BC étant toutes tangentes à un même cercle O'T', cette enveloppe serait une développante de ce cercle.

On peut aussi le vérifier a posteriori de la manière suivante. Imaginons que la développante B'C pousse BC et produise un certain déplacement du système, qui amène BC en bCf B'C en b'c'. En premier lieu, le point de contact des deux courbes n'aura pas cessé de se trouver sur TT', car, cette droite étant tangente aux circonférences OT, O'T' est paria môme normale à toutes leurs développantes. Soit a le point de contact de bc avec b'c'; on aura, en vertu de la définition d'une développante de cercle.

Aa^Bb^B'b',

ce qui prouve que les déplacements sont égaux sur les circon-

CINÊMÀTIQUR APPLIQUÉE. l33

férences auxiliaires OT, O'T'. Or, les déplacements angulaires

qui correspondent à \^b eX. l^' b' sont -=- et • leur

OT or

rapport est -^=zr- ou -=^- • Donc les déplacements angulaires

des deux roues (et par suite leurs vitesses de rotation) sont dans un rapport constant, inverse de celui des rayons des circonférences primitives; la condition imposée aux engrenages se trouve ainsi satisfaite.

L'engrenage à développantes est réciproque, car rien ne dislingue une des roues de Tautre dans la construction géométrique ; le contact a lieu des deux côtés de la ligne des centres, et chaque roue peut être menante ou menée. En outre, l'engrenage en question jouit de trois propriétés spéciales :

I* On peut supposer que la distance des centres 0 et 0' augmente ou diminue un peu, par suite de Tusure des supports, sans que Tengrenage cesse de fonctionner régulièrement et sans qu'il y ait changement du rapport des vitesses angulaires, car cette variation de la distance 00' n'obligerait pas à modifier les circonférences OT, O'T' qui déterminent les profils; il suffirait de modifier Tinclinaison de TT' et de changer les distances OA, O'A dans le môme rapport

que 5(P.

2* Une môme roue 0' peut engrener avec plusieurs autres roues de divers diamètres, sans qu'on soit obligé d'employer pour les dents de ces diverses roues des profils nouveaux, formés avec des courbes qui ne seraient pas des développantes de cercle ; on pourra toujours, en effet, s'arranger pour conserver invariable le rayon O'T' dans tous les couples de deux roues dont 0' fait partie, et la développante conjuguée variera seulement de grandeur, en passant d'un couple à un autre.

3« Si l'on admet que chaque dent s'use uniformément et perde en tous les points de son profil une même épaisseur mesurée normalement, le profil ne subit par là aucune altération et convient toujours pour une transmission régulière.

(d) Quelques observations sur les engrenages intérieurs, — Le tracé des engrenages intérieurs est fondé sur les mêmes principes que celui des engrenages extérieurs, et l'on

peut y employer les trois types dont nous venons de parler. Toutefois, il y a quelques observations à faire au sujet de la réalisation matérielle des profils, laquelle est sujette à certaines restrictions spéciales, surtout quand il s'agit d'un engrenage à flancs.

Premièrement, il est impossible d'adapter les flancs droits à la grande roue. Soit en effet AB {fig> 67) ce flanc supposé possible; il sera engendré F'C» G7. par le point A d'un cercle de

rayon AK = - AO, roulant sur

la circonférence primitive extérieure, dont O est le centre.

Le profil conjugué sera Tépicycloïde AC engendrée par le même point A, quand le cercle OA roulera sur la circonférence primitive intérieure dont le centre est 0'. Examinons les positions de ces profils, en donnant à AB successivement deux directions OD, OD,, symétriques par rapport à la ligne des centres 00'. L'origine A de la courbe AC se placera en deux points symétriques E, Ei, tous deux en dehors ou tous deux en dedans de l'angle DOD,; par conséquent l'un de ces deux points E, El devrait se trouver dans le plein de la dent profilée par la droite AB, ce qui ne peut avoir lieu. Si donc il arrivait que, d'un côté de la ligne des centres, les profils obligeassent les circonférences primitives à rouler Tune sur l'autre, le même fait ne pourrait se produire de l'autre côté, et l'engrenage ne marcherait pas régulièrement; et même il s'arrêterait tout à fait s'il y avait simultanément deux paires de dents en prise, l'une sur la ligne des centres, l'autre dans le voisinage, puisque ces deux paires de dents tendraient à conduire la roue menée de deux manières différentes, ce qui est irréalisable.

Rien n'empêche, au contraire, de placer des flancs sur la petite roue, quand on suppose que son raj^on ne dépasse pas une certaine limite, que nous déterminerons tout à l'heure. Les centres des circonférences primitives étant O et 0

{fig. 68), on ferait rouler le cercle de rayon AK =: - AO' suc-

aifÉMATIQUE APPLIQUÉE. l35

cessivement sur ces deux circonférences, et Ton aurait les profils conjugués AB, AC, le premier droit, le second épicycloîdal. Le flanc conduirait la courbe avant la ligne des centres, ou serait poussé par elle après cette ligne; de l'autre côté, les profils n'auraient pas de point commun.

Fig. 68.

Si Ton voulait que la conduite des roues l'une par l'autre eût lieu des deux côtés de la ligne des centres, on prolongerail les profils que nous venons d'indiquer, par les épicycloïdes AD, AD', qu'engendre le point A d'un cercle de rayon arbitraire AK', roulant successivement sur les deux cercles primitifs.

Cherchons maintenant à déterminer la limite au-dessus de laquelle ne doit pas croître le rayon O'A, ou plutôt son rapport avec le rayon OA supposé connu, pour qu'au delà de la ligne des centres le dégagement des dents puisse s'opérer (*), c'est-à-dire pour que les profils AB, AC ne se coupent pas. Afin d'arriver plus rapidement à résoudre la question, nous regarderons comme démontrées certaines propriétés des épi-

(') Nous disons au delà de la ligne des centres, en raisonnant dans Thy* pothése où le sens des mouvements de rotation serait conforme à celui qu'indique la fg, 68, et où le flanc devrait pousser l'épicycloïde. L'hypothèse inverse conduirait à la même conclusion finale; ce qui a lieu avant la ligne des centres aurait lieu après, et réciproquement.

l3G PmBMIÈBX PABTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

cvcloïdes dont voici l'énoncé : i*Sî Ton fait rouler à rintérieur du cercle û\e OA une série de cercles tels que le cercle AK, tous tangents en A, le roulement ayant toujours lieu dans le même sens, vers la gauche par exemple, les diverses épicycloïdes engendrées par A, point de contact primitif, seront placées à gauche ou à droite du rayon OA, suivant que le

rapport 4=- sera inférieur ou supérieur à -> et s'écarteront OA "^ 2

AK I d'autant plus de ce même ravon que la différence -=-

• OA

aura une plus grande valeur absolue. 2"* Lorsqu'on attribue au raj'on AK deux valeurs dont la somme est égale à ÔA, les deux arcs d'épicycloïde engendrés par A sont symétriques relativement au rayon OA et appartiennent à la même èpicycloïde complète.

Cela posé, admettons d*abord qu'on fasse O'A = - OA. Quand

le point de contact des profils sera venu sur la ligne des centres en A, et que le mouvement des roues sera continué au delà de celte position, le point A, extrémité du flanc, décrira, relativement à la grande roue, le rayon OA, puisque le mouvement de la petite roue O'A, par rapport à l'autre, consiste dans le roulement du cercle primitif O'A, à l'intérieur du cercle OA, de rayon double. Celte trajectoire relative OA, emportée avec la grande circonférence, ira toujours passer par la nouvelle position, telle que Ej, prise par l'origine des dents épicycloïdales; celles-ci resteront donc toujours à droite et en dehors du flanc. La même chose a lieu a fortiori quemà O'A prend

une valeur moindre que - OA, car la trajectoire relative du

point A, au lieu d'être le rayon OA, devient une épicycloïde placée de l'autre côté de ce rayon par rapport au profil AC.

un I

Au contraire, si le rapport dépassait-? la trajectoire

de rextrémilé du flanc par rapport à la grande roue se trouverait placée du môme côté que le profil AC; il y aurait donc tout au moins une réduction du jeu ou espace libre entre les flancs et les épicycloïdes, au delà de la ligne des centres. Et même le jeu serait réduit à zéro quand O'A atteindrait la valeur

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. iZj

^ OA) parce qu'alors la somme des rayons OK et O'A devien-

drail égale à OA, et que la trajectoire relative parcourue sur la grande roue par le point A de la petite se confondrait avec

le profil AC. Un rapport des rayons supérieur à ^ serait rigoureusement impossible, puisque les extrémités des flancs tendraient alors à pénétrer dans Tépaisseur des dents de la grande

roue.

Ainsi donc, en résumé, le rapport des rayons O'A, OA ne

doit pas dépasser la limite extrême -^j et, pour rései*ver un jeu suffisant, il convient, même dans la pratique, de rester notablement au-dessous de -•

La méthode indiquée pour les engrenages extérieurs à développantes conduit , quand on rapplique aux engrenages intérieurs, à construire des dents concaves sur la grande roue. On atténue cet inconvénient en faisant les dénis nombreuses et courtes, ce qui fait que les courbes se confondent à peu près avec leurs cordes et rendent les faces latérales assimilables à des plans.

On peut toujours éviter remploi des engrenages intérieurs au moyen d'une roue auxiliaire. Soient 0 et 0' {/i^. 69) les projections de deux axes parallèles qui doivent prendre des vitesses angulaires co, co'dans le même sens. Établissons d'abord la communication de 0 avec un troisième axe parallèle 0| par un *'•* '^*

engrenage extérieur, puis la com- / \

munication de Oi avec 0' par un ^ 1 rt/^lrt ^^ — .

second engrenage extérieur. Le /^ yC^ -\r- ^ mouvement donné à Tune des / y i ^^

roues rendra obligatoire celui des V *^ 7 Vv ^^ y deux autres, et, comme la vitesse ^- — -^ ^ \^ ^ angulaire wj autourde Taxe Oi est

de sens contraire avec <*> et w', il est clair que ces deux dernières sont de même sens. On est donc arrivé au but qu'on se

proposait, sans engrenages intérieurs. Quant au rapport -;> on

l38 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

eu (0

le déduit facilement des rapports — et — 7> connus eux-

* *^ (Dj (I)'

mêmes par les rayons primitifs r, /*,, r' des trois roues; on a

(I) r, cû, r'

d'où Ton tire, en multipliant membre à membre,

tu /•'

Le rapport est le même, en valeur absolue, que si les circonférences primitives 0 et 0' roulaient directement Tune sur l'autre; le seul rôle de la roue intermédiaire 0, consistée changer le sens de la rotation reçue par la roue menée.

{e) Engrenage d'une roue avec une crémaillère. — On peut concevoir que dans un engrenage cylindrique on fasse grandir indéflniment Je rayon de Tune des circonférences primitives, en conservant Tautre circonférence constante. Le

corps solidaire avec cette dernière aurait un mouvement de rotation autour d'un axe i\\^ 0 {Jig. 70), pendant que le corps solidaire avec la première au- ^ ., rait une translation (n®21) parallèle à la

- droite AB, limite de la circonférence

primitive à rayon infini. La droite AB devant rouler sur la circonférence OA, la vitesse est la même sur ces deux lignes; si l'on nomme co la vitesse angulaire autour de 0 et p la vitesse de translation, on aura

Fig. 70.

r =rco.()A.

On aura donc ainsi transformé un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne, avec la condition que les vitesses conseiTcnt un rapport constant.

La transmission de mouvement entre les deux corps pourrait s'opérer par simple adhérence, comme dans le cas des cylindres de friction (n<»/i.5), mais le plus souvent ils sont tous deux munis de dents; le corps 0 se nomme alors roue ou pignon, et AB se nomme crémaillère. Dans tous les cas, le

cinéxàtique appliquée. i39

corps AB doit être, bien entendu, assujetti entre des guides qui assurent le mouvement rectiligne.

Les profils des dents se trouvent sans peine, en introduisant rhypolhèse particulière d'un rayon infini dans les propositions ci-dessus établies, au sujet des trois types d'engrenages usités. Nous ne dirons rien du premier, qui s'emploie rarement, surtout quand il s'agit d'une crémaillère. Dans le second, nous pouvons d'abord supposer une circonférence auxiliaire ayant un rayon oA moitié du rayon (M de la roue i^fig- 71); en la faisant roulersurlacirconférence primitive OA, le point A engendrera le '^^ ^*' flanc AO, et, dans son roulement sur / N la droite primitive AB, le môme point o \ A décrira la cycloïde AD, qui sera le ^ / ; ^ /y

profil conjugué de AO. Pour l'autre i^ y ^

roue (remplacée ici par la crémail-. ^^ ^'\ "

1ère), la circonférence primitive a un *^ii d, ^| ? rayon infini, et il en est de même

pour la circonférence auxiliaire, de rayon deux fois moindre; à la limite elles se confondent toutes deux avec la droite AB. Le roulement intérieur de la deuxième de ces circonférences sur la première fait toujours décrire au point A le flanc AC, puisque c'est là un résultat indépendant du rayon des circonférences, pour\^u que leur rapport reste celui de i à 2. La droite AB roulant ensuite sur le cercle OA engendre par son point A la développante AD' do ce cercle, laquelle forme le profil conjugué de AC. En résumé, le profil CAD des dents de la crémaillère comprendrait un flanc droit suivi d'une cycloïde ; celui des dents du pignon, un flanc droit suivi d'une développante de cercle. Le mouvement étant supposé avoir lieu dans le sens des flèches, la crémaillère conduirait la roue; la développante AD^ serait poussée par le flanc AC, à gauche de OC, et le flanc oA serait poussé par la cycloïde AD, à droite de la même ligne. On pourrait aussi changer le sens des deux mouvements, de manière à faire conduire la crémaillère par la roue; ce cas est môme plus ordinaire que le premier.

L'emploi du flanc AC sur la crémaillère présente un inconvénient : la perpendiculaire abaissée au point A sur ce profil, dans l'une quelconque de ses positions, A,C| par exemple, est

toujours la droite AB, qui tombe constamment au même point Al du profil. Le contact se fait donc continuellement en ce point, ce qui tend à produire une usure rapide des dents. On préfère souvent remplacer les profils AC et AD' par une cycloïde et une épicycloïde qu'engendrerait le point A d'un cercle de rayon arbitraire, dont le centre serait sur le prolongement de 04, et qu'on ferait rouler successivement sur AB et sur la circonférence OA.

On peut également appliquer au cas de la crémaillère la construction géométrique dé l'engrenage à développantes. Soit OA {fi g. 72) la circonférence primitive de la roue, touchée en A par la droite primitive de la crémaillère. On mènera par ce point la droite inclinée AT et Ton décrira le cercle de rayon OT qui la touche en T. La développante BAC de ce cercle formera le profil des dents de la roue 0. Quant au profil conjugué, ce sera la limite de la développante d'un cercle dont le point de contact T' avec AT s'éloigne indéfiniment; le rayon de courbure de cette développante en A tend vers l'infini et la courbe se confond avec une droite EAD perpendiculaire à TT'.

(/) Détails sur les dents d'engrenages, — On donne ordinairement aux dents une forme symétrique par rapport aux rayons menés en leurs milieux, afin qu'une même roue puisse conduire l'autre dans les deux sens, ou bien pour que la même roue puisse être alternativement menante et menée, sans changer le sens du mouvement.

Toutes les dents d'une même roue sont égales et également espacées; la distance qui sépare deux profils identiques, répétés sur deux dents consécutives, dislance mesurée sur la circonférence primitive, se nomme le pas de l'engrenage. Après que deux profils en prise se sont avancés chacun d'un pas, sur leurs circonférences respectives, ils sont remplacés par deux autres qui fonctionnent dans les mômes conditions; les parcours simultanés qui s'effectuent sur les circonférences primitives comprennent donc toujours un même nombre de pas.

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l4l

et, comme ces parcours sont égaux, le pas est le même pour les deux roues. Il résulte de là que les deux circonférences primitives ont des longueurs proportionnelles à leurs nombres de dents, et qu'il en est de même pour leurs rayons. Par suite, ces rayons sont toujours dans un rapport commensurable; il faut même que ce rapport puisse s'exprimer par des fractions assez simples, car, sauf des circonstances exceptionnelles, le nombre des dents d'une roue est compris entre lo et I20. Les nombres trop grands ou trop petits rendraient la construction difficile ou impossible dans de bonnes conditions.

Le pas ne doit avoir qu'une petite longueur. Les dénis soni courtes et multipliées, et elles ont peu de saillie au dehors ou au dedans des circonférences primitives, afin que la normale commune aux deux profils en contact reste toujours petite et qu'il y ait peu de glissement (n* 47). Une portion du pas est occupée par l'épaisseur de la dent, l'autre reste libre et sert à loger une dent de l'autre roue. Ces deux portions se nomment le plein et le vide. Lorsque les dents ont la même épaisseur sur les deux roues (ce qui doit se faire lorsque leur matière est la même), le plein et le vide sont à peu près égaux; cependant, pour que la présence du moindre corps étranger n'empêche pas la marche de l'engrenage, on donne au vide un certain excès sur le plein. Le rapport du premier

au second varie de — à -?; leur différence constitue le /ew.

Les saillies des dents se déterminent assez souvent (quand cela est possible) par la condition que le contact commence un pas avant et fînisse un pas après la ligne des centres, de manière à avoir toujours deux paires de dents en prise. Supposons d'abord le cas très ordinaire d'un engrenage à flancs. Soient 0 et 0' les centres des circonférences primitives ( fig. 73) et A leur point de contact; supposons le mouvement dans le sens marqué par les flèches. Le flanc OA doit être poussé au delà de la ligne des centres par une épicycloïde dont le contact a lieu actuellement en A. Pour avoir la portion utile de ces deux profils, nous les prendrons dans la position qu'ils occupent après le parcours d'un pas, le flanc étant arrivé en OAi et l'épicycloïde en A'|B ; alors le contact se

fera au pied B de la perpendiculaire abaissée de A sur OA,. Il est évident que le point de contact aura parcouru la longueur AiB sur le flanc. A', B sur l'épicycloïde, et que ce seront là les portions ^ ^ utiles des deux profils. On aura de la même

/ '^ manière les parties utiles avant la ligne

des centres. On prendra sur les circonfé-

rences primitives les longueurs AA,, AA', égales à un pas, et Ton abaissera de A sur O'Aj la perpendiculaire AC; CA', sera la portion utile du flanc de la roue O', et Tare CA, la portion utile de répicycloîde conjuguée, appartenant à Tautre roue. En conséquence, on limite extérieurement les dents de la roue 0 par un cercle de rayon OC, et celles de la roue 0' par un cercle de rayon O'B; E et D sont les intersections de ces deux cercles avec la ligne des centres. Afin d'être certain que les parties extérieures des dents d'une roue pourront toujours se loger dans les creux de l'autre, on limite ces creux par deux cercles de rayon OD et O'E. Il en résulte que le profil complet d'une dent comprend :

Sur la roue 0, le profil FA,C doublé par un profil symétrique, et, dans l'intervalle, un arc de la circonférence OC, à quoi il faut encore joindre un arc de la circonférence OD, limitant intérieurement le creux;

Sur la roue 0', le profil GAjB doublé par un profil symétrique, avec un arc de la circonférence O'B entre les deux et un arc de la circonférence O'E.

Les engrenages à développantes peuvent aussi êl^re établis de manière à faire commencer le contact un pas avant la ligne des centres et à le faire finir un pas après. Il faut pour cela que la moindre des deux dislances Aï, A'T' {fig. 66, p. 182) ne soit pas trop petite, car le contact des dents ne peut aller au delà des points T et T'; cette condition est toujours possible à remplir en disposant convenablement de l'inclinaison de ÏT' sur la ligne des centres. Prenons en efl'et sur la plus petite des deux circonférences primitives, 0 par exemple {fig. 74)> un arc AAi égal au pas, menons le rayon OAi et prenons

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l43

pour la normale commune Tï' la perpendiculaire abaissée de A sur ce rayon. Quand les dénis se touchent au point T, la développante fixée à la roue 0 occupe la position TB et coupe la circonférence primitive un peu au delà de Ai, de sorte que le con- *'^' ^^'

tact à droite de la ligne des centres . "T^^ ^

répond à un arc AB légèrement supé- ^ / \ \

rieui^au pas. Du côté gauche, on aurait ' ^ !

la possibilité de retendre encore plus, ^ i/

si l'on voulait; il y a donc des deux "^^22^\T

côtés une marge suffisante. , " /^ ^^lT^X

Uangle AOÏ étant toujours petit, AT / t'.^ \ ^ \

diffère très peu du pas; donc, si Ton >. .

prend A/=i AT, les circonférences de ,

rayons O^ et O'T pourront servir à li- o*

miter extérieurement les dents, comme les circonférences de rayons OC et O'B dans \^fig. 78.

Dans la pratique, Tinclinaison de TT' sur la ligne des centres descend rarement au-dessous de 70°. Si Ton détermine cette inclinaison par le moyen ci-dessus indiqué, on aura, en désignant par n le nombre de dents de la petite roue^

et par suite

angle AOT =1 —

angle TAO^- -

Pour que ce dernier angle ne soit pas inférieur à 76^ ou à ~ -, il faut que n atteigne ou dépasse i!\. La plus petite des

deux roues devrait donc alors avoir au moins vingt-quatre dents.

Lorsqu'il s'agit de l'engrenage à lanterne, le contact se fait d'un seul côté de la ligne des centres. Si Ton voulait toujours avoir deux paires de dents en prise, il faudrait donc le terminer (ou le commencer) quand les profils des dents auraient parcouru deux pas à partir de cette ligne. Il en résulterait des glissements plus considérables que dans les cas précédents. Pour les diminuer, on pourra faire que les dents se mènent

]44 PRE3IIÈRE PARTIE. — CnAPlTRE DEUXIÈME.

pendant un parcours compris entre un et deux pas; mais il arriverait alors qu*on aurait seulement une paire de dénis en prise pendant une partie de ce parcours et que raclion mutuelle des roues porterait entièrement sur cette paire, au lieu de se répartir sur deux. Les dents seraient donc plus fortement éprouvées.

Comme on a intérêt à augmenter le nombre des dents d'une roue quelconque d'engrenage (afin de diminuer les glissements), et par conséquent à faire les dents assez minces dan* le sens parallèle aux circonférences primitives, on les rend capables d'une résistance suffisante en augmentant leur épaisseur dans le sens parallèle aux axes de rotation.

{g) Engrenage dit sans frottement^ de Hooke et de White. — L'artifice suivant, imaginé par Hooke en 1666, permet de multiplier en quelque sorte indéfiniment le nombre des dents et d'annuler le glissement, tout en conservant aux dents une épaisseur notable dans le sens de la circonférence primitive. Soient plusieurs roues dentées en nombre quelconque /i, telles que ab, a^ b\ a"h\ . . . {Jig. 75), juxtaposées etren-

Il I or " \ I 1,5. ^-J.

a- ///-rf' A

vA/i/c/yl

dues solidaires les unes des autres, sur un même axe de rotation. Ces roues sont identiques et en retraite de - de pas,

chacune par rapport à celle qui la précède. La figure représente le développement de la jante; les parties ombrées sont les pleins, et les parties blanches les vides. On construit d'une manière tout à fait semblable l'ensemble des roues juxtaposées, formant la roue correspondante avec laquelle doit engrener celle qui vient d'être décrite. Supposons qu'une dent de la roue ab entre en contact el

conduise une dent de la roue conjuguée pendant - de pas

GINËMÀTIQUB APPLIQUÉE. l45

commençant à la ligne des centres; à partir du point de con= tact correspondant à la fin de cette période, les profils sont modifiés de manière à ne plus continuer à se toucher par la suite. Mais alors la dent d! vient au contact à son tour et conduit une dent de la roue conjuguée pendant - de tour, puis

elle cesse de toucher et se trouve remplacée par ûf", et ainsi de suite. Après le parcours d'un pas, le contact passe à la série voisine d^, d^, d], .... Chaque dent n*est en prise que

pendant — de pas, et cependant on peut lui donner la même

épaisseur à sa base, suivant la circonférence primitive, que si elle agissait pendant le pas entier.

Maintenant, supposons que n grandisse indéfiniment et qu'en même temps l'épaisseur des roues accolées, dans le sens parallèle à l'axe de rotation, tende vers zéro; l'ensemble des dents échelonnées d^ d^ d\ . , , va se transformer à la limite en une portion de filet de vis, car ce volume est engendré par une aire plane (projection d'une dent telle que d sur un plan perpendiculaire à l'axe) qu'on ferait glisser le long de Taxe, en la faisant tourner simultanément d'une quantité proportionnelle. Les profils des dents ne se toucheront plus alors que par leurs éléments situés infiniment près de la ligne des centres, puisqu'ils ne doivent se conduire mutuellement que pendant une fraction infiniment petite du pas. 11 en résulte (n** 47) que le glissement sera constamment nul. Les surfaces des dents rouleront l'une sur l'autre, suivant les hélices qui leur servent de base sur les cylindres primitifs.

Nous remarquerons cependant avec Bour {Cours de Mécanique, p. 225 du premier fascicule) que ce n'est pas là un roulement simple (n^ 41), mais un roulement accompagné de pivotement. Le mouvement relatif des deux surfaces consiste en effet en une rotation autour de la génératrice commune aux cylindres primitifs, rotation dont l'axe est oblique aux hélices dont nous venons de parler, ainsi qu'aux surfaces des dents en contact. i

L'idée de Hooke a été reproduite beaucoup plus tard par White, en i8o8, et l'engrenage est en général désigné par le nom de ce second auteur. Quoique ayant l'inconvénient d'ap-

Bbbssb. — Cours de Méc, I. lo

l46 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

puyer les arbres sur leurs épaulements, à cause de Tobliquité des surfaces latérales des dents, il fonctionne avec beaucoup de douceur et a été avantageusement employé par M. Breguet dans un cas où il s'agissait d*obtenir pour Tune des roues une vitesse angulaire considérable.

50. Engrenages coniques. — Il s'agit d'établir une communication de mouvement entre deux corps tournant autour de

deux axes OA et OB qui se rencontrent au point 0 {fig. 76), de telle sorte que la vitesse angulaire w du premier corps soit dans un rapport constant et donné avec la vitesse angulaire co' du second.

Supposons que OA soit dans le sens de l'axe représentatif de co et OB en sens contraire de celui de w'; on peut toujours s'arranger pour qu'il en soit ainsi, puisque chacune des droites OA, OB se compose de deux parties issues du point 0 et opposées l'une à l'autre. Prenons OC et OD respectivement égales à (d et à to', en valeur absolue, et construisons un parallélogramme sur ces droites OC et OD; faisons enfin tourner la diagonale OE de ce parallélogramme successivement autour de OA et autour de OB, de manière à engendrer deux cônes droits à base circulaire. Je dis que ces cônes, liés chacun au corps qui tourne autour de son axe de figure, rouleront l'un sur l'autre dans leur mouvement relatif. En effet, le point E du premier cône a une vitesse dirigée normalement au plan de la figure (plan des deux axes), en arrière de ce plan; la grandeur de cette vitesse est le produit de w r= OC par la distance EF du point à l'axe, ce qui donne la surface du parallélogramme. Les mêmes choses ont lieu pour le point E du second cône, dont la vitesse a pour expression le produit OD.EG, et se trouve en outre dans les mêmes direction et sens. La vitesse relative de ces deux points est donc nulle; et il en serait de même pour tout point de OE, car les deux vitesses à comparer seraient dans un même rapport avec celles de E. Les deux génératrices actuellement confondues suivant OE ont donc une vitesse relative nulle, et par conséquent OE est l'axe instantané de rotation

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l^y

dans le mouvement relatif, ce qui constitue la condition du roulement des deux cônes Tun sur Tautre (n» 41), puisqu'ils se touchent tout le long de OE.

Réciproquement, si les cônes roulent Tun sur Taulre, la génératrice commune coïncide constamment avec Taxe instantané de rotation du mouvement relatif; les vitesses absolues d'un point quelconque E de cette génératrice sont donc égales. On a par suite

et, comme on a d'autre part

EF . OC = EG . OD -= aire OCED, on conclut facilement de ces équations

co EG JOC^ ^' " ËP ~ ÔD '

c'est-à-dire que les vitesses angulaires sont dans le rapport

constant -==r- OD

Tout se réduit donc à faire en sorte que ces deux cônes roulent l'un sur l'autre, pendant que chacun tourne autour de son axe de figure. Pour cela, on peut d'abord construire matériellement les parties de ces cônes interceptées dans chacun d'eux par des plans perpendiculaires à leurs axes, ces plans étant menés de manière que les troncs se touchent suivant une même portion de la génératrice commune. On serrera ensuite ces troncs de cône l'un contre l'autre, assez pour que l'adhérence empêche le glissement, et alors, si l'un des deux tourne, l'autre tournera simultanément en remplissant la condition imposée au rapport des vitesses angulaires. On obtient ainsi l'appareil qu'on nomme cdnes de friction.

Les cônes de friction présentent le même inconvénient que les cylindres de friction (n® ^5). La transmission n'a lieu que si la résistance opposée au mouvement du cône mené ne dépasse pas une certaine limite, au delà de laquelle il y aurait

glissement. Afîn d'en éviter la possibilité, on prend ordinairement le parti d'armer les deux cônes ci-dessus définis, qu'on nomme cônes primitif s^ de surfaces ou dents saillantes, assujetties à la condition de rester toujours en contact pendant que ces cônes roulent l'un sur l'autre. On comprend que la surface fixée à l'un des cônes pourrait être choisie à peu près arbitrairement, sauf l'exclusion des formes pratiquement inadmissibles; la surface conjuguée sur l'autre cône serait l'enveloppe des positions prises par la première, pendant que son cône roulerait sur l'autre cône rendu fixe. Mais tout d'abord on diminue l'indétermination en adoptant pour ces surfaces arbitraires la forme de surfaces coniques ayant leur sommet commun avec celui des cônes primitifs, d'où résulte immédiatement celte conséquence que leurs enveloppes sont aussi des surfaces coniques ayant le même sommet.

Imaginons ensuite qu'on coupe les deux cônes primitifs et la surface conique adaptée à l'un d'eux par une splière de rayon quelconque ayant son centre au sommet commun. Les intersections de cette sphère avec les cônes primitifs seront deux cercles et son intersection avec la surface conique sera une certaine courbe ; dans le mouvement relatif des deux corps, ces cercles rouleraient l'un sur l'autre, et la courbe entraînée par l'un des deux devrait toujours toucher le profil conjugué à fixer sur Tautre. On conçoit par conséquent la possibilité de trouver ce profil conjugué, en exécutant sur une sphère des constructions analogues à celles qu'on a dû exécuter sur le plan, quand il s'agissait des engrenages cylindriques. Cela fait, on aurait les surfaces des dents en prenant les lieux géométriques d'une droite mobile assujettie à passer toujours par le centre de la sphère et à s'appuyer sur les profils qu'on vient de déterminer.

Mais on ne peut guère tracer des épures que sur une aire plane, et il n'est pas facile d'y transporter les constructions géométriques qui devraient être exécutées sur une sphère; peut-être aura-t-on pratiquement plus de chances d'exactitude, si l'on adopte une solution moins rigoureuse en théorie, mais plus facile à réaliser. C'est pourquoi l'on se contente universellement d'une méthode approximative, indiquée en i8a3 par le mécanicien anglais Tredgold.

cixénàtique appliquée. 1^9

Soient OA et OB (y?^. 77) les deux axes de rotation; FOE, EOG les contours apparents des cônes primitifs, lesquels se touchent le long de la génératrice commune OE. Menons à celte droite la perpendiculaire AEB, l qui coupe les axes en A et B, et ^ , imaginons les deux cônes droits ' * ayant ces points pour sommets k'

et pour bases les cercles EF, EG.

Le problème sera résolu si nous parvenons à définir les surfaces des dents coniques portées par les cônes primitifs, au moyen de leurs intersections avec les cônes Fx\E et EBG.

A cet effet, nous remarquerons que ces intersections, formant les deux profils conjugués, ne sont en contact qu*à une petite distance du point E, car dans le cas contraire la vitesse relative des deux points en contact (c'est-à-dire la vitesse de glissement) atteindrait une valeur notable, puisque ces points seraient loin de l'axe OE de la rotation à laquelle se réduit le mouvement relatif. Pendant tout le temps que deux profils sont en prise, ils peuvent donc être considérés comme contenus dans le plan tangent commun aux deux cônes FAE, EBG, le long de la génératrice AB, si l'on admet approximativement que deux secteurs coniques de petite étendue, ayant A et B pour sommets, peuvent être assimilés à des plans. Par conséquent ces secteurs se conduisent mutuellement au moyen des profils des dents comme s'ils appartenaient à un engrenage plan dont les circonférences primitives auraient les rayons AE, BE, et se toucheraient en E. Après que ces deux secteurs auront cessé de se conduire, ils seront remplacés par deux autres tout pareils, et la même conclusion subsiste indéfiniment.

Nous arrivons ainsi à la construction suivante. On développe sur un plan les deux cônes FAE, EBG, ce qui donne deux secteurs finis FEF', GEG' {/ig. 78). Considérant ensuite les arcs de ces secteurs comme deux circonférences primitives, et adoptant pour longueur du pas une partie aliquote de ces arcs, on tracera un engrenage plan, dans l'un des systèmes précédemment étudiés; presque toujours on choisit Tengre-

nage à flancs. Cela fait, on enroule les deux secteurs respectivement sur les cônes qui les onl fournis; les profils qu'on avait tracés, maintenant reportés sur les cônes, sont pris pour directrices de surfaces coniques ayant le point 0 pour sommet. Ce sont les surfaces des dents.

Dans la pratique, les divers cônes qui constituent Tengrenage ne se prolongent pas jusqu'à leurs sommets. Chaque roue est comprise entre deux plans perpendiculaires à son axe, savoir : IH et LK {fig> 77) pour la roue tournant autour de OA, MN et KP pour la roue tournant autour de OB.

Les roues d*e^grenage conique se

nomment assez ordinairement roues d'angle.

51. Engrenage entre deux corps tournant autour d'axes non situés dans le même plan, — Quand deux axes ne sont pas situés dans le môme plan, on peut toujours, d'une infinité de manières, tracer une droite qui les rencontre tous les deux. Soient A et A' les deux axes, D la droite qui les coupe. S'il s'agit de transmettre le mouvement d'un premier corps S tournant autour de A à un second corps S' tournant autour de A', on commencera par établir un engrenage conique transmettant le mouvement de S à un corps intermédiaire assujetti à tourner autour de D ; puis, au moyen d'un second engrenage conique, on transmettra le mouvement de ce corps intermédiaire au corps S'. La vitesse angulaire autour de D sera dans un rapport constant avec chacune des deux vitesses angulaires autour de A et de A'; donc, ces deux dernières seront elles-mêmes dans un rapport constant.

La droite auxiliaire D pourrait être aussi une parallèle à l'un des axes, menée par un point de l'autre. Parmi les deux engrenages qu'on aurait à employer, il y en aurait alors un qui serait cylindrique.

Ces combinaisons ne constituent pas, à proprement parler, un mécanisme du premier genre (n<» &•&), parce que les deux

CIMÉMATIUt'B APPLIQUÉE.

corps S et S' ne sont pas en contact immédiat, mais agissent l'un sur l'autre au moyen d'un corps intermédiaire. Mais ce sont là des combinaisons fort simples de deux mécanismes du premier genre. En tout cas, elles appartiennent à la première classe, en raison du rapport constant des vitesses angulaires.

52. Vis sans ^n. — Lorsque les axes, sans être concourants, ont des directions perpendiculaires entre elles, on peut employer, pour résoudre la question du n^ 51, l'engrenage de la vis sans /in.

Prenons pour plan de la figure un plan mené par Tun des axes 00 (Jig, 79) perpendiculairement à Tautre axe O'. Imaginons un cylindre circulaire droit, de rayon DM = r, ayant 00 pour axe et qui coupe le plan de la figure suivant les droites CC, CC; lions à ce cylindre une surface de vis à filet carré, dont 00 serait la directrice rectiligne et dont l'autre directrice serait une hélice de pas h tracée sur le cylindre. Décrivons enfin de 0' comme centre une circonférence O'E tangente à la

droite CC. Il s'agit d'armer cette circonférence de dents ayant une forme telle que, si le mouvement se transmet de l'axe 00 à l'axe 0', ou inversement, par la pression réciproque de la surface hélicoïdale et des dents, les vitesses angulaires conservent un rapport invariable.

Soit DD une génératrice de l'hélicoïde, se trouvant actuellement dans le pian COC de la figure. Si la vis tourne autour de 00 avec la vitesse angulaire w, au bout du temps dt la génératrice DD sera remplacée dans le plan COC par une autre,

ayant même direction et située à une distance — — de la

première; après un second intervalle de temps, une troisième génératrice aura de même succédé à la seconde, et ainsi de suite. Toutes ces génératrices figureront les positions successives du flanc d'une crémaillère, animée, parallèlement à 00,

d'une vitesse — > qui doit se transformer en une vitesse an-

gulaire w' autour de 0', en rapport constant avec w; Or, si — est constant, il en est de même de ;: on se trouve donc