CU

ici tout à fait dans les conditions de Tcngrenage d'une roue dentée avec une crémaillère à flancs droits (n* W, e). En supposant que le contact des dents doive toujours avoir lieu sur la droite CC, le profil conjugué du flanc DD sera une développante AMB du cercle O'E.

Cette définition de la figure des dents serait complète si la roue 0' pouvait se réduire à un plan sans épaisseur; mais, comme cela est impossible, il reste encore à indiquer la surface qui doit les former, surface dont on ne connaît jusqu'à présent que l'intersection AMB avec un plan déterminé. Celle surface doit toujours rester tangente, dans toutes ses positions, à l'hélicoïde de la vis; ainsi, quand le contact se pro* duit en M, le plan tangent commun passe par DD, et fait avec le plan de la flgure un angle 6 égal à celui sous lequel Thélice directrice coupe les génératrices de son cj'lindre, ou, si l'on veut, égal à l'angle complémentaire de celui que la inème hélice fait avec les sections droites. La surface enveloppe de tous les plans tangents analogues menés par les divers points de AMB pourra être adoptée pour surface des dents, car elle sera constamment tangente à l'hélicoïde, et, attendu que le contact restera toujours sur la développante AMB, la transmission de mouvement se fera comme si cette développanle existait seule, c'est-à-dire suivant la loi voulue. L'enveloppe dont il s'agit est une surface réglée dont toutes les génératrices se projettent sur le plan de la figure suivant les normales à AMB ou les tangentes au cercle O'E, et font l'angle constant 0 avec leur projection. On sait que la surface ainsi définie est un hélicoïde développable, lieu des tangentes à une hélice tracée sur le cylindre dont le cercle O'E est la section droite; le pas de cette hélice aurait pour valeur air/'langB,

en nommant r' le rayon O'E.

lu'

Le rapport — des vitesses angulaires est facile à trouver.

GUHÉUATJQUE APPLIQUÉE. l53

La vitesse — j avec laquelle se déplace la crémaillère idéale

dont on a parlé plus haut, se transforme en une vitesse égale sur la circonférence primitive O'E; on a donc

, , /lo) 0)' h ui' r ^ — ou — = >

ou encore, attendu que h := 2 7rrcotô,

Nous pouvons encore nous rendre compte du glissement. Supposons, pour fixer les idées, que les mouvements aient les sens indiqués sur \2ifig, 79; alors la vitesse v du point M de la vis est dirigée suivant une perpendiculaire au plan de la figure, allant en arrière de ce plan, dans lequel se trouve au con- Irairc la vitesse v' du point M de la roue, dirigée suivant une perpendiculaire à O'M. La vitesse relative ou vitesse de glissement de la roue sur la vis (n<» 4.1) s'obtiendra en composant v' avec ^ changée de sens (n°31). Or, si nous posons

EM r= j', nous aurons

v — tùr, i^'— co'.O'M — wV'''"-+-/' et, par suite, la vitesse u de glissement sera

car ses deux composantes \> et v' sont rectangulaires. En vertu de Téquation (i), cette valeur se met sous la forme

(2) « — ci>ri/i-HC0t'6/ I -h ^ )•

Dans la pratique, la distance y reste toujours très petite; si on la néglige, on aura simplement

(3) « =r (ori/i -hcot*0 = -T— V*

^ sinô

Celte hypothèse simplificative étant admise, les deux composantes V et v' se trouvent dans le plan tangent mené sui-

l54 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIËMB.

vant ce au cylindre de la vis; le rapport — devient — - ou coU,

d'où Ton déduit immédiatement que la résultante fait l'an-

gle 6 avec (^ et a même direction que la tangente à Thé-

lice.

S3, Vis et écrou. — Le mouvement relatif d'une vis par rapport à son écrou considéré comme fixe est toujours un mouvement hélicoïdal , composé d'une rotation autour de son axe et d'un glissement le long du même axe; ce glissement, toujours proportionnel à la rotation, est égal à un pas de la vis pour chaque tour complet de celle-ci.

On peut concevoir qu'on donne à l'ensemble des deux corps un mouvement commun qui annule un des deux mouvements composants ci-dessus défmis. Si, par exemple, on oblige la vis à tourner sur place, on aura supprimé sa translation, et si l'écrou ne tourne pas, il devra prendre, suivant l'axe, une translation d'un pas à chaque tour de la vis. Inversement, si l'écrou tourne sur place et que la vis ne puisse avoir qu'une translation, elle parcourra une longueur d'un pas à chaque tour de l'écrou.

Plus généralement nommons

a Tangle décrit par la vis dans un temps quelconque;

a' l'angle décrit simultanément par l'écrou, compté dans le

môme sens que a; X la translation simultanée de la vis parallèlement à son axe; x' la translation simultanée do l'écrou, comptée dans le même

sens que x.

On aura l'équation générale

'ITZ

en vertu de la défmition géométrique de l'appareil , car x — x' et a — a' expriment l'étendue des deux mouvements composants de la vis relativement à l'écrou. On verra plus tard des applications de cette équation.

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l55

54. Mécanisme de la première classe, deuxième genre, — Il s'agit de transmettre le mouvement d'un corps à un autre, en conservant un rapport invariable entre les vitesses, par l'emploi d'un lieu intermédiaire rigide. Voici quelques appareils employés à cet effet.

(a) Bielle d'accouplement. — Soient 0 et 0' {/ig. 8o) les projections de deux axes parallèles. On • p. «^

adapte à ces axes deux manivelles égales .

()A, OA' dont les extrémités A et A' sont articulées avec une bielle AA' ayant une

longueur égale à la distance 00'. Les choses étant ainsi disposées, quelque situation qu'on attribue aux manivelles, il faudra toujours que le quadrilatère AOO' A' soit un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont égaux. Donc O'A' reste parallèle à OA, et les deux manivelles tournent constamment de la môme quantité.

(6) Tiges et varlets; renvois de sonnettes. — Lorsque les lignes OA et O'A' de \difig. 8o représentent, non pas des manivelles tournant d'une manière continue autour de leurs axes O et 0', mais de simples tiges oscillant autour de ces mêmes axes, elles prennent le nom de varlets; AA' est une ti^e qui transporte en A' le mouvement de A. Le point A' pourrait ensuite agir d'une manière semblable sur un autre point k!', qui lui-même agirait sur A'', et ainsi de suite. Le

mouvement de A se transmettrait ainsi à distance. Les tiges soutenues par les varlets suivraient les ondulations du terrain (fig. 8i).

Cette combinaison avait été employée dans l'ancienne machine de Marly. Aujourd'hui elle paraît abandonnée, au moins pour les applications sur une grande échelle.

Les renvois de sonnettes sont des leviers coudés, le plus

souvent à angle droit ^fig. 82). Pendant que Textrémité A

p. g^ décrit, autour de Taxe fixe O, un petit arc

assimilable à une droite perpendiculaire ^— — sur OA, le point B décrit de même un petit chemin perpendiculaire à OB, et d'une Ion- *( 0 gueur égale à celle du premier multipliée

^ ÔB

par =-. C'est un moyen de transformer le

OA

déplacement de la tige A a en un déplacement de la tige B6, en changeant tout à la fois, si Ton veut, la direction et la grandeur du déplacement primitif, mais à la condition de ne donner à Ces mouvements qu'une étendue assez restreinte.

55. Mécanismes de la première classe, troisième genre. — Voici divers exemples de l'emploi d'un lien Hexible pour transmettre le mouvement d'un corps à un autre, en satisfaisant toujours à la condition commune pour tous les mécanismes de la première classe, celle de ne pas faire varier le rapport des vitesses.

{a) Poulie Jîxe, — La poulie fixe est une espèce de roue

assujettie à tourner autour d'un axe 0 immobile {fig. 83), sur

PI gj laquelle passe un corps flexible (corde,

chaîne, courroie) AB. La poulie étant suffisamment mobile sur ses supports, lorsqu'on tire la corde par un bout pour déplacer un corps M attaché à l'autre bout, on fait tourner en môme temps la poulie autour de l'axe 0, et la corde se déroule d'un côté pendant qu'elle s'enroule de l'autre. Si, d'ailleurs, elle est supposée inextensible et si elle ne glisse pas sur la poulie, le déplacement du corps sera égal à celui d'un point de la poulie situé à la même distance de 0 que les brins Aa, B6. On voit donc qu'on aura transformé le mouvement de rotation de la poulie en un mouvement de translation du corps M.

La poulie est dite mobile quand son axe de rotation se dé-

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l5y

place. Nous indiquerons ultérieurement quelques usages de ce second genre de poulies.

{b) Treuils ou cabestans. — Le treuil est un cylindre à axe horizontal, et le cabestan un cylindre à axe vertical; on peut concevoir aussi des axes inclinés. Dans tous les cas, une corde ou chaîne s'enroule sur le cylindre, auquel on communique un mouvement de rotation autour de son axe de figure; en s*enrouIant, elle lire et déplace un corps attaché à son extrémité libre, avec une vitesse constamment proportionnelle à la vitesse angulaire du cylindre. Pendant cet enroulement, la corde trace sur la surface du cylindre une hélice à pas très petit, dont chaque spire peut s'assimiler approximativement à une section droite.

(c) Courroies sans Jin, — Considérons deux solides assujettis à tourner autour de deux axes fixes 0, 0' {/ig. 84), que nous supposerons d'abord parallèles. Nous avons déjà indiqué (n•il^5) des moyens de transmettre le mouvement de Tun à l'autre, sous la condition d'un rapport constant des vitesses; il y en a un autre, très fréquemment usité, qui consiste dans l'emploi des courroies sans fin.

On établit sur les deux arbres des poulies ou tambours, dont les sections moyennes sont p. g,

dans un plan perpendiculaire à k'

la direction des axes. Sur les ^'"^7"' ^^^^ ^

jantes de ces deux poulies se / ^ \\ ' ^ \\

placeunecourroiesansfin(c*est- V ^' V \ ^' jy

à-dire formant un circuit fermé b "^ >^ ^ ^

AA'B'B), assez fortement ser- ®'

rée contre elles pour ne pas glisser. Si l'on admet alors que la courroie soit inextensible, tous ses points ont môme vitesse, et, puisqu'il n'y a pas glissement, cette vitesse est égale à celle qui existe sur les circonférences des poulies; donc, en nommant

oj, w' les vitesses angulaires autour de 0 et 0', r, r' les rayons ÔA, O'A',

ces quantités satisfont à la relation

to r'

(i) u>r = w'r', d'où — r = —

l58 PREXIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

Le rapport des vitesses angulaires est donc bien constant; de plus, il est égal au rapport inverse des rayons.

La démonstration de ce fait suppose les courroies inextensibles. Si Ton tient compte de la faible extensibilité qui existe réellement, Téquation (i) doit subir une légère correction: nous la supposerons négligeable.

L'expérience fait reconnaître que, pour bien assurer la stabilité de la courroie sur chacune des deux poulies et enripècher son déversement latéral, il faut donner à la jante un profil convexe extérieurement, et non point un profil concave.

La disposition indiquée dans \^fig. 84 convient au cas où les deux vitesses angulaires o), cd' sont de même sens. Pour obtenir des sens contraires, on ferait suivre à la courroie sans fin les deux autres tangentes communes aux cercles des poulies, celles qui se croisent dans l'intervalle des centres 0, O' {fig. 85).

. g- On évite que les deux brins qui

se croisent au point C se gênent mutuellement, en tordant cha- \n cun d'eux de manière qu'ils se ; I touchent par la face et non par la tranche. De plus, on a soin qu'ils se touchent par celle des deux faces qui est lisse, tandis que la face rugueuse reste on contact avec les deux poulies.

Les courroies sans fin, disposées comme on vient de le dire et représentées par les fig. 84 et 85, établissent, entre les deux axes parallèles 0 et 0', une communication de mouvement qui peut fonctionner, soit dans le sens marqué par les flèches, soit en sens contraire.

Lorsque les axes ne sont pas parallèles et qu'on veut encore pouvoir faire fonctionner la communication dans deux sens opposés, il faut se servir de poulies de renvoi. Sur chaque arbre 00, O'O' i^fig. 86), on établit encore une poulie ou tambour, dont le plan moyen est perpendiculaire à Taxe. Soit XX la droite suivant laquelle se coupent les deux plans moyens; prenons sur cette droite deux points B, C et, par chacun d'eux, menons des tangentes aux cercles des deux poulies. Entre les deux tangentes issues de chaque point, on dispose une poulie de renvoi ; sur chaque poulie passe l'un des brins

Fig. 86.

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l59

de la courroie sans fin, qui suit alors le contour fermé EGFE'D'F'G'DE. Toutes les portions de ce contour sont composées d'arcs de cercle et de lignes droites contenues dans les deux plans des deux cercles qu'elles touchent, d'où il résulte que la courroie ne tend aucunement à se détacher des poulies, en se déversant par côté.

Cet appareil assez compliqué peut se simplifier beaucoup, lorsqu'on n'impose pas aux poulies la condition de marcherdans lesdeux sens et que les axes ne sont pas trop rapprochés l'un de l'autre.

On peut alors supprimer les poulies de renvoi, eu égard à une remarque dont l'expérience démontre l'exactitude; le brin qui arrive sur une poulie doit nécessairement se trouver dans le plan de la poulie, tandis que le brin s'éloignant de la poulie peut sans inconvénient sortir de ce plan. Cela posé, soient 00, O'O' {fig^ 87) les projections des deux axes sur un plan parallèle à leurs directions; prenons dans ce plan un point B, dont les distances BA, BA' aux axes projetés soient égales aux rayons des poulies, et faisons passer les plans moyens de celles-ci par les droites BA, BA', En projection sur un plan perpendiculaire à OOO'O', par exemple sur le plan de la poulie AB, cette poulie sera placée en a, l'autre en a', et les deux cercles auront une tangente commune hb'y qui sera l'intersection de leurs plans. Si du point b on menait la seconde tangente au cercle a\ elle serait dans le plan de ce cercle, mais sécante au cylindre de la poulie a; toutefois, vu l'éloignement des deux poulies, elle n'entre que fort peu dans ce cylindre, parce qu'elle fait un petit angle avec la tangente hb\ En modifiant très légèrement la position de cette droite, on aura la droite C^qui, tout en restant tangente au cercle a' et contenue dans

Fig. 87.

i6o peeuière partie. — chapitre deuxième.

son plan, louchera le cylindre de Tautre poulie en un point f très voisin de b. On trouvera de même une droite D p' tangente au cercle a, dans son plan et touchant le -cylindre de la poulie a' dans le voisinage de b. La courroie sans fin devra sui^Te le contour ^C^'D. Si le mouvement a lieu dans le sens des flèches, on a bien rempli la condition que le plan de chaque poulie contienne le brin de courroie arrivant sur elle; mais il ne contient pas celui qui s*éloigne, de sorte que la condition cesse d'être remplie quand on change le sens du mouvement, et alors la courroie ne larde pas à tomber.

§ III. — Combinaisons diverses de mécanisme de la première classe.

56. Trains ou équipages de roues dentées, — On a ^^l (n®4.9, /) que les rayons des circonférences primitives d'un engrenage cylindrique sont proportionnels aux nombres des dents qu'elles portent; par suite, les vitesses angulaires sont dans le rapport inverse des nombres de dents. La même chose est vraie aussi pour les engrenages coniques. Les vitesses angulaires sont, en effet, inversement proportionnelles aux rayons des circonférences formant les bases des cônes primitifs (n° 50), et ces circonférences reçoivent chacune un nombre de dents en rapport direct avec sa longueur ou avec son rayon. Il résulte de là que le rapport des vitesses an^laires de deux axes communiquant par engrenage ne peut varier qu'entre certaines limites; car, ainsi que nous l'avons déjà dit, le nombre des dents d'une roue varie presque toujours entre lo et 120, de sorte que le rapport entre la plus petite et la plus grande des deux vitesses est compris entre

I et — •

Lorsqu'on veut obtenir un rapport notablement inférieur

à -9 on établit entre les deux arbres d'autres arbres in-

lermédiaires. L'un des deux arbres donnés reçoit directement une rotation et fait tourner, au moyen d'un engrenage, le premier arbre intermédiaire; celui-ci fait tourner de même un second arbre, qui en fait tourner un troisième ; et ainsi

ci^ïêmàtiqub appliquée. 161

de suite, jusqu'à ce qu'on arrive au second arbre primilivement donné. Cette suite d'engrenages constitue ce qu'on nomme un train ou équipage de roues dentées. Dans chaque engrenage, en particulier, la plus petite roue se nomme un pignon.

Si nous supposons, pour fixer les idées, que la vitesse angulaire doive diminuer en passant du premier au second des arbres donnés, le premier portera un pignon engrenant avec une roue placée sur le premier arbre intermédiaire; sur ce même arbre sera monté un pignon engrenant avec une roue, qui appartient à l'arbre intermédiaire suivant. Chacun des arbres intermédiaires porte de môme un pignon et une roue, le premier pour mener la roue de l'arbre suivant, la seconde conduite par le pignon de l'arbre qui précède. Le dernier arbre (ou le second des arbres primitivement donnés) ne porte qu'une roue. Nommons :

oj, (I)' les vitesses angulaires du premier et du second arbre

primitivement donnés; co„ Cl),, . . ., co« celles des arbres intermédiaires successifs: a, ai,ai, . . ., a^^ les nombres de dents des pignons; Aj, A2, . . . , A«, A' les nombres de dents des roues ;

on aura les égalités

u) Al toj Aj co„ A

d'où Ton tire, par une multiplication membre à membre,

(!>' aa^ ' • »cin

0) AiAj. . .A'

Ce rapport se nomme la raison du train. La raison du train est égale, comme on voit, au produit des nombres de dents des pignons, divisé par le produit des nombres de dents des roues.

Dans le cas d'axes tous parallèles entre eux, on peut convenir de donner le signe -h ou le signe — aux rapports tels

que -r-> -r^> •••> suivant que l'engrenage correspondant est Al Al

intérieur ou extérieur. En passant d'un arbre au suivant, la

Bressb. — Cours de Méc. I. 11

102 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXltOIE.

vitesse conserve le môme sens ou prend le sens contraire, selon qu'on rencontre la première ou la seconde de ces alternatives. Il est facile d'en conclure que les vitesses co et w' seront de même sens si la raison est positive, et qu'elles auront des sens opposés si la raison est négative.

57. Recherche d'un train dont la raison est donnée, — Si la raison est une fraction commensurable, on décompose ses deux termes en facteurs premiers; on combine ensuite ces facteurs, en multipliant au besoin les deux termes par un même nombre, de manière à obtenir au numérateur et au dénominateur le produit d'un môme nombre de facteurs convenables, c'est-à-dire compris (autant que possible) entre lo et I20.

Soit donnée, par exemple, la raison

Cl)' 8898 7 . Il . 109

on multipliera les deux termes de la fraction par 200, ce qui permettra de remplacer 7 par io.io.i4 et 2.8.5.87 P^^ 25.74.1 20. Alors on aura

w' 10. 10. II .14.109

Cl) 25.67.74.97.120

Le train comprendrait, outre les arbres extrêmes 0 et 0', quatre arbres intermédiaires Oi, Oj, Os, O4 ; les nombres de (lents seraient donnés par le Tableau suivant :

Arbre 0 Pignon de 10 dents

^ \ Roue de 25 »

* ) Pignon de 10 »

^ ( Roue de 67 »

î Pignon de 11 »

^ ( Roue de 74 »

' ( Pignon de 14 »

^ i Roue de 97 »

* ( Pignon de 109 »

9 0' Roue de 120 »

11 est à remarquer que, si l'on faisait les cinq engrenages

GINÉ31AT1QUB APPLIQUÉE. l63

extérieurs, les vitesses to, m' seraient de sens contraires; si l'on tenait à conserver le môme sens, il faudrait, ou faire Tun des engrenages intérieur, ou mettre un arbre intermédiaire (le plus.

Si les deux termes ont de trop grands facteurs premiers, la question peut se résoudre par approximation au moyen de la méthode suivante, due à Huygens. On développe la raison donnée en fraction continue; on en calcule toutes les réduites et Ton choisit parmi elles une fraction dont les deux termes puissent se décomposer en facteurs convenables. Cette fraction remplace approximativement la raison donnée. Quelquefois aussi Ton emploie une méthode un peu différente et

que voici :

Soient -j et -, deux réduites consécutives; l et m étant deux b a

nombres entiers et positifs quelconques, la fraction

la -f- me Ib 4- mb

d c sera comprise entre j et ^; il pourra se faire, non seulement

qu'elle approche plus de la raison exacte que Tune ou Tautre