BC

et la relation (i) devient

bc n BC — bc

^__+, ou n = a^^^.

D'ailleurs la vitesse a du châssis est liée à la vitesse u de l'arbre moteur IH par l'équation d

donc finalement

Les nombres de dents choisis par Pecqueur étaient rf=3i, D^54, b — &^, B = 85, c = 33, C=4i; il en résulte

l68 PRBXIbRE PARTIE. — CHAPITHB DEtlXIfiME.

Cette dernière fraction élail regardée par Pecqueur comnie représentant le rapport de la semaine au mois lunaire, ce qui est en effet très approximativement exact, car celle hypothèse donne pour la durée de la lunaison 29ii:i''4^''38>, 8, nombre inférieur de o',i seulement ii celui qu'indique V Annuaire da Bureau des Longitudes (i883). Le nombre i439 étant premier, on voit qu'un train ordinaire d'engrenages n'aurait pu réaliser ce rapport, puisqu'il aurait fallu construire une roue (le 1439 dents, ce qui est inadmissible; on y arrive au contraire par l'emploi d'un train épicycloïdal, sans mettre plus de 85 dents sur une roue.

Deuxiëhe exemple : Appareil formé de huit roues invariablement liées deux à deux. — Le châssis est composé de deux tiges MN, PQ (fig. 90) perpendiculaires l'une à l'autre et inva-

Fig. 90.

riablement liées entre elles; il tourne autour de l'axe fixe MN- La tige MN traverse à frottement doux deux autres systèmes solides tournant autour du même axe et formés chacun de deux roues d'angle réunies par un canon, savoir : i" le système des roues B, C; a" le système des roues d, E. La tige PQ traverse de même à frottement doux un système analogue de deux cônes c, D qui engrènent respeclivcmcnt avec C etff. U est bien entendu que chacun de ces trois systèmes est empêché, par des épaulements convenables, de glisser le long de la tige qui le traverse ; les deux premiers tournent sur place

Tun à Tautre. La raison e sera donc égale à — rrrr? en con-

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. 169

autour de Taxe fixe MN, le troisième a un mouvement composé, et tourne autour de PQ pendant que le châssis tourne autour de MN. Enfin deux roues d'angle by e, calées sur un même arbre RS tournant sur des coussinets fixes, mettent en mouvement les deux systèmes B, G et E, d.

Dans cet exemple, nous pouvons regarder É comme la première roue et B comme la dernière. Il est d'abord facile de reconnaître que, relativement au châssis supposé fixe, ces deux roues tournent en sens contraires, parce que les points a et ? par lesquels se touchent d'une part les roues d et I), d'autre part les roues c et C, sont des deux côtés de l'axe PQ, de sorte que leurs vitesses relatives ont des sens opposés

cd^ CD

venant toujours de désigner le nombre des dents de chaque roue par la même lettre que cette roue elle-même; par suite, la formule (i) de Willis donne

cd n — a

CD m — a

Or l'arbre moteur, dont nous appellerons w la vitesse angulaire, communique à E la vitesse angulaire absolue m et à B la vitesse /i; ces vitesses, qui ont des sens opposés, sont données par les équations

Par la substitution de ces valeurs dans l'équation précédente, il vient

tùh

d'où Ton tire

CD ^(oe

a ï^cde—bÇA)^

u> BE(CD-f-céf)' La combinaison de ces huit roues permet d'obtenir pour le

170 PREMIÈRE PARTIE. — GUAPITRE DEUXIÈJIE.

rapport - des valeurs très variées. Si Ton fait, par exemple,

6 = 82, cru 83, d = S3y e=S6, B — S3, Cr=65, D = 84, Enziio6,

on trouve

a> io86465o2

Le dénominateur est égal au produit 2. 53*. 83. 233; on ne pourrait donc obtenir rigoureusement ce rapport, avec un engrenage ordinaire, que par l'emploi d*une roue de 233 dénis, nombre inusité. D'ailleurs il faudrait, môme en acceptant ce nombre de 233, construire seize roues au lieu de huit; car, pour avoir le môme nombre de facteurs convenables, dans les

deux termes de la fraction qui exprime — > on devrait la mettre

sous la forme

lO.IO.IO.IO.IO.TO.IO.IO

— ' ■■ ■ ■■■■ !■ I ■ ■■ . ■■ Il I »■ ■

o3.83.ioo. ioo.ioo.ioo.io6.233

59. Equipages de poulies. — Quand on ne peut pas transmettre directement le mouvement d'un arbre à un autre par une courroie sans fin, on établit un ou plusieurs arbres intermédiaires. Désignons par A et A' les arbres primitifs, par B|, B|, . . ., B„ les arbres intermédiaires.

Une courroie sans fin transmettra le mouvement de A à Bj, un autre de Bj à B^, une troisième de Bs à Bs, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à A'. Il faudra donc que le premier et le dernier arbre portent chacun une poulie ou un tambour, et qu'il y en ait deux sur chaque arbre intermédiaire. Si l'on nomme

co, 0)', wi, (i)„ . . ., <!);, les vitesses angulaires respectives des

arbres A, A', B,, B„ . . . , B„ ; r le rayon de la poulie placée sur A, Bi le rayon de la poulie

correspondante sur Bj; Ti le rayon de la seconde poulie placée sur Bi, Rj le rayon de

la poulie correspondante sur B,; r, le rayon de la seconde poulie de B,, Rs le rayon de la poulie

correspondante sur B3;

CINË9ATIQUE APPLIQUER. I7I

r„ le rayon de la poulie placée sur B„, qui correspond avec Ja poulie placée sur le dernier arbre A'; R' le rayon de celle dernière poul.ie;

on trouve bien facilemenl

lu' rr,ri...r„

formule tout à fait analogue à celle des équipages de roues déniées. Seulemeni, les rayons des poulies pouvant filre quelconques, entre ceriaines limites, quand on

voudra obtenir un rapport —, on ne rencontrera pas les diflicullés qui tenaient à ce que les nombres de dents des roues devaient nécessairement être entiers. Les poulies de renvoi, analogues à celles dout on a parlé au n" 5o, n'ont d'ailleurs aucune influence dans le calcul que nous venons de faire ; elles servent, en quelque sorte, d'appui aux courroies sans fin, mais ne modifient pas les vitesses des arbres mis en communication.

60. Moufles oupalans. — Les moulles ou palans se composent de deux groupes de poulies portées par des essieux parallèles. On leur donne diverses dispositions, mais ces variantes n'en changent pas les propriétés essentielles. Dans celle que représente layî^-. 91, les poulies du groupe supérieur sont placées sur un essieu Qxe autour duquel elles tournent librement et qui fait partie d'une cliape également fixe; les poulies du groupe inférieur tournent librement aussi autour de leur essieu, qui fait partie d'une chape mobile. Les deux chapes sont munies de crochets, l'un servant à attacher la chape supérieure, l'autre à suspendre un fardeau qu'on veut soulever. Une corde, dont l'extrémité A est libre, entoure d'abord la première poulie supérieure, descend à la première

17a PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

poulie inférieure, puis remonte à la seconde poulie supérieure, redescend à la seconde poulie inférieure, et ainsi de suite. Les poulies sont en même nombre dans les deux groupes, et la corde, après avoir passé sur la dernière poulie inférieure, remonte pour s'attacher en B à la chape fixe. Lorsqu'on tire la corde en A, il en résulte un raccourcissement pour la portion commençant au contact avec la première poulie supérieure et finissant en B; par suite, la chape mobile et le fardeau qu'elle porte sont obligés de s'élever.

Nous n'avons pas ici à discuter l'appareil au point de vue des forces mises en jeu, mais nous chercherons la relation entre la vitesse r imprimée au point A et la vitesse r' avec laquelle monte la chape mobile. Pour l'obtenir, il suffit d'observer que, si l'on considère comme sensiblement parallèles entre eux les différents brins de corde allant du groupe supérieur au groupe inférieur ou inversement, le raccourcissement produit par le déplacement du point A se partage également entre tous ces brins, qui sont en nombre égal à celui des poulies. En nommant n ce nombre, on aura donc

r :=. nv'.

61. Mouvements différentiels. — Souvent, lorsqu'on veut communiquer un mouvement très lent à un corps, on s'arrange pour lui donner un mouvement composé de deux mouvements contraires presque égaux, de sorte que son mouvement absolu, égal à la différence de ces mouvements composants, devient presque nul. Voici quelques exemples des combinaisons de ce genre.

(a) Engrenages différentiels de la machine à aléser.— Quand il s'agit de polir intérieurement ou, suivant le langage technique, (ï aléser un cylindre circulaire creux, on emploie un outil terminé par un tranchant suivant les génératrices du cylindre, et animé d'une rotation autour de l'axe de celui-ci. Le tranchant enlève les rugosités excédantes ; mais, comme il est généralement moins long que le cylindre, il faut faire en sorte que, pendant sa rotation, il se déplace peu à peu dans la direction de l'axe. A cet effet, l'arbre MNL {fig. 92), qui porte l'outil, se termine par une vis NL entrant dans un écrou

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. 178

PL. L'écrou n'est pas fixe, mais animé d'un mouvement de rotation dans le môme sens que la vis, avec une vitesse angulaire tant soit peu moindre. Cette rotation est produite par un système de quatre roues dentées, savoir :

Une roue AB faisant corps avec V arbre ML et engrenant avec la roue BC, qui peut glisser le long de V arbre parallèle QR, mais détermine toujours sa rotation^ parce que Varbre est carré ;

Une roue EF faisant corps avec Varbre QR et engrenant avec une roue DE qui fait corps avec Vécrou,

Les trois roues AB, BG et EF ont un môme nombre n de dents; la roue DE en a n-hi; on peut faire, par exemple,

Vig. 92.

J.lf

w~36. Ajoutons encore que Tarbre ML peut glisser longitudinalement sur les supports; que l'écrou peut seulement tourner sans glisser, qu'il en est de môme pour l'arbre QR; et enfin que, pendant le glissement de l'arbre ML, la roue AB ne cesse pas d'engrener avec BC, parce que la première fait glisser la seconde en la pressant sur un rebord saillant.

Les choses étant ainsi disposées, on voit que, si l'on nomme w la vitesse angulaire de ML, celle de QR sera — w et celle

de l'écrou w ; donc la vitesse relative de rotation de la

vis, par rapport à l'écrou, sera la différence

CO/l (U

11 faudra que la vis fasse /i -+- 1 tours dans son mouvement absolu, pour en faire un seul relativement à l'écrou, c'està-dire pour s'avancer d'un pas. La formule générale du n<» 53