CHAPITRE DEUXIÈME

aurait conduit au môme résultat; on devrait y faire x- = o, puisque Técrou ne fait que tourner autour de Taxe 3fN, et

- > ce qui donnerait

Le mouvement de translation de l'arbre ML et de roulil qu'il porte est donc, enfin de compte, le même que si Ion

avait réduit le pas de la vis à la fraction de sa longueur.

On peut supposer que la vis a clé construite avec un pas aussi petit que le comportent les conditions pratiques d'une bonne construction; le rouage différentiel qu'on vient de décrire permet en quelque sorte de pousser la réduction encore beaucoup plus loin.

(b) Vis dijférentielle de Prony. — Le cylindre formant le noyau solide de la vis porte deux surfaces de vis, ayant des pas différents /i, h'; la première s'engage dans un écrou fixe E {fîg. 93), et la seconde dans un écrou mobile E', assujetti

J.BLAHADtT

j\ prendre une simple translation parallèle à l'axe de la vis. Les deux surfaces de vis sont d'ailleurs dans le même sens, c'est-à-dire engendrées de telle manière, que la génératrice rectiligne de l'hélicoïde gauche parcoure l'axe du cylindre dans le même sens, quand elle tourne dans un sens déterminé.

Supposons 'maintenant que l'on fasse décrire à la vis une révolution complète autour de son axe et qu'elle avance ainsi

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. lyS

d'une quantité h, vers la gauche par exemple. L'écrou E' ne tournant pas, la vis doit aussi avancer, relativement à lui, d'une quantité h' vers la gauche; ou, ce qui revient au même, récrou E' doit s'avancer, relativemjent à la vis, d'une quantité A' vers la droite. Donc, puisque la vis a parcouru la longueur h vers la gauche, Técrou a parcouru seulement la longueur h — h' dans le même sens. La vis fonctionne donc, pour récrou E', comme une vis de rappel ayant un pas égal à la différence A — A'.

Or celle différence peut être rendue aussi petite qu'on veut, tandis que le pas d'une vis ordinaire ne peut descendre audessous d'une certaine limite. On a donc encore dans cet exemple une espèce de moyen artificiel pour abaisser cette limite autant qu'on le juge convenable.

La formule générale du n<» 53 aurait pu également s'employer ici, pour calculer le déplacement de l'écrou E'. Quand la vis tourne d'un angle a, sa translation jt, suivant l'axe,

est — ; considérant ensuite le mouvement relatif de la vis

ht dans E' et y appliquant la formule, on devra faire x=l — et

il— o, d'où résulte la translation de E', qui est

(c) Treuil dijférentiel, — Le treuil différentiel est formé avec deux cylindres de diamètres différents AB, BC {fig» 94), invariablement unis l'un à l'autre, et qui peuvent tourner autour de leur axe horizontal commun ABC. Une corde, attachée par un bout au cylindre AB, fait plusieurs tours sur ce cylindre, puis s'en détache à peu près verticalement, descend de manière à faire un demi-tour sur la poulie mobile 0, remonte et s'attache par l'autre bout au cylindre BC, après avoir fait plusieurs tours sur lui. On s'arrange pour que les points de contact D et E (les brins verticaux avec les deux cylindres se trouvent situés de part et d'autre de l'axe. Au centre de la poulie mobile est suspendu un fardeau P, qu'on veut déplacer verticalement.

Pour cela, on fait tourner les cylindres AB, BC; /* et r' étant

leurs rayons, à chaque tour il se déroulera en D une longueur 27tr de corde et il s'enroulera une longueur ir.r' en E, ou inversement, suivant le sens de la rotation; admettons la première hypothèse, pour fixer les idées. La quantité déroulée est alors égale à 2ir(r — r'), et, comme elle se partage entre les deux brins verticaux, il en résulte que le fardeau sera

descendu de 7c(r — r'), absolument comme s'il avait été suspendu à un treuil ordinaire dont le corps cylindrique aurait

eu pour rayon - (r — r').

Dans un treuil ordinaire, le rayon du corps cylindrique ne peut pas diminuer indéfiniment, parce que sa solidité diminuerait aussi et qu'il deviendrait incapable de soutenir les poids qu'on veut lui faire porter. Mais rien ne limite la petitesse de r — r', et l'on peut arriver ainsi à faire mouvoir beaucoup plus lentement le poids P, ce qui permet, comme on le verra plus tard, de l'équilibrer par une force plus petite. Néanmoins ce treuil est peu employé, en raison de la grande longueur de corde qu'il exige.

§ IV. — Mécanisme de la deuxième classe.

62. Transmission de mouvement entre deux axes de rotation parallèles par le contact de deux cames cylindriques, — Soient 0 et 0' deux axes fixes parallèles {fig. 90]), autour des-

GINfiMÀTIQUB APPLIQUÉE. 177

quels tournent deux solides ; le mouvement peut se transmettre de 0 à 0' en armant le corps 0 d'une came limitée d'un côté par une surface cylindrique, à génératrices parallèles aux axes, dont mn représente la sec- ^ tion droite, laquelle poussera, par contact / ^^

immédiat, une autre came limitée par une m'*»,

surface /n'/i', également cylindrique et pa- .^,,^

rallèle aux axes , invariablement liée au a ^ !„/*

corps 0'. Proposons-nous de trouver, pour /

une position quelconque du système, le rap- ( ,o'a

port des vitesses angulaires co, w' des deux

corps, ainsi que le glissement élémentaire en C, point de

contact des deux profils m«, m' n'.

Pour y arriver, remarquons d'abord que les courbes m/i, m' /l' restent toujours tangentes Tune à l'autre dans leur mouvement relatif; le centre instantané de rotation pour ce mouvement se trouve donc, à un instant déterminé, sur la normale commune CA menée au point G où les courbes se touchent actuellement (n*»22, c). D'un autre côté, le mouvement relatif de mn, par rapport à m' n\ s'obtiendrait aussi par la composition de la rotation u) avec la rotation co' prise en sens contraire (n* 31); les deux rotations composantes ont lieu autour d'axes parallèles et se réduisent à une rotation unique, dont l'axe perce le plan de la figure en un point de la ligne 00' {n*» 33). Donc le centre instantané se trouve à la fois sur les droites CA. et 00' ; donc il est à leur point A de rencontre.

On sait, de plus, que le point où l'axe de la rotation résultante perce le plan de la figure détermine sur la ligne 00' deux segments OA, O'A inversement proportionnels aux vitesses angulaires w, w'; donc:

Les vitesses angulaires autour des deux axes sont en raison inverse des distances comprises entre les projections 0 et 0' de ces axes, et le point de rencontre A de la ligne 00' avec la normale commune CA aux profits des deux cames.

Enfin, suivant que l'axe de la rotation résultante est ou n'est pas compris dans l'intervalle des axes 0 et 0', c'est-à-dire suivant que le point de rencontre A qu'on vient de définir tombe entre les projections 0 et 0' ou en dehors, les deux

Rkessr. — Cours de Méc, I. 12

rotations composantes sont de même sens ou de sens coqtraires. Dans la première hypothèse (qui a été admise en construisant la flgure), la vitesse angulaire du mouvement relatif ci-dessus considéré est w-hco'; par suite, la vitesse de glissement (n^ ki) du point C, de mn sur m'n\ aura poar valeur (co-t- co') CA. Dans Thypothêse contraire, cette vitesse serait zh (cd — w') CA.

63. Cas particulier des courbes roulantes. — Dans les engrenages cylindriques, on s'est arrangé pour que le point A

(/ig, 96) soit constant sur 00', et alors — reste invariablesmais cela exige que les courbes mn, m' n' aient entre elles une

certaine relation, si bien que, l'une étant donnée, Tautre en est une conséquence.

Alors la normale commune AC n*est pas nulle en général, de sorte qu'un certain glissement existe au point de contact C. £n se plaçant à un autre point de vue, on peut se proposer de déterminer la courbe m' n' répondant à la courbe donnée m/i, de telle manière que leur contact se produise toujours sur la ligne des centres 00', ce qui aura pour effet d'annuler constamment la normale AC et le glissement qui lui est proportionnel, mais sans conserver la condition d'un rapport invariable entre to et w'. Les courbes roulent alors Tune sur l'autre dans leur mouvement relatif et prennent, pour cette raison, le nom de courbes roulantes. Voici comment ce problème a été résolu par Euler : L'équation de la courbe mn peut être donnée en coordonnées polaires sous la forme

/(r,e)rzzo.

en prenant 0 pour pôle et une droite arbitraire OP pour axe polaire. Cherchons l'équation de la courbe conjuguée m'n^ en prenant le pôle 0' et l'axe polaire quelconque O'P', et convenant en outre de compter les angles 6, 0' dans le même

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. I79

sens autour de leurs pôles respectifs. Soient b et 6' deux points correspondants, qui arriveront simultanément sur 00'; les rayons r, r' seront alors portés bout à bout suivant la même droite, et Ton aura, en désignant par a la distance 00',

Maintenant, si Ton considère les angles <*, i' que les tangentes en b et en b' font avec les rayons vecteurs 0 6, 0' 6', on voit que, à rinstant où b et 6' coïncident, ces angles deviennent opposés par le sommet, puisque les courbes sont en contact; de là résulte l'égalité

tange-tang^' ou ^ = -^p-

ou encore, eu égard à l'équation (2), (3) r^ = — r'rfe'.

L'élimination de r et 6 entre les équations (i), (2) et (3) conduirait à réquation différentielle du profil m'n'.

Les relations (2) et (3) ont pour conséquence que le point de contact se déplace également sur les deux courbes. Soient en effet ds et ds^ les distances séparant b et b' des deux points qui doivent venir en contact après eux; on aura

ds' =L sj'dr'^ -h r'* t/6'* z=: v/( — ^r)* + ( — ^ ^ )' = ^^•

Les deux courbes roulent donc bien Tune sur Tautre. Nous le savions d'avance, puisque la nullité de la normale commune K^^fig. 92) entraîne l'absence de glissement; nous retrouvons la même propriété d'une autre manière.

Si l'équation (i) était mise sous la forme 6=:<p(r), on tirerait de l'équation (2)

r' ^za — r;

puis, substituant cette valeur, ainsi que celle de ^6 = <p'(r) rfr, dans l'équation (3), on aurait

d6'= ^<p'(/-)rfr ou 6'=:r!V(zlËî:.

Les deux coordonnées r', 6' se trouveraient ainsi exprimées.

l80 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

au moyen d*une seule quadrature, en fonction de la variable auxiliaire r. On arriverait aussi facilement à un résultat semblable, dans le cas où l'équation (i) serait résolue par rapport à r ; en posant r =nK6), on aurait

r'— a — 4/(6) et 6'=:— f -^

En résumé, la condition nécessaire et suffisante pour que deux courbes puissent être prises comme courbes roulantes conjuguées, c'est que pour chaque point b de Tune il v ail sur l'autre un point correspondant b', variant d'une manière continue avec b, et tel qu'on ait

r'=za — r , i' in i.

Nous n'avons pas en effet exprimé autre chose dans l'analyse précédente pour arriver aux équations (2) et (3).

Profils dérivés. — Quand on a deux courbes roulantes conjuguées, on peut en déduire une infinité d'autres, qui sont dites dérivées des premières. Il suffît pour cela de conserver les mêmes valeurs de r et r', et de réduire les angles 6, 6' dans un rapport constant, le même pour les deux. Les conditions (2) et (3), nécessaires et suffisantes, resteront encore satisfaites après ce changement.

Si, par exemple, on réduit 6 et 0' au tiers de leurs valeurs primitives, deux courbes roulantes faisant un tour complet se trouveront transformées en courbes n'occupant qu'un secteur de i2o<>; en construisant ces courbes trois fois dans trois secteurs égaux adjacents, on pourrait encore faire le tour entier, mais avec cette différence que les rapports de vitesse primitivement existants se produiraient trois fois au lieu d'une dans chaque tour.

Exemples de courbes roulantes. — On peut adopter pour courbes roulantes deux ellipses égales tournant autour de deux foyers fixes O, 0' {/Ig- 97), dont la distance égale le grand axe 2 a, La figure représente les courbes à l'instant où leurs grands axes se trouvent en prolongement l'un de l'autre; F et F' sont les foyers mobiles. Si nous prenons sur les deux ellipses deux points b, b' à égale distance de A, il

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l8l

est clair, par raison de symétrie, que les triangles F06, F'0'6 sont égaux; donc

De même, Tangle f=:FôT, par suite des propriétés de Tellipse, et FbT=zf à cause de la symétrie; donc i:=ï'. Les conditions nécessaires et suffisantes sont donc vérifiées.

Quand les points b et b' arriveront sur la ligne des centres, celle-ci se trouvera partagée en deux segments égaux à 0^

txi

et 0'6'; le rapport des vitesses angulaires — sera donc égal

à -^— = — ou à -rtrr:-- Eu désignant par a: Tabscisse du point b

Ob Ob

dans le système C^, C/, et par c la demi-distance des foyers F et O, on aurait

ex a

lorsque x variera de a à — a, ce rapport variera lui-même

entre le maximum et le minimum — > puis repas-

sera par les mêmes valeurs en ordre inverse dans la seconde

moitié de la révolution autour de Taxe 0.

Il est à remarquer que, lorsque le point de contact parcourt

Tare A6D sur l'ellipse de gauche, le rayon vecteur Oô va toujours en croissant et le contact des ellipses a lieu comme dans \difig. 98; si Tellipse de gauche tourne dans le sens indiqué parla flèche, il est clair qu'elle oblige, par sa pression, l'autre

l83 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEDXlfoiE.

ellipse à tourner autour de 0', sans que les deux courbes puissent glisser l'une sur Tautre ou se séparer. Mais, quand le point de contact a dépassé le sommet D et que la seconde moitié de la révolution a commencé, les rayons vecteurs de Tellipse de gauche vont en diminuant et le contact offre la

Fig. 98. Fig. 99.

disposition de H fig» 99. Le mouvement étant supposé devoir se continuer dans le même sens, on voit que Tellipse 0 n'entraînera plus Tellipse 0', car il faudrait pour cela que la première fût capable d'exercer sur la seconde une traction, au lieu de la pression qu'elle produisait dans le premier cas. Pour rendre la transmission obligatoire, on devra munir les demi-ellipses DEA, D'E'A {fig, 97) de dents qui engrèneront les unes dans les autres. Après avoir choisi le profil P de ces dents sur l'ellipse 0, on déterminerait'le profil conjugué sur l'ellipse 0' en faisant rouler la première sur la seconde et prenant l'enveloppe des positions du profil (P).

Comme second exemple, considérons un arc de spirale logarithmique kbOi {fig. 100) ayant 0 pour pôle et pour centre de rotation ; prenons

A0'= OC, 0'C'i= OA, angle AO'C'=: angle COA,

puis construisons la courbe C'A identique à AC. Je dis que

les deux arcs AC, AC, tournant P»c- ïoO' respectivement autour de leurs

9 pôles 0 et 0', satisfont aux con-

ditions que doivent vérifier les courbes roulantes. En effet, divisons chacun des arcs AC, C'A en -\ un nombre indéfini n de parties *^ égales, ayant toutes la longueur infiniment petite e. L'angle i du rayon vecteur avec la tangente étant constant, les rajons aboutissant aux points de division vont former deux progrès-

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l83

sions arithmétiques. Tune croissante, l'autre décroissante, dont la raison sera ecost. Si nous prenons pour points correspondants 6, hf ceux qui sont à une même distance k^ de A (en suivant les courbes), nous aurons

06 — ÔÂ-hA-ecoSf, Ô^'=:ÎF— A:eCOs/, d'où résulte l'une des conditions