i-0'6'=iOA4-0'A
la somme des rayons vecteurs est bien constante pour deux points correspondants quelconques. D'ailleurs, l'angle i est constant sur les deux courbes et a la même valeur de part et d'autre; la seconde condition est donc aussi satisfaite.
Les rayons de la spirale logarithmique vont toujours en variant dans le même sens, et la courbe ne se ferme pas. Pour obtenir un mouvement de rotation indéfini dans le même sens, on peut adopter une disposition analogue à celle de la fig. loi. On prend deux carrés égaux ayant les centres 0
Fi
et 0'; la droite 00', parallèle à deux côtés de l'un, est dirigée suivant une diagonale de l'autre. Ensuite on remplace chaque côté par deux arcs égaux de spirale logarithmique, ce qui fait huit courbes égales pour chaque carré. L'équation de l'un de ces arcs, A 6C par exemple, est aisée à trouver. En posant OAxzc, 06 = r, 60A = Ô, l'équation sera de la forme
r =: ce
pour le point C, l'angle 0 sera égal à -^ et r à c\Jiy et, par
l84 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.
suite, on a
Donc
m = - La,
el réqualion de Tare AC devient fînalement
t6Li î8
Les équations des autres arcs seraient identiques, pourvu qu'on prît toujours le rayon le plus petit pour axe polaire.
Il est clair qu'on pourrait substituer aux carrés des polygones réguliers convexes de n côtés. Chaque côté se remplacerait encore par deux arcs égaux de spirale logarithmique dont le rayon croîtrait depuis l'apothème du polygone jusqu'au rayon de son cercle circonscrit.
Remarquons enfin que, dans le cas actuel comme dans celui des deux ellipses, quand les rayons de la courbe menante vont en diminuant, la transmission de mouvement ne se ferait plus simplement par son contact avec la courbe menée, et qu'il serait alors nécessaire d'armer ces deux courbes de dents qui engrèneraient les unes avec les autres.
61. Roues de Boemer, — Imaginons deux troncs de cône égaux, tangents l'un à l'autre le long d'une génératrice B^ ijig. 102), ce qui entraîne comme conséquence le parallélisme de leurs axes SO, S'O'. Les surfaces de ces troncs de cône portent des dents; sur abXB, ce sont des dents analogues à celles d'une roue d'angle, occupant toute la longueur des génératrices; sur a'bBk', ce sont de petites dents très courtes et rapprochées, qui sont disposées le long d'une certaine courbe MN, à déterminer d'après la loi que doit suivre le rapport des vitesses angulaires.
Dans la position représentée par la figure, ce rapport est égal au rapport inverse des rayons OM, O^M, car la transmission se produit comme par un engrenage ayant ses circonfé-
CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. l85
rences primitives décrites avec ces rayons. Ainsi donc, en nommant
CD, o)' les vitesses angulaires autour des axes SO, S'O';
p, p' les rayons OM, O'M;
a la distance constante des deux axes.;
OD aura
Cl)
La même relation se conserve évidemment dans une position quelconque, pourvu qu'on y regarde p et p' comme des va-
FÎÇ. 102.
riables, dont la dent actuellement en prise sur la courbe MN détermine la valeur.
co
Supposons maintenant que Ton donne le rapport — en
CD
fonction de Tanglc o décrit par le cône S'O' à partir d'une origine quelconque ; on aura
/désignant une fonction donnée. Or, si Ton imagine le cône S'O' développé sur un plan tangent, et qu'on nomme y Tangle BS'O', le point situé à la distance p' de Taxe sera à une dis-
tance r du sommet, égale a -4— > et Tangle 9 se transformera
° smy
l86 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.
en un angle 6 égal à ©sinY. Donc on peut écrire, en verlude réquation précédente,
rsin-y ./ 6 \ a — r siny \sin 7/
io3.
et Ton aura ainsi l'équation polaire de la courbe MN développée. On suppose que Ton a pris pour pôle le sommet et pour axe polaire la génératrice du cône contenue dans le plan diamétral origine des angles «p.
65. Transmission de mouvement , au moyen d'un lien rigide, entre deux arbres tournant autour d'axes parallèles.— Soient 0 et 0' {fig. io3) deux axes parallèles autour desquels
tournent respectivement deux arbres; ces arbres portent, dans un même plan perpendiculaire à leurs axes, des manivelles OA, O'B, de longueurs inégales, dont les boutons sont réunis par une bielle rigide AB, articulée en A et B. Le mouvement de rotation du premier arbre, en obligeant le point A à se déplacer, rend par là-même nécessaire le déplacement de B et entraîne par conséquent la rotation du second arbre. On verrait de môme que, réciproquement, la rolation autour de Taxe 0' détermine une rotation autour de Taxe 0.
Sans nous occuper de discuter complètement toutes les particularités que peut présenter l'appareil, suivant les rapports établis entre les longueurs des quatre côtés du quadrilatère 00' BA, nous allons seulement rechercher les conditions auxquelles il faut satisfaire pour avoir là véritablement un mécanisme de la deuxième classe, c'est-à-dire pour qu'une rotation continue et de sens constant autour de l'un des axes soit transformée en un mouvement de même nature autour de l'autre axe.
Pour que cela puisse avoir lieu, il faut qu'en faisant parcourir au bouton A de la plus longue manivelle son cercle complet PAMP, on trouve pour chacune de ses positions un point B du cercle QBNQ, qui en soit éloigné de la longueur
CIKÉMÀTIQUE APPLIQUÉE. 187
donnée AB — a. Posons R = 0 A , r ==: 0' B , e = 00', et considérons d'abord le cas où le centre 0' serait à Tintérieur du cercle OA, ce qui arrivera si Ton a e< R. Le point A étant supposé dans la position M, sa moindre distance au cercle O'B sera MN=iiRH-e — r, et par conséquent a doit remplir la condition
(i) a>R-he — r.
Quand A se trouvera dans la position P, sa distance maximum
à la circonférence O'B sera PN = R -h r — e, d'où résulte de même
Ces deux inégalités seraient incompatibles si Ton n'avait pas r>e; donc la distance des centres est moindre que le plus petit rayon, et par suite le centre de chacun des deux cercles se trouve à l'intérieur de Tautre.
Cette condition nécessaire est d'ailleurs suffisante, pourvu qu'on prenne a dans les limites indiquées par les inégalités (i) et (2). Le triangle OO'A donne en effet
et par suite
ÂË<RH-e — r, ÂF>R — e + r.
Si donc on prend pour a une valeur intermédiaire entre R-t-e — r et R — en-r, ce qui sera possible dans le cas de r>e, à plus forte raison tombera-t-elle entre AE et AF, et cela suffît pour qu'on puisse placer l'extrémité B sur la petite circonférence.
D'un autre côté, on n'aura pas à craindre que le point B reste renfermé, sur cette circonférence, dans certaines régions d'où il ne pourrait pas sortir. On peut en effet reconnaître, par l'emploi d'une méthode semblable, en se servant encore des inégalités (i) et (2) et de l'inégalité OB > /• — - e, fournie par le triangle OO'B, qu'à chaque point B de la circonférence O'B répond un point A situé à la distance a sur la circonférence OA.
Si nous considérons enfin le cas où le centre 0' de la petite
l88 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXltXE.
circonférence serait placé en dehors de la grande, la même méthode conduirait encore à poser, au lieu des inégalités (i) et (2), les suivantes :
R-+-e — r<a< — R-i-e-hr,
qui sont incompatibles, dans l'hypolhèse ci-dessus admise de R > r. Le problème, tel qu'il est posé, ne comporte donc pas d'autre solution que celle qu*on a trouvée tout à l'heure. Il est à remarquer que, si l'on admettait les relations
les inégalités (i), (2), (3) pourraient être regardées comme satisfaites, et, quelle que fùl la position du centre 0' relativement à la circonférence OA, on aurait un appareil capable de fonctionner avec des rotations continues autour des deux centres. Mais on retomberait ainsi sur la bielle d'accouplement dont on a déjà parlé plus haut (n° 54, a).
Cherchons encore le rapport des vitesses angulaires w, ta' autour de 0 et 0'. Pour cela, prolongeons les rayons OA et O'B jusqu'à leur rencontre C; ce point C, situé sur les normales aux trajectoires des points A et B, sera le centre instantané de rotation de la bielle AB (n° 22, c). Nommons w' la vitesse angulaire autour de ce centre. La vitesse du point A s'exprime par (o^.CA et par w.OA, celle de B par w'.CB et par w'.jO'B; donc
<.CA=:a).UA, aj\CB — (o'.O'B; d'où l'on déduit, par l'élimination de w",
