AD BD

(yc

ÔT5

égalité qui, combinée avec la précédente, conduit à

OÂ

Dans rhypothèse de w' constant, c'est-à-dire d'une rotation uniforme de la manivelle, la vitesse angulaire du balancier

varierait proportionnellement à O'C

71. Tige guidée et manivelle réunies par une bielle, — La manivelle OA {fig. 118) tourne autour d'un axe 0 perpendi-

Fig. 118.

Bi T

culaire à sa direction; en A elle s'articule avec une bielle AB, articulée elle-même en B avec une tige guidée. Le mouvement du point B se fait donc nécessairement suivant une droite, et Ton s'arrange pour que cette droite passe en 0. Les deux droites ÔÂ, AB se meuvent dans un môme plan perpendiculaire à Taxe; la longueur a de la seconde est ordinairement cinq ou six fois la longueur b de la première.

Soient Aq et Ai les points où le cercle OA est coupé par la droite OB suivant laquelle le point B se déplace. Lorsque A sera en A 0 ou en Ai, B occupera des positions correspondantes Bo, Bi, qu'on obtient en prenant

AoBo = AiB, = AB = a; ces points Bo et Bi sont les limites entre lesquelles oscille le

^o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

point B, car tout point de OB pris à gauche de Bq est à une distance moindre que a de tous les points du cercle OA, et tout point à droite de Bi est au contraire trop éloigné pour que la bielle puisse y atteindre. Comme dans l'exemple précédent, pendant une rotation complète de la manivelle, comprenant Taller de Aq à Aj et le retour de Ai à Ao (dans le sens de la flèche ou en sens contraire), le point B va de B,

à Bi et revient de Bi à Bq. L'étendue totale BqBj est égale au diamètre 26 du cercle OA; on a en effet

OBo = a — 6, OB, =:a-h6, d'où résulte

b;b;=ôb;-^oBo = 2^.

Les points A©, A, se nomment />£rm/5 morts, parce que, si la manivelle occupe les positions OAq, 0A|, une force exercée dans la direction de la tige guidée ne pourrait faire sortir l'arbre 0 du repos et ne ferait que le presser contre ses appuis.

La vitesse i^ de la tige guidée, c'est-à-dire celle du point B qui lui e3t commune avec la bielle, se détermine aisément. Menons la perpendiculaire BC à la droite parcourue par ce point et prolongeons le rayon OA, normal à la trajectoire (le A, jusqu'à sa rencontre C avec BC. Le point C est le centre instantané de rotation de AB; donc les vitesses de 6 et A

sont dans le rapport ^==-> ce qui s'exprime par l'équation

r = w.OA-=r > CA

en nommant w la vitesse angulaire de l'arbre 0 autour de son axe. Si l'on mène par le point 0 la parallèle OD à BC, les triangles semblables AOD, ACB donneront l'égalité

CA et par suite la précédente devient

f = u).ÔD

CINËHÀTIQUB APPLIQUÉE. 209

Le point E, projeclion de A sur le diamètre AoAj, a une vitesse exprimée par ■' ^^ ; or, si l'on nomme a l'angle AqOA,

on a

AoE = ^(i — COSa),

et, en différentiant,

c/.AoE

^=:: bsinOL -7- =:aj. AE.

Dans le cas où la bielle serait infmie, les lignes AE et OD seraient égales ; pratiquement elles diffèrent assez peu, ei Ton peut dire approximativement que les vitesses des points B et E sont égales, ou bien que les mouvements de ces deux points sont les mômes. On peut aussi juslilîer cet énoncé en remarquant que la bielle, vu sa grande longueur, fait toujours un petit angle avec OT, et que par conséquent on peut la regarder comme à peu près égale à sa projection BE; les points B et E, mobiles tous les deux sur une même droite et séparés par une distance constante, ont alors des mouvements identiques.

Pendant que la manivelle décrit le demi-tour compris entre OAs et OAj, la bielle AB passe d'un côté à l'autre du point 0 et se trouve coupée entre A et B par Taxe de rotation. Ce passage de la bielle ne serait pas possible, si Tarbre 0 n'était pas interrompu au droit de l'espace qui renferme toutes les positions de la bielle. On peut, ou placer la manivelle M à l'extrémité de Tarbre, comme dans la fi^. 119, ou con-

Fig. ii<).

ï'iQ. 120.

AÎ

slruire un arbre coudé AA, comme l'indique Idi /ig. 120. Les deux parties perpendiculaires M remplacent alors la mani-

Bressb. — Cours de Méc., I.

velle, et rarticulalion se trouve sur le corps réunissant les deux extrémités de ces parties perpendiculaires. Des deux manières on laisse toujours le passage libre à la bielle B; la deuxième a Tinconvénient de compliquer la construction de Tarbre et de diminuer sa solidité, mais elle est néanmoins employée dans la pratique.

72. Excentrique circulaire, — L'articulation A {fig* n8) entre la bielle AB et la manivelle OA se réalise au moyen de deux cylindres à section droite circulaire, ayant tous deux pour axe une même droite menée par le point A parallèlement à Taxe de rotation 0; l'un plein, faisant corps avecla manivelle ; l'autre dreux, de rayon aussi peu différent que possible, enveloppant le premier et faisant corps avec la bielle. La grandeur du rayon commun de ces deux cylindres est absolument indifférente, au point de vue purement géométrique;

Kig. 121.

quelle qu'elle soit, le point A de la manivelle coïncidera toujours avec le point A de la bielle, pendant que les deux corps tourneront l'un par rapport à l'autre autour de l'axe A» et c'est en cela que consiste tout l'effet de l'articulation. Dès lors on peut, sans changer le résultat géométrique de l'appareil précédent, augmenter le rayon des deux cylindres qui constituent l'articulation A, au point qu'ils en arrivent à comprendre l'axe 0 et la section de l'arbre dans leur intérieur {J^. 12 1). Le cylindre plein MN calé sur l'arbre remplace alors la manivelle; on le nomme poulie d'excentrique. Ce cylindre est enveloppé par un anneau M'N' nommé collkr

CIPTÉMàTIQCE appliquée. 211

d'excentrique, qui fait corps avec un cliâssis solide, articulé en B avec la tige guidée; Tensemble du châssis et du collier remplace la bielle. Souvent on emploie, au lieu du châssis, une simple tige faisant corps avec le collier; on la nomme barre d* excentrique.

Tout l'appareil prend le nom ^'excentrique, en raison de ce que la section droite du cylindre MN tourne autour d*un point 0 différent de son centre A. La distance OA se nomme rayon d'excentricité.

Il est évident que le mouvement aura lieu comme si la manivelle OA était reliée par la bielle AB à la tige guidée; mais si l'excentrique est géométriquement la même chose que la combinaison de bielle et manivelle, les deux appareils ont entre eux une différence importante. Dans les deux cas, en effet, les deux cylindres formant l'articulation A tournent l'un par rapport à l'autre en décrivant les mêmes angles, puisque les variations de l'angle OAB sont les mêmes; par suite, le glissement qui se produit à la surface de séparation est proportionnel aurayonAM.il y a donc des glissements plus grands dans l'excentrique, ce qui, comme nous le verrons plus tard, exige une plus grande dépense de puissance motrice. Aussi, malgré l'inconvénient signalé à la fin du u^ 71, préfère-t-on construire des arbres coudés, lorsque l'appareil doit se placer entre leurs extrémités et qu'il est destiné à transmettre une force considérable par l'intermédiaire de la bielle; au contraire, on préférera l'excentrique appliqué sur un arbre droit, si la force n'a qu'une assez petite intensité, parce que l'économie possible à réaliser sur cette petite force ne serait pas une compensation suffîsante des inconvénients inhérents aux arbres coudés.

73. Parallélogramme de Watt, — Watt voulait transmettre le mouvement rectiligne alternatif d'un piston P, mobile verticalement dans un corps de pompe, à un balancier OA oscillant autour d'un axe horizontal fixe (^fig. 122). Pour cela on pourrait simplement réunir les deux corps par un lien rigide AB articulé en A avec le balancier et en B avec la tige du piston; mais alors cette. tige éprouverait de la part du lien une pression oblique qui tendrait à la fléchir et à déformer la

boîte à étoupes £, circonstance nuisible à la conservation et à la bonne marche de Tappareil. Au lieu de cela Walt a cherché une combinaison au moyen de laquelle Je point B fût assujetti à décrire la ligne droite PB indépendamment de sa liaison avec la tige du piston et seulement en vertu du mouvemeiii du balancier. Cette condition ^ étant remplie, il est clair que, si Ton attache en B la tige du \ piston, elle se mouvra sans être

\ entraînée à droite ou à gauchr

) et sans frottement notable.

lJ^ — ' Ayant dessiné un parallélo-

1 p gramme ABCD sur le lien ÂB et

sur une portion AI) de OA, Watt remarqua d'abord que, si le point B décrit rigoureusement la ligne droite BP, pendant que le parallélogramme suit, en se déformant, le mouvement du balancier, le lieu des points C est très approximativement un arc de cercle, pourvu cependant que Tamplitude des oscillations du balancier ne soit pas trop grande, et qu'il y ait des rapports de longueur convenables entre les lignes de la ûgure. Soit 0' le centre de cet arc de cercle. Imaginons maintenant qu'on ait fixé au balancier les tiges AB, BC, CD, formant un parallélogramme articulé en ses quatre sommets, et que de plus on ait réuni le point C au point fixe 0' par une bride ou un lien rigide O'C articulé en 0' et C; alors le sommet C décrira rigoureusement le cercle qu'il décrivait à très peu p^è^ quand le point B se mouvait en ligne droite, et par conséquent ce point B s'écartera très peu de la trajectoire BP qu'on lui avait d'abord assignée. Le problème sera donc approximativement résolu, au moyen d'une combinaison simple et facilement réalisable de tiges articulées.

En réalité, lejioint B ne décrit pas une droite. Prokmgeons en effet BC d'une quantité CF— 01), et joignons OF; la figui*e DCFO est un parallélogramme et OF=CD=:AB. Le point C se meut sur un cercle de rayon O'C, le point F sur

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. 2l3

un aulre cercle de rayon ÔF; donc la trajectoire du point B est engendrée par un point pris sur une droite CF de longueur constante, dont les extrémités glissent sur deux cercles donnés. Cette courbe porte le nom de courbe à longue inflexion ou de courbe de Watt, On sait que, prise dans toute son étendue, elle présente la forme d'un 8 dont les deux boucles se joignent sur la ligne des centres, en un point qui est Justement un point d'inflexion; or la partie utilisée par Walt est voisine de ce point, et pour cette raison elle s'écarte peu d'une ligne droite. Si Ton voulait la construire par points, sa définition géométrique en donne facilement le moyen; on p«ul aussi tracer les tangentes par le procédé indiqué au n* 22, c. Mais on n'arriverait pas à connaître ainsi bien exactement les écarts très petits entre B et Taxe de la lige du piston; nous dirons un peu plus loin comment on les détermine par le calcul.

Le centre instantané de rotation de la droite mobile BCF se trouve à l'intersection L des rayons OF et O'C, prolongés au besoin; en nommant v la vitesse du point B et w la vitesse angulaire de la droite, on aura