NOTIONS PRÉLIIIINÀIRBS SUR LES FORGES

£d un lieu donné, le poids total d'un corps déterminé reste constant, quelque opération qu'on exécute sur lui. A ce point de vue, on peut dire que le poids d'un corps représente sa quantité de matière, c'est-à-dire de substance indestructible par des causes naturelles, et devant toujours se conserver au milieu de toutes les transformations qu'elles lui font subir. La masse, proportionnelle au poids, représente cette quantité tout aussi bien ; et même elle la représente mieux encore, car elle est plus absolue que le poids, et n'a rien qui tienne à la position présentement occupée par le corps.

Remarquons enfin, comme conséquence de l'équation F= my , que le mot inertie ne signifie pas résistance absolue de la matière à l'action des forces. Une force si petite qu'elle soit, communique toujours une accélération à un point matériel libre ; seulement cette accélération est d'autant plus petite que la force est elle-même petite et la masse plus grande.

100. Composition des forces appliquées simultanément à un même point matériel. — Supposons un point matériel libre, de masse m, possédant à l'époque t une vitesse v antérieurement acquise, et sollicitée actuellement par des forces F, Fi, Fj, . . ., que nous supposerons constantes en grandeur, direction et sens pendant l'élément de temps dt qui va suivre.

Le point soumis à chacune de ces forces, sans vitesse initiale, prendrait, pendant le temps dt^ des déplacements exprimés par

\jdi\ Lj\di\ lj\dt\ ...

(n® 97), en nommanty, y'i, y'j, ... les accélérations correspondantes, lesquelles ont pour valeur (99)

Son déplacement absolu sera donc la résultante géométrique (n® 96) des déplacements

. Fdt'- F,dt^ T^dt^

V dt, 9 y - ) • • • •

Construisons maintenant la résultante ou somme géomé-

Irique des lignes qui représentent les forces F, Fi, F„ . . ., et regardons celte résultante comme représentant une certaine force R; imaginons en outre que les côtés du polygone de

composition soient multipliés par — ; alors la résultante des

déplacements

F dt^ F, dt^ F, dt" 2/n 2/n 2m

sera égale en grandeur, direction et sens au déplacement

que produirait la force R en agissant seule, pendant le

temps dty sur le point matériel donné, pris sans vitesse initiale. Donc la substitution de la force R aux forces F, F,, F„... ne change rien au déplacement absolu du point pendant le temps dt. Le même raisonnement s'applique à tous les éléments successifs d'un temps fini quelconque; et par suite, en convenant d'appeler résultante des forces appliquées au point matériel, à un instant déterminé, une force obtenue par le moyen qu'on vient d'indiquer pour R, on peut dire que :

Les forces agissant sur un point peuvent, à chaque instant, se remplacer par leur résultante, sans qu'il y ait altération du mouvement; inversement une force peut se remplacer par plusieurs autres dont elle serait la résultante.

Les forces remplacées par une résultante se nomment o^ dinairement ses composantes, et l'opération qui fait trouver la résultante se nomme composition des forces.

Lorsque les forces composantes sont au nombre de deux, leur résultante s'obtient en construisant un parallélogramme sur leurs lignes représentatives et prenant la diagonale de ce parallélogramme (n« 11); s'il y a trois composantes, il faut de même construire la diagonale d'un parallélépipède dont elles seraient les trois arêtes concourantes. D'une manière générale, on peut obtenir la résultante d'un nombre quelconque de forces, par la construction d'un polygone formé en portant bout à bout leurs lignes représentatives, comme l'indique la définition ci-dessus donnée.

Nous avons tout d'abord supposé qu'il s'agissait d'un point matériel libre.

NOTIONS PHËLlMLfÂIBES SUR LES FORCBS.

Si l'on avait un point gêné dans son mouvement par de: stades, il est bien évident que ceux-ci ne pourraient proc un certain eiïet qu'en exerçant sur le point diverses foi ordinairement inconnues a priori. Si l'on tenait compt ces forces, en les joignant aux forces directement apptiq et censées connues, on aurait par là même tenu compte obstacles et l'on serait en droit de considérer le point coi libre. Alors on pourra concevoir que l'on compose toute forces en une seule résultante ; ou bien encore on pourra i placer cette résultante unique par deux résultantes partie I" celles des forces directement appliquées ; 2' celles des f( produites par les obstacles. On verra plus loin, dans deu: particuliers, comment l'étude du mouvement permet de ver cette seconde résultante partielle.

§ II. — Définition! et théorèmBS concernant direrBOB ^antité dépendent dei forces appliquées à nu même point.

101. Projection des forces. — Quand on projette sur ui ou sur un plan la droite représentativje d'une force, la pn tion obtenue représente une autre force dite projection > première. Le fait de projeter une force constitue donc opération en vertu de laquelle celte force est transformé' solument comme s'il s'agissait d'une longueur complet une ligne droite.

D'après la définition qui précède et d'après celle de 1 sultante des forces appliquées à un même point (n* 100), clair que les projections de celte résultante et celles des • posantes jouissent de toutes les propriétés établies au 1 quand il s'agissait de simples lignes. On peut dire notami que la projection de la résultante sur un axe est la so algébrique des projections des composantes, ce qui va permettre de déterminer par le calcul la résultante répor à des forces composantes données.

Prenons en effet trois axes rectangulaires O^, Oy, 0 nommons :

F l'une des composantes, ayant pour ses trois projection

DEUXlfeMB PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

R la résultante ;

Bx9 Ry> R2 ses trois projections;

ay p, Y ses angles avec les axes coordonnés.

On aura, en désignant par la lettre S une sommation étendue à toutes les forces F,

Rar=2Fx, Ry=£Fy, R^=:2F3;

R = V/H^ + R> + RJ = V^(2F:,)«+(2F^)«+{IF,)S

relation qui fait connaître la grandeur de la résultante. Ses cosinus directeurs seront ensuite fournis par les équations

Rcosa=:Rx=2:F;p, Rcos? = Rj,= 2Fy, RcosY = Rz = 2F-.

102. Travail des forces. — Quand un point mobile parcourt un élément ds de sa trajectoire et qu'il est simultanément soumis à Faction d'une force F faisant avec ds un angle a (*), le produit Fdscosa se nomme travail élémentaire de la force F. L'angle « doit s'évaluer en attribuant à chacune des lignes F et ds son sens propre; il est donc bien déterminé et ne peut se ' confondre avec l'un des trois angles formés par les mêmes lignes indéfiniment prolongées; le travail élémentaire sera positif ou négatif suivant que a sera aigu ou obtus» mais l'expression analytique de ce travail porte en elle-même son signe.

Le travail élémentaire peut être indifféremment considéré comme exprimé par les produits Fxds cos a ou bien ds x Fcosa: on peut donc le définir comme le produit de la force par télément de chemin parcouru en projection sur la direction de la force, ou bien comme le produit de Vêlement de chemin

( ' ) On dit souvent que le point décrit Télément ds en vertu de ractioû de la force. C'est une locution inexacte; car, si le temps du parcoun est (^^ la longueur ds résulte de la composition d'une longueur vdt, due à laTi-

tesse ç antérieurement acquise, et d'une autre longueur dt* due à action de la force. La seconde composante est infiniment petite relativemcot à la première.